Inverting Matrices (part 3)

Using Gauss-Jordan elimination to invert a 3x3 matrix.

.

سأوضح لكم الآن طريقتي المفضلة لايجاد

معكوس مصفوفة 3×3

وفي الواقع اعتقد انها ممتعة اكثر

ونادراً ما ترتكب بها الاخطاء غير المقصودة

لكن اذا تذكرت بشكل صحيح من الجبر 2، انهم لم

يدرسونا هذا في الجبر 2

ولهذا السبب تعلمت الطريقة الاخرى في البداية

لكن دعونا نستعرضها

وفي العرض القادم، سأعلمكم سبب نجاحها

لأن هذا مهم دائماً

لكن في الجبر الخطي، فإن هذا واحداً من المواضيع العديدة التي

اعتقد انه من المهم ان نتعلم بها كيفية معالجة العمليات

اولاً، ومن ثم سنتعلم السبب

لأن السبب ميكانيكي جداً

ويحتوي على حساب اساسي

في معظم اجزائه

لكن السبب ربما يكون عميقاً

وسأترك هذا لعرض آخر

وكذلك يمكنكم ان تفكروا بعمق الاشياء عندما

تمتلكون الثقة بأنكم على الاقل تفهمون الكيفيات

على اي حال، دعونا نعود للمصفوفة الاصلية

ما هي المصفوفة الاصلية التي

قمت بحلها في العرض السابق؟

لقد كانت 1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1

واردنا ان نجد معكوس هذه المصفوفة

وهذا ما سنفعله

وهو يسمى بحذف غاوس-جوردان، اي ايجاد

معكوس المصفوفة

وطريقة فعله --وهي تبدو

سحرية بعض الشيئ، وتبدو وكأنها شعوذة، لكن اعتقد

انك سترى في العروض القادمة انها منطقية جداً

ما سنفعله هو اننا سنزيد هذه المصفوفة

ما الذي تعنيه الزيادة؟

تعني اننا سنضيف شيئ ما اليها

اذاً سأرسم خط فاصل

وبعض الاشخاص لا يفعلون ذلك

فاذا وضعت خط فاصل هنا

وما الذي سأضعه على الجانب الآخر من الخط الفاصل؟

سأضع مصفوفة الوحدة لنفس الحجم

فهذه المصفوفة 3×3، لذا سأضع مصفوفة وحدة 3×3

اذاً هذه 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1

هذا جيد، ما الذي سنفعله؟

ما سأفعله هو انني سأنشئ سلسلة من

عمليات الصف الاولي

وسأخبركم ما هي عمليات الصف الاولي الصالحة

لهذه المصفوفة

لكن مهما فعلت لأي من هذه الصفوف هنا، فسيكون علي ان افعله

للصفوف المماثلة هنا

والهدف هو ان انشئ مجموعة من العمليات

على الجانب الايسر

وبالطبع، العمليات نفسها ستطبق على

الجانب الايمن، حتى احصل اخيراً على

مصفوفة الوحدة على الجانب الايسر

ثم عندما تكون لدي مصفوفة الوحدة على الجانب الايسر

ما تبقى لدي على الجانب الايمن سوف يكون

معكوس المصفوفة الاصلية

وعندما تصبح هذه مصفوفة وحدة

ستكون بصورة درجة الصف المنخفضة

وسأتحدث اكثر عن ذلك

هناك عدة تسميات في الجبر الخطي

لكنها مصطلحات بسيطة جداً

لكن على اي حال، دعونا نبدأ وهذا يجب ان يصبح

اكثر وضوحاً

على الاقل ان العملية ستصبح اكثر وضوحاً

