0:00:00.000,0:00:00.800 . 0:00:00.800,0:00:04.100 Ahora demostraré mi manera preferida de encontrar la 0:00:04.100,0:00:05.770 inversa de una matriz de 3 por 3. 0:00:05.770,0:00:07.220 Y realmente creo que es mucho más divertido. 0:00:07.220,0:00:09.150 Y es menos probable cometer errores por descuido. 0:00:09.150,0:00:11.020 Pero si recuerdo correctamente de álgebra 2, no lo hicieron 0:00:11.020,0:00:12.760 de este modo en Algebra 2. 0:00:12.760,0:00:14.900 Y por eso enseño la otra forma principalmente. 0:00:14.900,0:00:16.170 Pero repasemos esto. 0:00:16.170,0:00:20.140 Y en un futuro vídeo, les enseñaré por qué funciona. 0:00:20.140,0:00:21.310 Ya que siempre es importante. 0:00:21.310,0:00:23.780 Pero en álgebra lineal, este es uno de los pocos temas donde 0:00:23.780,0:00:26.670 Creo que es muy importante aprender a hacer las operaciones 0:00:26.670,0:00:28.790 primero. Y, luego, más tarde, aprenderemos el por qué. 0:00:28.790,0:00:30.430 Porque el cómo es muy mecánico. 0:00:30.430,0:00:32.880 Y realmente sólo implica cierta aritmética básica 0:00:32.880,0:00:34.380 en su mayor parte... 0:00:34.380,0:00:39.070 Pero el por qué tiende a ser bastante profundo. 0:00:39.070,0:00:41.170 Así lo dejaré a videos posteriores. 0:00:41.170,0:00:43.820 A menudo podemos pensar en la profundidad de las cosas cuando uno 0:00:43.820,0:00:46.550 tiene la confianza de que se comprendieron por lo menos los cómo. 0:00:46.550,0:00:49.730 Pero en fin, volvamos a nuestra matriz original. 0:00:49.730,0:00:51.090 ¿Cúal era la matriz original que 0:00:51.090,0:00:52.280 hice en el último video? 0:00:52.280,0:01:03.850 Era 1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1. 0:01:03.850,0:01:07.160 Y queríamos encontrar la inversa de esta matriz. 0:01:07.160,0:01:08.910 Así que esto es lo que vamos a hacer. 0:01:08.910,0:01:12.710 Se llama eliminación de Gauss-Jordan, para encontrar la 0:01:12.710,0:01:13.720 inversa de la matriz. 0:01:13.720,0:01:15.840 Y la manera de hacerlo--y puede parecer un poco como 0:01:15.840,0:01:18.860 magia, puede parecer un poco como vudú, pero creo 0:01:18.860,0:01:20.370 que verá en videos futuros que le dan mucho sentido. 0:01:20.370,0:01:22.770 Lo que hacemos es aumentar esta matriz. 0:01:22.770,0:01:23.560 ¿Que significa eso? 0:01:23.560,0:01:25.440 Esto significa que sólo agregamos algo a ella. 0:01:25.440,0:01:26.830 Por lo que escribo una línea divisoria. 0:01:26.830,0:01:28.486 Algunas personas no lo hacen. 0:01:28.486,0:01:31.290 Así que pongo aquí una línea divisoria aquí. 0:01:31.290,0:01:34.080 ¿Y que pongo en el otro lado de la línea divisoria? 0:01:34.080,0:01:37.640 Pongo la matriz identidad del mismo tamaño. 0:01:37.640,0:01:41.140 Esta es de 3 por 3, así que puse una matriz de identidad de 3 por 3. 0:01:41.140,0:01:51.600 Eso es 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. 0:01:51.600,0:01:54.870 ¿Entonces que vamos a hacer? 0:01:54.870,0:01:58.670 Lo que voy a hacer es realizar una serie de 0:01:58.670,0:01:59.620 operaciones elementales por fila. 0:01:59.620,0:02:02.940 Y estoy a punto de decir que es una operación elemental 0:02:02.940,0:02:04.610 válida para esta matriz. 