1
00:00:00,000 --> 00:00:03,740
В этом видео мы рассмотрим несколько

2
00:00:03,740 --> 00:00:06,820
доказательств, связанных с параллелограмом

3
00:00:06,820 --> 00:00:08,750
И это первое, что мы собираемся сказать,

4
00:00:08,750 --> 00:00:10,900
"Если у нас есть параллелограмм ABCD,

5
00:00:10,900 --> 00:00:13,980
докажем, что противоположные стороны равны

6
00:00:13,980 --> 00:00:19,570
Итак, докажем, что АB = DC и AD = ВС.

7
00:00:19,580 --> 00:00:21,760
Дайте мне начертить диагональ.

8
00:00:21,770 --> 00:00:24,000
Так, я черчу диагональ. Она, в зависимости

9
00:00:24,000 --> 00:00:26,920
от того, как вы смотрите на нее, пересекает

10
00:00:26,920 --> 00:00:30,300
две пары параллельных линий, и вы можете

11
00:00:30,300 --> 00:00:32,490
рассматривать ее как секущую.

12
00:00:32,490 --> 00:00:34,170
Давайте я начерчу понятнее.

13
00:00:34,180 --> 00:00:35,750
Я могу лучше.

14
00:00:35,760 --> 00:00:37,780
Так, это не лучше.

15
00:00:37,780 --> 00:00:40,730
Это примерно так хорошо, как я могу.

16
00:00:40,730 --> 00:00:44,970
Итак, смотрим, диагональ DB мы можем рассматривать

17
00:00:44,980 --> 00:00:48,880
как секущую для параллельных прямых AB и DC.

18
00:00:48,890 --> 00:00:54,060
И с это точки зрения угол ABD

19
00:00:54,060 --> 00:00:55,600
равен

20
00:00:55,610 --> 00:00:58,430
Так, это угол ABD равен углу BDC,

21
00:00:58,440 --> 00:01:03,400
потому что это внутренние накрест лежащие углы.

22
00:01:03,410 --> 00:01:05,320
У нас есть секущая, параллельные прямые

23
00:01:05,330 --> 00:01:10,640
и поэтому угол ABD равен

24
00:01:10,650 --> 00:01:15,970
углу BDC. Теперь вы также можете

25
00:01:15,970 --> 00:01:19,740
рассматривать диагональ DB

26
00:01:19,740 --> 00:01:22,430
как секущую этих двух параллельных прямых

27
00:01:22,450 --> 00:01:27,370
другую пару параллельных: AD и BC

28
00:01:27,370 --> 00:01:31,260
и вы увидите, что

29
00:01:31,270 --> 00:01:40,520
угол DBC будет равен ADB

30
00:01:40,530 --> 00:01:49,650
по той же самой причине: они внутренние накрест лежащие

31
00:01:49,660 --> 00:01:52,860
секущей и двух параллельных прямых

32
00:01:52,870 --> 00:01:54,260
Так, я могу записать это

33
00:01:54,270 --> 00:02:03,080
внутренние накрест лежащие углы равны, когда у

34
00:02:03,090 --> 00:02:06,410
вас есть секущая, проходящая через 2 параллельные прямые.

35
00:02:06,720 --> 00:02:09,630
И также мы видим два трегольника

36
00:02:09,640 --> 00:02:16,120
треугольники ADB и CDB,

37
00:02:16,130 --> 00:02:18,020
у них общая сторона тут

38
00:02:18,030 --> 00:02:20,030
Почему это полезно?

39
00:02:20,040 --> 00:02:23,250
Ну, вы может представить себе, что

40
00:02:23,260 --> 00:02:26,780
нам просто показаны два треугольника, у них есть этот

41
00:02:26,790 --> 00:02:28,860
розовый угол и эта сторона общая и

42
00:02:28,870 --> 00:02:32,510
этот зеленый угол

43
00:02:32,520 --> 00:02:35,830
Итак, по правилу угол- сторона - угол

44
00:02:35,840 --> 00:02:37,910
эти треугольники равны

45
00:02:37,920 --> 00:02:39,450
Давайте я запишу это

46
00:02:39,460 --> 00:02:47,540
Записываем, что треугольник ADB равен

47
00:02:47,540 --> 00:02:57,940
CBD и это следует из правила равенства

48
00:02:59,540 --> 00:03:03,160
треугольников "угол - сторона - угол"

49
00:03:03,160 --> 00:03:08,780
Так, это из равенства треугольников

50
00:03:08,780 --> 00:03:10,940
Для чего нам это?