وربما ليس سبب نجاحها

اذاً اولاً، لقد قلت بأنني سأنشئ مجموعة من

العمليات هنا

ما هي العمليات المجاز استخدامها؟

تسمى بعمليات الصف الاولي

اذاً هي مجموعة اشياء يمكننا فعلها

يمكنني ان اعوض اي صف بذلك الصف

مضروباً بعدد ما

يمكنني فعل ذلك

يمكنني ان اقلب اي صفين

وبالطبع اذا قلبت، لنفترض الصفين الاول والثاني

سيكون علي ان افعل نفس الشيئ هنا ايضاً

ويمكنني ان اجمع او اطرح صف من صف آخر

وعندما افعل ذلك --على سبيل المثال، يمكنني ان آخذ هذا الصف

واستبدله بهذا الصف مضافاً الى هذا الصف

وسترون ما اعني

وكما تعلمون، انه اذا جمعتموه، يمكنكم، يمكن ان تقولوا

حسناً، سأضرب هذا الصف بـ -1، و

اجمعه مع هذا الصف، واستبدل هذا الصف بذلك

اذا بدأتم تشعرون بأن هذا يشبه ما

تعلمتموه عندما تعلمتم حل انظمة

المعادلات الخطية، انه لا يشبهه

لأن المصفوفات عبارة عن طريقة جيدة جداً لتمثيل

ذلك، وسأوضح لكم ذلك قريباً

لكن على اي حال، دعونا نقوم بحل بعض عمليات الصف الاولي حتى

نحول الجانب الايسر الى صورة درجة الصف المنخفض

وهي عبارة عن طريقة وهمية لتقول: دعونا نحوله

الى مصفوفة الوحدة

لذا دعونا نرى ما نريد فعله

نريد ان نحصل على جميع هذه الـ 1 هنا

نريد ان تصبح هذه 0

دعونا نرى كيف يمكننا فعل هذا بكفاءة

دعوني ارسم المصفوفة مرة اخرى

دعونا نحصل على 0هنا

سيكون هذا مناسباً

سأحافظ على الصفان العلويان كما هما

1, 0, 1

لدي الخط الفاصل

1, 0, 0

لم اقم بفعل اي شيئ هنا

لم افعل اي شيئ في الصف الثاني

0, 2, 1

0, 2, 1

0, 1, 0

وما سأفعله، هو انني سأعوض هذا الصف

--وانتم تعلمون الدافع، الهدف

هو الحصول على 0 هنا

وانا قريب من الحصول على

مصفوفة الوحدة هنا

فكيف احصل على 0 هنا؟

ما يمكنني ان افعله هو ان اعوض هذا الصف بهذا الصف

- هذا الصف

اذاً يمكنني ان اعوض الصف الثالث بالصف الثالث

- الصف الاول

ما هو ناتج الصف الثالث - الصف الاول؟

1 - 1 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

حسناً، لقد فعل ذلك على الجانب الايسر، لذا علي ان افعله على

الجانب الايمن

علي ان اعوض هذا بهذا - هذا

اذاً 0 - 1 = -1

0 - 0 = 0

و 1 - 0 = 1

هذا كافي

ما يمكنني ان افعل الآن؟

حسناً، هذا الصف هنا، اي هذا الصف الثالث، يحتوي على 0 و 0

--يبدو انه يشابه ما اريد ان يكون عليه الصف الثاني في

مصفوفة الوحدة--

فلماذا لا اقلب هذان الصفان فقط؟

لماذا لا اقلب الصف الاول والثاني؟

لنفعل ذلك اذاً

سأقلب الصفين الاول والثاني

اذاً الصف الاول يبقى كما هو

1, 0, 1

كذلك يبقى الجانب الآخر كما هو

واقلب الصفين الثاني والثالث

الآن اصبح الصف الثاني 0, 1, 0

