Proof - Opposite Sides of Parallelogram Congruent

В этом видео мы рассмотрим несколько

доказательств, связанных с параллелограмом

И это первое, что мы собираемся сказать,

"Если у нас есть параллелограмм ABCD,

докажем, что противоположные стороны равны

Итак, докажем, что АB = DC и AD = ВС.

Дайте мне начертить диагональ.

Так, я черчу диагональ. Она, в зависимости

от того, как вы смотрите на нее, пересекает

две пары параллельных линий, и вы можете

рассматривать ее как секущую.

Давайте я начерчу понятнее.

Я могу лучше.

Так, это не лучше.

Это примерно так хорошо, как я могу.

Итак, смотрим, диагональ DB мы можем рассматривать

как секущую для параллельных прямых AB и DC.

И с это точки зрения угол ABD

равен

Так, это угол ABD равен углу BDC,

потому что это внутренние накрест лежащие углы.

У нас есть секущая, параллельные прямые

и поэтому угол ABD равен

углу BDC. Теперь вы также можете

рассматривать диагональ DB

как секущую этих двух параллельных прямых

другую пару параллельных: AD и BC

и вы увидите, что

угол DBC будет равен ADB

по той же самой причине: они внутренние накрест лежащие

секущей и двух параллельных прямых

Так, я могу записать это

внутренние накрест лежащие углы равны, когда у

вас есть секущая, проходящая через 2 параллельные прямые.

И также мы видим два трегольника

треугольники ADB и CDB,

у них общая сторона тут

Почему это полезно?

Ну, вы может представить себе, что

нам просто показаны два треугольника, у них есть этот

розовый угол и эта сторона общая и

этот зеленый угол

Итак, по правилу угол- сторона - угол

эти треугольники равны

Давайте я запишу это

Записываем, что треугольник ADB равен

CBD и это следует из правила равенства

треугольников "угол - сторона - угол"

Так, это из равенства треугольников

Для чего нам это?

Ну, если 2 треугольника равны, тогда все соответствующие

элементы этих двух треугольников равны.

В частности, сторона DC соответствует стороне BA

сторона DC в нижнем треугольнике - стороне ВА

в верхнем треугольнике

Так, они равны

Так, DC равно ВА

и это потому что они - соотвествующие

стороны равных треугольников.

Итак, это будет равно тому и по этой логике

AD соответствует CB

AD равно СВ по этой же причине:

соответствующие стороны равных треугольников.

И готово!

Мы доказали, что противоположные стороны равны.

Теперь давайте по-другому.

Скажем, у нас есть некий четырехугольник и

мы знаем, что противоположные стороны равны,

мы можем доказать, что это параллелограмм?

Ну, это то же самое доказательство наоборот.

Итак, давайте начертим диагональ тут,

мы знаем много о треугольниках

Дайте я нарисую

так

это самая сложная часть

нарисовать... Достаточно хорошо

Хорошо

Итак, очевидно, что СВ будет равно самому себе.

Я начерчу это так

очевидно, что это одна и та же линия

И далее у нас кое-что интересное

Мы разделили этот четырехугольник на два треугольника: АСВ

и DBC

Заметьте, у них все три стороны

равны друг другу

Из правила равенства треугольников по 3-м

сторонам мы знаем, что АСВ

будет равен DBC это из равенства

треугольников по трем сторонам

Для чего нам это?

Это значит, что все соотвествующие

углы равны

Например, угол АВС будет

равен углу DCB,

и вы можете сказать, что это соответствующие углы

равных треугольников.

я сокращаю, чтобы сэкономить время.

Итак, АВС будет равен DCB

итак, эти два угла равны

Это интересно, потому что тут у нас линия

и она пересекает АВ и CD и мы видим, что

эти углы накрест лежащие, внутренние

они равны.

И по этой причине

мы знаем, что АВ должна быть параллельна CD.

Так, мы знаем, что АВ должна

быть параллельна CD потому что есть внутренние

накрест лежащие углы секущей, пересекающей параллельные прямые.

Теперь мы можем использовать ту же логику

угол АСВ равен угл DBC

и мы знаем это из

равенства треугольников

Итак, мы только что сказали что этот угол равен этому углу.

И опять, эти углы выглядят как внутренние

накрест лежащие, это секущая

а это две лини, мы не уверены, они параллельны

но по причине того, что внутренние накрест лежащие

углы равны, мы знаем, что они параллельны.

Итак, эта параллельна этой

АС параллельная BD.

Готово!

То, что мы сделали - интересно

Мы показали, если у вас есть параллелограмм,

противоположные стороны которого равны

то у вас это

параллелограмм

Собственно, мы это доказали в обоих направлениях

И мы собственно сделали, что называется

"тогда и только тогда" утверждение

Вы можете сказать "Если противоположные стороны параллельны у четырехугольника "

или вы можете сказать "Противоположные стороны четырехугольника

параллельны тогда и только тогда если их стороны равны".

И вы можете сказать "тогда и только тогда"

Итак, если они параллельны, тогда вы можете сказать, что их стороны равны

и только если их стороны равны, они параллельны.

Мы доказали это в обоих направлениях.