0:00:00.000,0:00:03.740
В этом видео мы рассмотрим несколько

0:00:03.740,0:00:06.820
доказательств, связанных с параллелограмом

0:00:06.820,0:00:08.750
И это первое, что мы собираемся сказать,

0:00:08.750,0:00:10.900
"Если у нас есть параллелограмм ABCD,

0:00:10.900,0:00:13.980
докажем, что противоположные стороны равны

0:00:13.980,0:00:19.570
Итак, докажем, что АB = DC и AD = ВС.

0:00:19.580,0:00:21.760
Дайте мне начертить диагональ.

0:00:21.770,0:00:24.000
Так, я черчу диагональ. Она, в зависимости

0:00:24.000,0:00:26.920
от того, как вы смотрите на нее, пересекает

0:00:26.920,0:00:30.300
две пары параллельных линий, и вы можете

0:00:30.300,0:00:32.490
рассматривать ее как секущую.

0:00:32.490,0:00:34.170
Давайте я начерчу понятнее.

0:00:34.180,0:00:35.750
Я могу лучше.

0:00:35.760,0:00:37.780
Так, это не лучше.

0:00:37.780,0:00:40.730
Это примерно так хорошо, как я могу.

0:00:40.730,0:00:44.970
Итак, смотрим, диагональ DB мы можем рассматривать

0:00:44.980,0:00:48.880
как секущую для параллельных прямых AB и DC.

0:00:48.890,0:00:54.060
И с это точки зрения угол ABD

0:00:54.060,0:00:55.600
равен

0:00:55.610,0:00:58.430
Так, это угол ABD равен углу BDC,

0:00:58.440,0:01:03.400
потому что это внутренние накрест лежащие углы.

0:01:03.410,0:01:05.320
У нас есть секущая, параллельные прямые

0:01:05.330,0:01:10.640
и поэтому угол ABD равен

0:01:10.650,0:01:15.970
углу BDC. Теперь вы также можете

0:01:15.970,0:01:19.740
рассматривать диагональ DB

0:01:19.740,0:01:22.430
как секущую этих двух параллельных прямых

0:01:22.450,0:01:27.370
другую пару параллельных: AD и BC

0:01:27.370,0:01:31.260
и вы увидите, что

0:01:31.270,0:01:40.520
угол DBC будет равен ADB

0:01:40.530,0:01:49.650
по той же самой причине: они внутренние накрест лежащие

0:01:49.660,0:01:52.860
секущей и двух параллельных прямых

0:01:52.870,0:01:54.260
Так, я могу записать это

0:01:54.270,0:02:03.080
внутренние накрест лежащие углы равны, когда у

0:02:03.090,0:02:06.410
вас есть секущая, проходящая через 2 параллельные прямые.

0:02:06.720,0:02:09.630
И также мы видим два трегольника

0:02:09.640,0:02:16.120
треугольники ADB и CDB,

0:02:16.130,0:02:18.020
у них общая сторона тут

0:02:18.030,0:02:20.030
Почему это полезно?

0:02:20.040,0:02:23.250
Ну, вы может представить себе, что

0:02:23.260,0:02:26.780
нам просто показаны два треугольника, у них есть этот

0:02:26.790,0:02:28.860
розовый угол и эта сторона общая и

0:02:28.870,0:02:32.510
этот зеленый угол

0:02:32.520,0:02:35.830
Итак, по правилу угол- сторона - угол

0:02:35.840,0:02:37.910
эти треугольники равны

0:02:37.920,0:02:39.450
Давайте я запишу это

0:02:39.460,0:02:47.540
Записываем, что треугольник ADB равен

0:02:47.540,0:02:57.940
CBD и это следует из правила равенства

0:02:59.540,0:03:03.160
треугольников "угол - сторона - угол"

0:03:03.160,0:03:08.780
Так, это из равенства треугольников

0:03:08.780,0:03:10.940
Для чего нам это?

0:03:10.950,0:03:14.790
Ну, если 2 треугольника равны, тогда все соответствующие

0:03:14.800,0:03:17.960
элементы этих двух треугольников равны.

0:03:17.970,0:03:24.280
В частности, сторона DC соответствует стороне BA

0:03:24.290,0:03:27.940
сторона DC в нижнем треугольнике - стороне ВА

0:03:27.950,0:03:29.170
в верхнем треугольнике

0:03:29.170,0:03:31.040
Так, они равны

0:03:31.050,0:03:35.470
Так, DC равно ВА

0:03:35.470,0:03:39.070
и это потому что они - соотвествующие

0:03:39.080,0:03:46.990
стороны равных треугольников.

0:03:47.000,0:03:51.300
Итак, это будет равно тому и по этой логике

0:03:51.310,0:03:56.470
AD соответствует CB

0:03:56.470,0:04:02.370
AD равно СВ по этой же причине:

0:04:02.370,0:04:05.290
соответствующие стороны равных треугольников.

0:04:05.290,0:04:06.270
И готово!

0:04:06.590,0:04:09.670
Мы доказали, что противоположные стороны равны.

0:04:09.680,0:04:13.160
Теперь давайте по-другому.

0:04:13.160,0:04:16.410
Скажем, у нас есть некий четырехугольник и

0:04:16.420,0:04:18.890
мы знаем, что противоположные стороны равны,

0:04:18.900,0:04:22.130
мы можем доказать, что это параллелограмм?

