-
V tomto videu si ukážeme několik
jednoduchých důkazů u rovnoběžníku.
-
V tomhle prvním si řekneme,
-
že máme tento rovnoběžník ABCD,
-
dokažme si, že protilehlé
strany mají stejnou délku.
-
Takže dokažme, že AB se rovná DC
a že AD se rovná BC.
-
Nakreslím tady diagonálu.
-
Takže kreslím diagonálu.
-
Tahle diagonála, podle
způsobu pohledu,
-
protíná dvě sady rovnoběžných
čar, takže můžeme říct,
-
že je to příčka.
-
Nakreslím to trochu lépe, umím to líp.
-
Takže, ne, to není vůbec lepší.
-
Lepší to asi už nebude.
-
Když se podíváme na DB,
tuto diagonálu DB,
-
můžeme se na ni dívat jako na příčku
pro rovnoběžné úsečky AB a DC.
-
A když se na to podíváme takhle, tak
můžeme vidět, že úhel ABD bude shodný…
-
Takže úhel ABD, to je tady ten úhel,
-
bude shodný s úhlem BDC,
protože jsou to střídavé vnitřní úhly.
-
Máme příčku, rovnoběžné úsečky.
-
Takže víme, že úhel ABD
bude shodný s úhlem BDC.
-
Tuto diagonálu DB můžeme také považovat
za příčku těchto dvou rovnoběžných úseček,
-
toho druhého páru
rovnoběžných úseček AD a BC.
-
A když se na to podíváte takhle,
tak vidíte, že úhel DBC,
-
úhel DBC tady bude shodný
s úhlem ADB ze stejného důvodu,
-
jsou to střídavé vnitřní úhly jedné příčky
protínající tyto dvě rovnoběžné úsečky.
-
Můžu tedy napsat toto.
-
Tyhle střídavé vnitřní úhly jsou shodné,
-
když máme příčku protínající
dvě rovnoběžné úsečky.
-
A také vidíme, že oba tyto trojúhelníky,
-
trojúhelník ADB a trojúhelník CDB
sdílí tuto stranu.
-
Ta se samozřejmě rovná sama sobě.
-
Tak jak nám to pomůže?
-
Možná jste si uvědomili,
že jsme právě ukázali,
-
že oba trojúhelníky mají společný růžový
úhel, tuto stranu a tento zelený úhel.
-
Růžový úhel a stranu mají společnou
a potom tento zelený úhel.
-
Právě jsme dokázali podle
věty úhel-strana-úhel,
-
že tyto dva trojúhelníky jsou shodné.
-
Napíšu to.
-
Dokázali jsme, že trojúhelník…
-
Půjdu od neoznačeného
k růžovému a zelenému.
-
ADB je shodný s trojúhelníkem…
-
Neoznačený, růžový, zelený…
-
CBD.
-
A to vychází z věty
o shodě úhel-strana-úhel.
-
Toto je tedy shoda úhel-strana-úhel.
-
Co to pro nás znamená?
-
Když jsou tyto dva trojúhelníky shodné,
-
pak jsou všechny odpovídající si části
těchto trojúhelníků také shodné.
-
Strana DC odpovídá straně BA…
-
Strana DC toho spodního trojúhelníku
odpovídá straně BA horního trojúhelníku.
-
Takže musí být shodné.
-
Tedy DC…
-
DC se bude rovnat BA a to proto,
-
že jsou to odpovídající si
strany shodných trojúhelníků.
-
Toto se bude rovnat tomuto a podle
stejného principu, AD odpovídá CB.
-
AD odpovídá CB.
-
AD je rovno CB
a to podle stejného principu.
-
Jsou to odpovídající si
strany shodných trojúhelníků.
-
A máme hotovo.
-
Dokázali jsme,
že protilehlé strany jsou shodné.
-
Teď půjdeme opačně.
-
Řekněme, že máme nějaký čtyřúhelník
-
a víme, že jeho
protilehlé strany jsou shodné.