0:02:04.610,0:02:07.440 Pero lo que sea que haga, a cualquiera de estas[br]filas aquí, tengo que hacerlo 0:02:07.440,0:02:09.360 a las filas correspondientes de acá. 0:02:09.360,0:02:12.690 Y mi meta es esencialmente realizar un montón de operaciones 0:02:12.690,0:02:14.150 en el lado izquierdo. 0:02:14.150,0:02:15.830 Y por supuesto, las mismas operaciones se aplicarán a 0:02:15.830,0:02:18.690 el lado derecho , para que finalmente termine con la 0:02:18.690,0:02:21.320 matriz identidad en el lado izquierdo. 0:02:21.320,0:02:23.310 Y luego, cuando tenga la matriz identidad de la izquierda 0:02:23.310,0:02:26.400 lo que me queda en el lado derecho será 0:02:26.400,0:02:28.690 la inversa de la matriz original. 0:02:28.690,0:02:32.680 Y cuando esto se convierte en una matriz de identidad, que 0:02:32.680,0:02:34.950 en realidad se llama forma reducida de escalón o escalonada. 0:02:34.950,0:02:36.320 Ya hablaré más sobre eso. 0:02:36.320,0:02:39.200 Hay un montón de nombres y etiquetas en álgebra lineal. 0:02:39.200,0:02:41.480 Pero son conceptos realmente bastante simples. 0:02:41.480,0:02:44.790 Pero de todos modos, vamos a empezar y esto debe convertirse en algo 0:02:44.790,0:02:45.180 un pocomás claro. 0:02:45.180,0:02:47.290 Al menos el proceso quedará claro. 0:02:47.290,0:02:49.460 Tal vez no porqué funciona... 0:02:49.460,0:02:51.610 Así que, en primer lugar, dije que voy a realizar un montón de 0:02:51.610,0:02:52.280 operaciones aquí. 0:02:52.280,0:02:53.950 ¿Qué operaciones son válidas? 0:02:53.950,0:02:55.720 Se llaman operaciones elementales de fila. 0:02:55.720,0:02:57.920 Así que hay un par de cosas que puedo hacer. 0:02:57.920,0:03:01.970 Puedo reemplazar cualquier fila con esa fila 0:03:01.970,0:03:03.680 multiplicada por un número. 0:03:03.680,0:03:04.960 Podría hacer eso... 0:03:04.960,0:03:08.260 Puedo intercambiar dos filas. 0:03:08.260,0:03:10.850 Y por supuesto si intercambio por decir la primera y segunda fila 0:03:10.850,0:03:12.450 tendríamos que hacerlo aquí también. 0:03:12.450,0:03:17.410 Y puedo añadir o restar una fila de otra fila. 0:03:17.410,0:03:20.590 Así que cuando hacemos eso --por ejemplo, puedo tomar esta fila 0:03:20.590,0:03:23.790 y sustituirla con esta fila agregada a esta fila. 0:03:23.790,0:03:25.520 Verán lo que quiero decir en un momento. 0:03:25.520,0:03:27.500 Y si las combinamos, podríamos decir 0:03:27.500,0:03:29.880 multiplicaré esta fila por -1, y 0:03:29.880,0:03:32.580 La añadiré a esta fila y entonces reemplazaré la fila. 0:03:32.580,0:03:36.690 Si se empieza a sentir como que esto es algo parecido a lo que 0:03:36.690,0:03:40.290 que se aprendióal resolver sistemas[br]de ecuaciones lineales 0:03:40.290,0:03:42.510 no es casualidad. 0:03:42.510,0:03:45.990 Porque las matrices son realmente una muy buena forma de representarlas. 0:03:45.990,0:03:48.130 Eso se demostrará pronto. 0:03:48.130,0:03:51.430 En fin, vamos a hacer algunas operaciones elementales de fila para 0:03:51.430,0:03:55.100 tener este lado izquierdo en forma escalonada reducida. 0:03:55.100,0:03:57.780 Lo cuál es realmente sólo una forma elegante de decir, vamos a convertirla 0:03:57.780,0:03:59.610 en la matriz identidad. 