وعلي ان اقلبه على الجانب الايمن

انه -1، 0، 1

انني فقط اقلب هذان

ثم الصف الثالث سيصبح ما

كان عليه الصف الثاني

اي 0, 2, 1

و 0, 1, 0

هذا كافي

ما الذي سأفعله الآن ؟

حسناً، سيكون جيداً اذا حصلت على 0 هنا

فهذا سيقربني اكثر من مصفوفة الوحدة

كيف يمكنني ان احصل على 0 هنا؟

حسناً، ماذا لو طرحت 2 × الصف الثاني من الصف الاول؟

لأن هذا سيكون، 1 × 2 = 2

واذا طرحت ذلك من هذا، سأحصل على 0 هنا

لنفعل ذلك

من حسن الحظ ان الصف الاول

لن نفعل اي شيئ معه

ان موقعه هنا

1, 0, 1, 1, 0, 0

ولن يتغير الصف الثاني الآن

-1، 0، 1

ماذا قلت انني سأفعل؟

سأطرح 2 × الصف الثاني من الصف الثالث

اذاً 0 - 2 × 0 = 0

2 - 2 × 1 = 0

1 - 2 × 0 = 1

0 - 2 × -1 = --لنتذكر 0 -

2 × -1

اذاً هذا يساوي 0 - -2 = موجب 2

1 - 2 × 0

وهذا يساوي 1

0 - 2 × 1

= -2

صحيح؟

هل فعلت ذلك بشكل صحيح؟

اريد التأكد

0 - 2 × --صحيح، 2 × -1 = -2

واطرحه، اذاً يصبح موجب

حسناً، اقتربت

انها تبدو تقريباً وكأنها مصفوفة الوحدة او

صورة درجة الصف المنخفضة

ما عدا هذا الـ 1 هنا

واخيراً سيكون علي التعامل مع الصف العلوي

ماذا يمكنني ان افعل؟

حسناً، ماذا لو استبدلت الصف العلوي بالصف العلوي -

الصف السفلي؟

لانه اذا طرحت هذا من ذلك

فستحتوي هذه على 0 هنا

لنفعل ذلك

انني استبدل الصف العلوي بالصف العلوي

- الصف الثالث

اذاً 1 - 0 = 1

0 - 0 = 0

1 - 1 = 0

هذا هو الهدف

ومن ثم 1 - 2 = -1

0 - 1 = -1

0 - -2 = موجب 2

ثم الصفوف الاخرى تبقى كما هي

0, 1, 0, - 1, 0, 1

ثم 0, 0, 1, 2, 1, -2

وهكذا حصلنا عليها

لقد طبقنا سلسلة عمليات على

الجانب الايسر

وقمنا بتطبيق العمليات نفسها على

الجانب الايمن

هذه تصبح مصفوفة الوحدة، او

صورة درجة الصف المنخفض

وفعلنا ذلك باستخدام حذف غاوس-جوردان

وما هذا؟

حسناً، هذا معكوس المصفوفة الاصلية

هذا × هذا = مصفوفة الوحدة

فاذا كانت هذه a، ستكون هذه معكوس a

وهذا هو كل ما عليك فعله

وكما يمكنك ان ترى، فقد تطلب هذا نصف

الوقت، واحتاج حسابات اقل تشعباً من عندما

فعلته باستخدام المساعد والعوامل المساعدة و

المحدد

واذا فكرتم بهذا، سأعطيكم تلميحاً

لسبب نجاحه

كل واحدة من هذه العمليات التي قمت بها على الجانب الايسر

يمكنكم اعتبارها كضرب --كما تعلمون، حتى تنتقلوا

من هنا الى هنا، لقد ضربت

يمكنكم ان تقولوا انه يوجد مصفوفة

اذا ضربتها بتلك المصفوفة، فسوف

تنفذ هذه العملية

ومن ثم سيكون علي ان اضرب بمصفوفة اخرى حتى

افعل هذه العملية

اذاً ما فعلناه هو اننا ضربنا بسلسلة من

المصفوفات لكي نصل الى هنا