-
Můžeme dokázat, že je to rovnoběžník?
-
Je to ten samý důkaz, ale pozpátku.
-
Nakresleme si diagonálu.
-
Protože toho víme hodně o trojúhelnících.
-
Takže nakreslím…
-
Tady to máme.
-
Tohle je nejtěžší.
-
Nakreslím…
To je docela dobré.
-
Tedy víme, že CB se
bude rovnat sama sobě.
-
Nakreslím to takto.
-
Je to jasné, je to ta stejná čára.
-
Pak tu máme něco zajímavého.
-
Rozdělili jsme tento čtyřúhelník
na dva trojúhelníky.
-
Trojúhelník ACB a trojúhelník DBC.
-
A všimněte si, tři strany těchto dvou
trojúhelníků jsou navzájem shodné.
-
Tedy podle věty
strana-strana-strana jsou shodné.
-
Víme, že trojúhelník A…
-
Začnu na A a půjdu ke kratší straně,
-
takže ACB je shodný s trojúhelníkem DBC.
-
A je to shoda strana-strana-strana.
-
Co to pro nás znamená?
-
Říká nám to, že všechny
odpovídající si úhly budou shodné.
-
Například ABC, úhel ABC bude…
-
Vyznačím to.
-
Úhel ABC bude shodný s…
-
Vidíte ABC, ten bude shodný s úhlem DCB.
-
Úhel DCB, protože jsou to odpovídající
si úhly shodných trojúhelníků.
-
Trochu jsem to zkrátil, abych ušetřil čas.
-
Takže ABC bude shodný s DCB.
-
Tyto dva úhly budou shodné.
-
A to je zajímavé, protože tady máme čáru,
-
která protíná AB a CD a jasně vidíme,
-
že tyto úhly, které mohou
být střídavé vnitřní úhly, budou shodné.
-
A protože máme tyto
shodné vnitřní střídavé úhly,
-
víme, že AB musí být rovnoběžná s CD.
-
Toto musí být rovnoběžné s tímto.
-
Víme,
-
že AB je rovnoběžná s CD podle střídavých
úhlů příčky protínající dvě rovnoběžky.
-
Podle stejného principu víme, že úhel…
-
Ať to mám správně.
-
Úhel ACB je shodný s úhlem DBC.
-
A víme to proto, že odpovídající si úhly
shodných trojúhelníků jsou shodné.
-
Jen říkáme, že tento úhel
je stejný jako tento úhel.
-
Ještě jednou, toto
jsou střídavé vnitřní úhly,
-
vypadají na to, toto je
příčka a tyto dvě úsečky,
-
a nevíme, zda jsou rovnoběžné,
-
ale protože střídavé
vnitřní úhly jsou shodné,
-
tak víme, že jsou rovnoběžné.
-
Takže toto je rovnoběžné s tímto.
-
Víme, že AC je rovnoběžná s BD
díky střídavým vnitřním úhlům.
-
A máme hotovo.
-
Co jsme teď udělali je zajímavé.
-
Dokázali jsme, že když máme rovnoběžník,
jeho protilehlé strany mají stejnou délku.
-
A když mají protilehlé
strany stejnou délku,
-
pak máme rovnoběžník.
-
Dokázali jsme to oběma směry.
-
A můžeme tedy použít
definici „právě tehdy...“ .
-
Můžete říct: „Když jsou protilehlé strany
čtyřúhelníku rovnoběžné…“.
-
Nebo: „Protilehlé strany čtyřúhelníku
jsou rovnoběžné právě tehdy,
-
když mají stejnou délku.“
-
A můžete říct „právě tehdy“.
-
Takže když jsou rovnoběžné,
pak lze říct, že mají stejnou délku
-
a pouze pokud jsou jejich délky
shodné, pak jsou rovnoběžné.
-
Dokázali jsme to oběma směry.
Khan Academy