51
00:03:10,950 --> 00:03:14,790
Ну, если 2 треугольника равны, тогда все соответствующие

52
00:03:14,800 --> 00:03:17,960
элементы этих двух треугольников равны.

53
00:03:17,970 --> 00:03:24,280
В частности, сторона DC соответствует стороне BA

54
00:03:24,290 --> 00:03:27,940
сторона DC в нижнем треугольнике - стороне ВА

55
00:03:27,950 --> 00:03:29,170
в верхнем треугольнике

56
00:03:29,170 --> 00:03:31,040
Так, они равны

57
00:03:31,050 --> 00:03:35,470
Так, DC равно ВА

58
00:03:35,470 --> 00:03:39,070
и это потому что они - соотвествующие

59
00:03:39,080 --> 00:03:46,990
стороны равных треугольников.

60
00:03:47,000 --> 00:03:51,300
Итак, это будет равно тому и по этой логике

61
00:03:51,310 --> 00:03:56,470
AD соответствует CB

62
00:03:56,470 --> 00:04:02,370
AD равно СВ по этой же причине:

63
00:04:02,370 --> 00:04:05,290
соответствующие стороны равных треугольников.

64
00:04:05,290 --> 00:04:06,270
И готово!

65
00:04:06,590 --> 00:04:09,670
Мы доказали, что противоположные стороны равны.

66
00:04:09,680 --> 00:04:13,160
Теперь давайте по-другому.

67
00:04:13,160 --> 00:04:16,410
Скажем, у нас есть некий четырехугольник и

68
00:04:16,420 --> 00:04:18,890
мы знаем, что противоположные стороны равны,

69
00:04:18,900 --> 00:04:22,130
мы можем доказать, что это параллелограмм?

70
00:04:22,140 --> 00:04:24,530
Ну, это то же самое доказательство наоборот.

71
00:04:24,540 --> 00:04:26,740
Итак, давайте начертим диагональ тут,

72
00:04:26,750 --> 00:04:28,870
мы знаем много о треугольниках

73
00:04:28,880 --> 00:04:30,700
Дайте я нарисую

74
00:04:31,630 --> 00:04:33,120
так

75
00:04:34,020 --> 00:04:35,650
это самая сложная часть

76
00:04:35,660 --> 00:04:37,830
нарисовать... Достаточно хорошо

77
00:04:37,840 --> 00:04:38,590
Хорошо

78
00:04:38,600 --> 00:04:42,420
Итак, очевидно, что СВ будет равно самому себе.

79
00:04:42,430 --> 00:04:44,080
Я начерчу это так

80
00:04:44,090 --> 00:04:46,860
очевидно, что это одна и та же линия

81
00:04:46,870 --> 00:04:48,460
И далее у нас кое-что интересное

82
00:04:48,470 --> 00:04:53,110
Мы разделили этот четырехугольник на два треугольника: АСВ

83
00:04:53,120 --> 00:04:56,410
и DBC

84
00:04:56,420 --> 00:05:00,530
Заметьте, у них все три стороны

85
00:05:00,540 --> 00:05:01,750
равны друг другу

86
00:05:01,760 --> 00:05:04,890
Из правила равенства треугольников по 3-м

87
00:05:04,900 --> 00:05:11,790
сторонам мы знаем, что АСВ

88
00:05:11,800 --> 00:05:23,510
будет равен DBC это из равенства

89
00:05:23,510 --> 00:05:30,550
треугольников по трем сторонам

90
00:05:30,560 --> 00:05:32,320
Для чего нам это?