واذا ضربتم جميع ذلك --اي ما نسميه

مصفوفات الحذف-- مع بعضهم، فأنتم بذلك

تضربون هذه بالمعكوس

ما الذي اقوله؟

اذا كان لدينا a، حتى ننتقل من هنا الى هنا، علينا ان

نضرب a بمصفوفة الحذف

وربما ان هذا مزعج بالنسبة لكم، لذا تجاهلوه

اذا كان كذلك، لكنها ربما بصيرة

ماذا حذفنا في هذه؟

لقد حذفنا 3, 1

لقد ضربنا بمصفوفة الحذف

3, 1، لنصل الى هنا

ثم لننتقل من هنا الى هنا، علينا ان

نضرب بنفس المصفوفة

وسأخبركم اكثر

سأوضح لكم كيف يمكننا ان ننشئ

مصفوفات الحذف هذه

نحن نضرب بمصفوفة الحذف

حسناً، في الواقع لدينا هنا صف مقلوب

ولا اعلم ما ستسميه

يمكنك ان تسميها بمصفوفة القلب

لقد قلبنا الصف الثاني بالصف الثالث هنا

ومن ثم ضربنا

بمصفوفة الحذف --ماذا فعلنا؟

ضربنا هذا، لقد كان هذا الصف الثالث

العامود الثاني، 3, 2

ثم اخيراً، لكي نصل الى هنا، علينا ان نضرب

بمصفوفة الحذف

كان علينا ان نحذف هذا

لقد حذفنا الصف الاول، العامود الثالث

حذفنا الصف الاول، العامود الثالث

واريدكم ان تعلموا الآن ان هذا ليس مهماً

اي ما هي عليه هذه المصفوفات

سأوضح لكم كيف يمكننا ان ننشئ هذه المصفوفات

لكني اريدكم ان تحصلوا على قناعة ان

كل من هذه العمليات يمكنها ان تجرى باستخدام الضرب

بمصفوفة ما

لكن ما نعرفه الآن هو الضرب بجميع هذه

المصفوفات، وقد حصلنا على مصفوفة الوحدة

بالرجوع الى هنا

اذاً جمع كل هذه المصفوفات، عندما

تضربونهم ببعضهم، هذا يجب

ان يكون معكوس المصفوفة

اذا اردت ان اضرب كل من هذه، اي مصفوفات الحذف وقلب الصف

فهذا يجب ان يكون معكوس المصفوفة a

لأنه اذا ضربتموهم جميعهم

بـ a، ستحصلون على المعكوس

ماذا حدث؟

اذا كانت هذه المصفوفات مجتمعة تعتبر معكوس

المصفوفة، اذا ضربت مصفوفة الوحدة

بهم --مصفوفة الحذف، اي هذه × تلك

= تلك

هذه × هذه = تلك

هذه × هذه = تلك

وهكذا دواليك

انني اضرب --عندما تجمع جميع

هذه-- معكوس a × مصفوفة الوحدة

اذا فكرتم بهذا، انها صورة كبيرة --ولا

اريد ان اربككم

انه لشيئ جيد اذا

فهمتم ما فعلته حتى الآن

لكن ما افعله من جميع هذه الخطوات، انني

اضرب طرفي المصفوفة المزادة، ويمكنكم

ان تسموها، بمعكوس a

اذاً ضربت هذه بمعكوس a ، حتى اصل الى

مصفوفة الوحدة

لكن بالطبع، اذا ضربت معكوس المصفوفة

بمصفوفة الوحدة، سأحصل على معكوس المصفوفة

لكن على اي حال، لا اريد ارباككم

اتمنى ان هذا اعطاكم بعضاً من البداهة

سأطبق ذلك على امثلة محددة اكثر

لكن اتمنى انكم رأيتم ذلك اقل تشعباً من

الطريقة التي اتبعناها بمصفوفات المساعد والعوامل المساعدة و

الحد الادنى والمحددات، الى آخرى

على اي حال، سأراكم في العرض التالي