0:03:59.610,0:04:00.660 Veamos lo que queremos hacer. 0:04:00.660,0:04:02.290 Queremos tener sólo unos a través de aquí. 0:04:02.290,0:04:03.750 Queremos que estos sean ceros. 0:04:03.750,0:04:07.870 Veamos cómo podemos hacerlo eficientemente. 0:04:07.870,0:04:10.560 Permítanme escribir de nuevo la matriz. 0:04:10.560,0:04:16.350 Así que vamos a conseguir un 0 aquí. 0:04:16.350,0:04:17.445 Sería conveniente. 0:04:17.445,0:04:19.769 Pero voy a mantener las dos filas superiores iguales. 0:04:19.769,0:04:21.209 1, 0, 1. 0:04:21.209,0:04:23.000 Tengo mi línea divisoria. 0:04:23.000,0:04:24.370 1, 0, 0. 0:04:24.370,0:04:25.450 No hice nada ahí. 0:04:25.450,0:04:27.000 No estoy haciendo nada a la segunda fila. 0:04:27.000,0:04:28.875 0, 2, 1. 0:04:28.875,0:04:33.460 . 0:04:33.460,0:04:36.700 0, 1, 0. 0:04:36.700,0:04:40.120 Lo que haré, es reemplazar esta fila 0:04:40.120,0:04:42.260 Y para que sepan mi motivación, mi objetivo 0:04:42.260,0:04:43.490 es conseguir un 0 aquí. 0:04:43.490,0:04:46.540 Así que estoy un poco más cerca de tener la 0:04:46.540,0:04:48.200 aquí la matriz identidad. 0:04:48.200,0:04:50.080 ¿Cómo obtengo un 0 aquí? 0:04:50.080,0:04:55.750 Lo que puedo hacer es reemplazar esta fila con esta fila 0:04:55.750,0:04:57.280 menos esta fila. 0:04:57.280,0:05:00.000 Para reemplazar la tercera fila con la tercera fila 0:05:00.000,0:05:01.630 menos la primera fila. 0:05:01.630,0:05:04.040 ¿Qué es la tercera fila menos la primera fila? 0:05:04.040,0:05:07.340 1 menos 1 es 0. 0:05:07.340,0:05:10.670 1 menos 0 es 1. 0:05:10.670,0:05:13.860 1 menos 1 es 0. 0:05:13.860,0:05:16.150 Lo hice en el lado izquierdo, así que tengo que hacerlo en 0:05:16.150,0:05:16.900 el lado derecho. 0:05:16.900,0:05:20.300 Tengo que reemplazar esto con esto menos esto. 0:05:20.300,0:05:24.010 0 menos 1 es -1. 0:05:24.010,0:05:26.610 0 menos 0 es 0. 0:05:26.610,0:05:29.810 Y 1 menos 0 es 1. 0:05:29.810,0:05:31.270 Muy bien. 0:05:31.270,0:05:32.800 Ahora ¿qué puedo hacer? 0:05:32.800,0:05:37.830 Bien esta fila derecha aquí, esta tercera fila, tiene 0 y 0 0:05:37.830,0:05:40.530 parece ser mucho a lo que quiero para mi segunda fila en la 0:05:40.530,0:05:41.720 matriz identidad. 0:05:41.720,0:05:43.470 Así que ¿por qué no sólo intercambiar estas dos filas? 0:05:43.470,0:05:45.360 ¿Por qué no cambiar sólo la primera y segunda fila? 0:05:45.360,0:05:46.740 Hagamos eso. 0:05:46.740,0:05:49.590 Voy a cambiar la primera y segunda fila. 0:05:49.590,0:05:50.950 Así que la primera fila se mantiene igual. 0:05:50.950,0:05:54.790 1, 0, 1. 0:05:54.790,0:05:57.760 Y luego el otro lado se mantiene igual. 0:05:57.760,0:06:01.830 e intercambio la segunda y tercera fila. 0:06:01.830,0:06:05.020 Así que ahora mi segunda fila ahora es 0, 1, 0. 0:06:05.020,0:06:06.990 Y tengo que cambiarla al lado derecho. 0:06:06.990,0:06:09.520 Es -1, 0, 1. 0:06:09.520,0:06:12.540 Sólo estoy intercambiando estos dos. 0:06:12.540,0:06:14.450 Así entonces mi tercera fila ahora se convierte en lo que 0:06:14.450,0:06:15.450 la segunda fila tenía. 0:06:15.450,0:06:17.920 0, 2, 1. 0:06:17.920,0:06:21.990 y 0, 1, 0. 0:06:21.990,0:06:23.160 Muy bien. 0:06:23.160,0:06:24.770 ¿Ahora qué quiero hacer? 