0:04:22.140,0:04:24.530
Ну, это то же самое доказательство наоборот.

0:04:24.540,0:04:26.740
Итак, давайте начертим диагональ тут,

0:04:26.750,0:04:28.870
мы знаем много о треугольниках

0:04:28.880,0:04:30.700
Дайте я нарисую

0:04:31.630,0:04:33.120
так

0:04:34.020,0:04:35.650
это самая сложная часть

0:04:35.660,0:04:37.830
нарисовать... Достаточно хорошо

0:04:37.840,0:04:38.590
Хорошо

0:04:38.600,0:04:42.420
Итак, очевидно, что СВ будет равно самому себе.

0:04:42.430,0:04:44.080
Я начерчу это так

0:04:44.090,0:04:46.860
очевидно, что это одна и та же линия

0:04:46.870,0:04:48.460
И далее у нас кое-что интересное

0:04:48.470,0:04:53.110
Мы разделили этот четырехугольник на два треугольника: АСВ

0:04:53.120,0:04:56.410
и DBC

0:04:56.420,0:05:00.530
Заметьте, у них все три стороны

0:05:00.540,0:05:01.750
равны друг другу

0:05:01.760,0:05:04.890
Из правила равенства треугольников по 3-м

0:05:04.900,0:05:11.790
сторонам мы знаем, что АСВ

0:05:11.800,0:05:23.510
будет равен DBC это из равенства

0:05:23.510,0:05:30.550
треугольников по трем сторонам

0:05:30.560,0:05:32.320
Для чего нам это?

0:05:32.330,0:05:34.720
Это значит, что все соотвествующие

0:05:34.730,0:05:36.350
углы равны

0:05:36.350,0:05:47.010
Например, угол АВС будет

0:05:47.010,0:05:53.580
равен углу DCB,

0:05:53.580,0:06:02.600
и вы можете сказать, что это соответствующие углы

0:06:02.610,0:06:06.790
равных треугольников.

0:06:06.800,0:06:08.980
я сокращаю, чтобы сэкономить время.

0:06:08.990,0:06:12.280
Итак, АВС будет равен DCB

0:06:12.290,0:06:15.180
итак, эти два угла равны

0:06:15.190,0:06:18.230
Это интересно, потому что тут у нас линия

0:06:18.240,0:06:23.030
и она пересекает АВ и CD и мы видим, что

0:06:23.040,0:06:26.770
эти углы накрест лежащие, внутренние

0:06:26.780,0:06:27.760
они равны.

0:06:27.770,0:06:30.840
И по этой причине

0:06:30.850,0:06:33.950
мы знаем, что АВ должна быть параллельна CD.

0:06:33.960,0:06:36.830
Так, мы знаем, что АВ должна

0:06:36.840,0:06:45.030
быть параллельна CD потому что есть внутренние

0:06:45.030,0:06:48.540
накрест лежащие углы секущей, пересекающей параллельные прямые.

0:06:48.540,0:06:53.310
Теперь мы можем использовать ту же логику

0:06:53.310,0:07:04.380
угол АСВ равен угл DBC

0:07:04.380,0:07:08.840
и мы знаем это из

0:07:08.840,0:07:14.930
равенства треугольников

0:07:14.930,0:07:18.630
Итак, мы только что сказали что этот угол равен этому углу.

0:07:18.640,0:07:22.320
И опять, эти углы выглядят как внутренние

0:07:22.330,0:07:25.480
накрест лежащие, это секущая

0:07:25.490,0:07:27.460
а это две лини, мы не уверены, они параллельны

0:07:27.470,0:07:29.960
но по причине того, что внутренние накрест лежащие

0:07:29.970,0:07:33.110
углы равны, мы знаем, что они параллельны.

0:07:33.120,0:07:34.700
Итак, эта параллельна этой

0:07:34.710,0:07:45.380
АС параллельная BD.

0:07:45.390,0:07:48.440
Готово!

0:07:48.440,0:07:50.880
То, что мы сделали - интересно

0:07:50.880,0:07:52.750
Мы показали, если у вас есть параллелограмм,

0:07:52.750,0:07:55.630
противоположные стороны которого равны

0:07:55.640,0:07:57.440
то у вас это

0:07:57.450,0:08:00.130
параллелограмм

0:08:00.140,0:08:01.160
Собственно, мы это доказали в обоих направлениях

0:08:01.170,0:08:03.540
И мы собственно сделали, что называется

0:08:03.550,0:08:05.700
"тогда и только тогда" утверждение

0:08:05.700,0:08:08.410
Вы можете сказать "Если противоположные стороны параллельны у четырехугольника "

0:08:08.410,0:08:11.720
или вы можете сказать "Противоположные стороны четырехугольника

0:08:11.730,0:08:15.750
параллельны тогда и только тогда если их стороны равны".

0:08:15.760,0:08:18.780
И вы можете сказать "тогда и только тогда"

0:08:18.790,0:08:20.050
Итак, если они параллельны, тогда вы можете сказать, что их стороны равны

0:08:20.060,0:08:23.230
и только если их стороны равны, они параллельны.

0:08:23.230,0:08:29.423
Мы доказали это в обоих направлениях.