91
00:05:32,330 --> 00:05:34,720
Это значит, что все соотвествующие

92
00:05:34,730 --> 00:05:36,350
углы равны

93
00:05:36,350 --> 00:05:47,010
Например, угол АВС будет

94
00:05:47,010 --> 00:05:53,580
равен углу DCB,

95
00:05:53,580 --> 00:06:02,600
и вы можете сказать, что это соответствующие углы

96
00:06:02,610 --> 00:06:06,790
равных треугольников.

97
00:06:06,800 --> 00:06:08,980
я сокращаю, чтобы сэкономить время.

98
00:06:08,990 --> 00:06:12,280
Итак, АВС будет равен DCB

99
00:06:12,290 --> 00:06:15,180
итак, эти два угла равны

100
00:06:15,190 --> 00:06:18,230
Это интересно, потому что тут у нас линия

101
00:06:18,240 --> 00:06:23,030
и она пересекает АВ и CD и мы видим, что

102
00:06:23,040 --> 00:06:26,770
эти углы накрест лежащие, внутренние

103
00:06:26,780 --> 00:06:27,760
они равны.

104
00:06:27,770 --> 00:06:30,840
И по этой причине

105
00:06:30,850 --> 00:06:33,950
мы знаем, что АВ должна быть параллельна CD.

106
00:06:33,960 --> 00:06:36,830
Так, мы знаем, что АВ должна

107
00:06:36,840 --> 00:06:45,030
быть параллельна CD потому что есть внутренние

108
00:06:45,030 --> 00:06:48,540
накрест лежащие углы секущей, пересекающей параллельные прямые.

109
00:06:48,540 --> 00:06:53,310
Теперь мы можем использовать ту же логику

110
00:06:53,310 --> 00:07:04,380
угол АСВ равен угл DBC

111
00:07:04,380 --> 00:07:08,840
и мы знаем это из

112
00:07:08,840 --> 00:07:14,930
равенства треугольников

113
00:07:14,930 --> 00:07:18,630
Итак, мы только что сказали что этот угол равен этому углу.

114
00:07:18,640 --> 00:07:22,320
И опять, эти углы выглядят как внутренние

115
00:07:22,330 --> 00:07:25,480
накрест лежащие, это секущая

116
00:07:25,490 --> 00:07:27,460
а это две лини, мы не уверены, они параллельны

117
00:07:27,470 --> 00:07:29,960
но по причине того, что внутренние накрест лежащие

118
00:07:29,970 --> 00:07:33,110
углы равны, мы знаем, что они параллельны.

119
00:07:33,120 --> 00:07:34,700
Итак, эта параллельна этой

120
00:07:34,710 --> 00:07:45,380
АС параллельная BD.

121
00:07:45,390 --> 00:07:48,440
Готово!

122
00:07:48,440 --> 00:07:50,880
То, что мы сделали - интересно

123
00:07:50,880 --> 00:07:52,750
Мы показали, если у вас есть параллелограмм,

124
00:07:52,750 --> 00:07:55,630
противоположные стороны которого равны

125
00:07:55,640 --> 00:07:57,440
то у вас это

126
00:07:57,450 --> 00:08:00,130
параллелограмм

127
00:08:00,140 --> 00:08:01,160
Собственно, мы это доказали в обоих направлениях

128
00:08:01,170 --> 00:08:03,540
И мы собственно сделали, что называется

129
00:08:03,550 --> 00:08:05,700
"тогда и только тогда" утверждение

130
00:08:05,700 --> 00:08:08,410
Вы можете сказать "Если противоположные стороны параллельны у четырехугольника "

131
00:08:08,410 --> 00:08:11,720
или вы можете сказать "Противоположные стороны четырехугольника

132
00:08:11,730 --> 00:08:15,750
параллельны тогда и только тогда если их стороны равны".

133
00:08:15,760 --> 00:08:18,780
И вы можете сказать "тогда и только тогда"

134
00:08:18,790 --> 00:08:20,050
Итак, если они параллельны, тогда вы можете сказать, что их стороны равны

135
00:08:20,060 --> 00:08:23,230
и только если их стороны равны, они параллельны.

136
00:08:23,230 --> 00:08:29,423
Мы доказали это в обоих направлениях.