0:06:24.770,0:06:26.910 Sería bueno si yo tuviera aquí un 0. 0:06:26.910,0:06:30.070 Me llevaría mucho más cerca de la matriz identidad. 0:06:30.070,0:06:32.260 Entonces, ¿cómo podría yo llegar a un 0 aquí? 0:06:32.260,0:06:37.390 ¿Qué pasa si resto 2 por la fila dos desde la fila uno? 0:06:37.390,0:06:40.360 Porque esto sería 2 por 1 es 2. 0:06:40.360,0:06:44.920 Y si resto esto de esto, tendré un 0 aquí. 0:06:44.920,0:06:47.140 Así que vamos a hacer eso. 0:06:47.140,0:06:50.250 La primera fila ha sido muy afortunada. 0:06:50.250,0:06:51.260 No ha tenido que hacer nada. 0:06:51.260,0:06:52.580 Simplemente está sentada allí. 0:06:52.580,0:06:58.670 1, 0, 1, 1, 0, 0. 0:06:58.670,0:07:02.120 La segunda fila por ahora no cambia. 0:07:02.120,0:07:05.430 -1, 0, 1. 0:07:05.430,0:07:07.110 ¿Ahora qué dije que iba a hacer? 0:07:07.110,0:07:13.240 Voy a restar 2 por la fila dos desde la fila tres. 0:07:13.240,0:07:18.960 Esto es 0 menos 2 por 0 es 0. 0:07:18.960,0:07:23.990 2 menos 2 por 1, bueno eso es 0. 0:07:23.990,0:07:29.150 1 menos 2 por 0 es 1. 0:07:29.150,0:07:38.210 0 menos 2 por -1 es --recordemos 0 menos 0:07:38.210,0:07:39.880 2 por -1. 0:07:39.880,0:07:44.520 Eso es 0 menos -2, por lo es positivo 2. 0:07:44.520,0:07:47.970 1 menos 2 por 0. 0:07:47.970,0:07:49.810 Aún queda en 1. 0:07:49.810,0:07:53.240 0 menos 2 por 1. 0:07:53.240,0:07:54.490 Es menos 2. 0:07:54.490,0:07:57.190 . 0:07:57.190,0:07:58.130 ¿Es correcto? 0:07:58.130,0:07:58.810 Sólo quiero asegurarme. 0:07:58.810,0:08:04.800 2 menos 2 por --derecha, 2 por -1 es -2. 0:08:04.800,0:08:06.910 Estoy restando, así que es positivo. 0:08:06.910,0:08:08.150 OK, estoy cerca. 0:08:08.150,0:08:11.140 Esto casi parece la matriz identidad o fila en 0:08:11.140,0:08:11.680 forma escalonada reducida. 0:08:11.680,0:08:12.950 Salvo este 1 de aquí. 0:08:12.950,0:08:16.740 Así que finalmente voy a tener que tocar la fila superior. 0:08:16.740,0:08:18.450 ¿Y qué puedo hacer? 0:08:18.450,0:08:23.170 Que tal si reemplazo la fila superior con la fila superior menos 0:08:23.170,0:08:24.060 la fila inferior. 0:08:24.060,0:08:25.480 Porque si resto esto de eso, 0:08:25.480,0:08:26.550 Esto me conseguirá un 0 ahí. 0:08:26.550,0:08:27.790 Hagamos eso. 0:08:27.790,0:08:29.720 Así que sustituyo la fila superior con la fila superior 0:08:29.720,0:08:31.790 menos la tercera fila. 0:08:31.790,0:08:35.570 1 Menos 0 es 1. 0:08:35.570,0:08:38.659 0 menos 0 es 0. 0:08:38.659,0:08:41.000 1 menos 1 es 0. 0:08:41.000,0:08:43.559 Ese fue nuestro objetivo. 0:08:43.559,0:08:48.000 Y, a continuación, 1 menos 2 es -1. 0:08:48.000,0:08:53.490 0 menos 1 es -1. 0:08:53.490,0:08:58.950 0 menos -2., bueno, eso es +2. 0:08:58.950,0:09:02.460 Y luego las otras filas permanecen igual. 0:09:02.460,0:09:07.590 0, 1, 0, -1, 0, 1. 0:09:07.590,0:09:15.550 Y, después, 0, 0, 1, 2, 1, -2. 0:09:15.550,0:09:16.640 Y ahí lo tienen. 0:09:16.640,0:09:18.650 Hemos realizado una serie de operaciones en 0:09:18.650,0:09:19.720 el lado izquierdo. 0:09:19.720,0:09:21.380 Y hemos realizado las mismas operaciones en 0:09:21.380,0:09:22.960 el lado derecho. 0:09:22.960,0:09:25.670 Esto se convirtió en la matriz identidad, o 0:09:25.670,0:09:27.410 en forma escalonada reducida. 0:09:27.410,0:09:30.530 Y lo hicimos con la eliminación de Gauss-Jordan. 0:09:30.530,0:09:32.180 ¿Y qué es esto? 0:09:32.180,0:09:36.570 Bueno esto es la inversa de esta matriz original. 0:09:36.570,0:09:38.960 Esto por esto será igual a la matriz identidad. 0:09:38.960,0:09:46.750 Por lo tanto si esto es a, entonces esto es a inversa. 0:09:46.750,0:09:47.580 Y eso es todo lo que tienes que hacer. 0:09:47.580,0:09:49.700 Como pueden ver, esto me llevó la mitad del 0:09:49.700,0:09:53.260 tiempo y requiere muchas menos matemáticas que cuando lo 0:09:53.260,0:09:56.310 hice utilizando el adjunto y los cofactores y el 0:09:56.310,0:09:58.110 determinante. 0:09:58.110,0:09:59.990 Y si lo piensas, te voy a dar una pequeña pista de 0:09:59.990,0:10:01.420 por qué esto funcionó. 0:10:01.420,0:10:06.910 Cada una de estas operaciones que hice en el lado izquierdo, 0:10:06.910,0:10:10.570 se podría verlos como multiplicar --obtener 0:10:10.570,0:10:12.370 de aquí a aquí, multiplicado. 0:10:12.370,0:10:14.500 Se puede decir que existe una matriz. 0:10:14.500,0:10:16.240 Que si yo multiplico por la matriz, estonces habría 0:10:16.240,0:10:17.670 realizado esta operación. 0:10:17.670,0:10:20.250 Y entonces habría tenido que multiplicar por otra matriz para 0:10:20.250,0:10:21.550 realizar esta operación. 0:10:21.550,0:10:24.250 Esencialmente lo que hicimos es que multiplicar por una serie de 0:10:24.250,0:10:26.440 matrices para llegar hasta aquí. 0:10:26.440,0:10:28.500 Y si multiplicamos todos esos, lo que les llamamos 0:10:28.500,0:10:31.410 matrices de eliminación, juntas, esencialmente 0:10:31.410,0:10:34.070 se multiplica este por el inverso. 0:10:34.070,0:10:35.590 ¿Así que lo que estoy diciendo? 0:10:35.590,0:10:43.470 Si tenemos a, para ir de aquí a aquí, tenemos que 0:10:43.470,0:10:47.300 multiplicar a por la matriz de eliminación. 0:10:47.300,0:10:49.630 Y esto podría ser completamente confuso para ustedes, así que ignórenlo 0:10:49.630,0:10:51.990 si lo es, pero podría ser útil. 0:10:51.990,0:10:55.250 ¿Qué eliminamos en esto? 0:10:55.250,0:10:58.470 Eliminamos 3, 1. 0:10:58.470,0:11:01.120 Hemos multiplicado por la matriz de eliminación 0:11:01.120,0:11:03.670 3, 1, para llegar hasta aquí. 0:11:03.670,0:11:05.740 Y luego, para ir de aquí a aquí 0:11:05.740,0:11:07.220 multiplicamos por alguna matriz. 0:11:07.220,0:11:07.970 Y les contaré más. 0:11:07.970,0:11:09.160 Mostraré cómo podemos construir 0:11:09.160,0:11:10.940 estas matrices de eliminación. 0:11:10.940,0:11:12.830 Multiplicamos por una matriz de eliminación. 0:11:12.830,0:11:16.150 De hecho, tuvimos un intercambio de fila aquí. 0:11:16.150,0:11:17.070 No sé como lo quieran llamar. 0:11:17.070,0:11:21.240 Le podríamos llamar matriz de intercambio. 0:11:21.240,0:11:24.730 Hemos intercambiado la fila dos por la tres. 0:11:24.730,0:11:28.830 Y luego aquí, hemos multiplicado por la matriz 0:11:28.830,0:11:31.110 de eliminación --¿Qué hicimos? 0:11:31.110,0:11:34.030 Eliminamos esto, así que esto era la fila tres, 0:11:34.030,0:11:36.270 columna dos, 3, 2. 0:11:36.270,0:11:39.320 Y, finalmente, para llegar hasta aquí, tuvimos que multiplicar por 0:11:39.320,0:11:40.470 la matriz de eliminación. 0:11:40.470,0:11:41.740 Tuvimos que eliminar esto aquí. 0:11:41.740,0:11:44.220 Así que eliminamos la fila 1, columna tres. 0:11:44.220,0:11:47.200 . 0:11:47.200,0:11:49.590 Aunque ahorita no es importante 0:11:49.590,0:11:51.420 saber que son estas matrices. 0:11:51.420,0:11:53.210 Mostraré cómo podemos construir estas matrices. 0:11:53.210,0:11:55.530 Pero solo quiero que tengan un salto de fe de que 0:11:55.530,0:11:58.600 cada una de estas operaciones se podrían haber hecho multiplicando 0:11:58.600,0:12:01.040 por alguna matriz. 0:12:01.040,0:12:03.510 Pero lo que sí sabemos es que multiplicando por todas estas 0:12:03.510,0:12:06.760 matrices, esencialmente tenemos la matriz identidad. 0:12:06.760,0:12:07.930 Volviendo. 0:12:07.930,0:12:11.450 Así que la combinación de todas estas matrices, cuando 0:12:11.450,0:12:13.600 se multiplican por ellos mismos, esto debe 0:12:13.600,0:12:15.370 ser la matriz inversa. 0:12:15.370,0:12:18.420 Si tuviera que multiplicar cada una de estas matrices de eliminación 0:12:18.420,0:12:22.420 y de intercambio de filas, esta debe ser la matriz inversa de a. 0:12:22.420,0:12:23.680 Porque si multiplicamos por 0:12:23.680,0:12:26.130 a, obtenemos la inversa. 0:12:26.130,0:12:28.630 Bien, ¿qué pasó? 0:12:28.630,0:12:31.780 Si estas matrices son colectivamente la matriz 0:12:31.780,0:12:36.400 inversa, si las hago, y si multiplico la matriz de identidad 0:12:36.400,0:12:40.620 por ellas--la matriz de eliminación, esta por esa 0:12:40.620,0:12:41.270 es igual a eso. 0:12:41.270,0:12:42.970 Esto por eso es igual a eso. 0:12:42.970,0:12:44.510 Esto por eso es igual a eso. 0:12:44.510,0:12:45.360 Y así sucesivamente. 0:12:45.360,0:12:48.870 Esencialmente estoy multiplicando--cuando se combinan todos 0:12:48.870,0:12:53.050 estos--a inversa por la matriz identidad. 0:12:53.050,0:12:55.520 Así que si lo piensas bien en general --y yo no 0:12:55.520,0:12:56.470 los quiero confundir. 0:12:56.470,0:12:57.910 Esta bien si a este punto, si solamente 0:12:57.910,0:13:00.370 entiendieron lo que hice. 0:13:00.370,0:13:03.500 Pero lo que estoy haciendo con todos estos pasos, esencialmente 0:13:03.500,0:13:07.800 estoy multiplicando ambos lados de esta matriz aumentada, se podría 0:13:07.800,0:13:10.450 llamar, por a inversa. 0:13:10.450,0:13:13.080 Así que esto multiplicado por a inversa, para llegar a la 0:13:13.080,0:13:14.300 matriz identidad. 0:13:14.300,0:13:16.740 Pero claro, si yo multiplico a la matriz inversa por 0:13:16.740,0:13:19.130 la matriz identidad, tendré la matriz inversa. 0:13:19.130,0:13:20.990 Pero de todos modos, no quiero confundir. 0:13:20.990,0:13:22.410 Ojala les dará un poco de intuición. 0:13:22.410,0:13:25.130 Más tarde haré estos con algunos ejemplos más concretos. 0:13:25.130,0:13:27.850 Pero esperemos que esto es mucho menos problemático que 0:13:27.850,0:13:30.115 la manera que lo hicimos con el adjunto y los cofactores y 0:13:30.115,0:13:32.540 las matrices de menores y de los determinantes, etcétera. 0:13:32.540,0:13:35.290 De todos modos, nos vemos en el siguiente video.