1
00:00:00,610 --> 00:00:07,450
V tomto videu si ukážeme několik
jednoduchých důkazů u rovnoběžníku.

2
00:00:07,450 --> 00:00:08,750
V tomhle prvním si řekneme,

3
00:00:08,760 --> 00:00:10,680
že máme tento rovnoběžník ABCD,

4
00:00:10,680 --> 00:00:13,770
dokažme si, že protilehlé
strany mají stejnou délku.

5
00:00:13,770 --> 00:00:19,570
Takže dokažme, že AB se rovná DC 
a že AD se rovná BC.

6
00:00:19,580 --> 00:00:21,760
Nakreslím tady diagonálu.

7
00:00:21,770 --> 00:00:24,610
Takže kreslím diagonálu.

8
00:00:24,610 --> 00:00:26,700
Tahle diagonála, podle
způsobu pohledu,

9
00:00:26,700 --> 00:00:31,010
protíná dvě sady rovnoběžných
čar, takže můžeme říct,

10
00:00:31,020 --> 00:00:32,240
že je to příčka.

11
00:00:32,240 --> 00:00:35,530
Nakreslím to trochu lépe, umím to líp.

12
00:00:35,530 --> 00:00:38,490
Takže, ne, to není vůbec lepší.

13
00:00:38,490 --> 00:00:41,170
Lepší to asi už nebude.

14
00:00:41,170 --> 00:00:43,960
Když se podíváme na DB, 
tuto diagonálu DB,

15
00:00:43,960 --> 00:00:48,880
můžeme se na ni dívat jako na příčku 
pro rovnoběžné úsečky AB a DC.

16
00:00:48,890 --> 00:00:55,250
A když se na to podíváme takhle, tak
můžeme vidět, že úhel ABD bude shodný…

17
00:00:55,250 --> 00:00:57,990
Takže úhel ABD, to je tady ten úhel,

18
00:00:57,990 --> 00:01:03,400
bude shodný s úhlem BDC, 
protože jsou to střídavé vnitřní úhly.

19
00:01:03,410 --> 00:01:05,100
Máme příčku, rovnoběžné úsečky.

20
00:01:05,100 --> 00:01:15,950
Takže víme, že úhel ABD
bude shodný s úhlem BDC.

21
00:01:15,950 --> 00:01:22,450
Tuto diagonálu DB můžeme také považovat
za příčku těchto dvou rovnoběžných úseček,

22
00:01:22,450 --> 00:01:27,360
toho druhého páru
rovnoběžných úseček AD a BC.

23
00:01:27,370 --> 00:01:32,500
A když se na to podíváte takhle,
tak vidíte, že úhel DBC,

24
00:01:32,500 --> 00:01:47,690
úhel DBC tady bude shodný
s úhlem ADB ze stejného důvodu,

25
00:01:47,690 --> 00:01:52,830
jsou to střídavé vnitřní úhly jedné příčky
protínající tyto dvě rovnoběžné úsečky.

26
00:01:52,830 --> 00:01:54,130
Můžu tedy napsat toto.

27
00:01:54,130 --> 00:02:02,600
Tyhle střídavé vnitřní úhly jsou shodné,

28
00:02:02,600 --> 00:02:06,780
když máme příčku protínající
dvě rovnoběžné úsečky.

29
00:02:06,780 --> 00:02:09,390
A také vidíme, že oba tyto trojúhelníky,

30
00:02:09,390 --> 00:02:15,930
trojúhelník ADB a trojúhelník CDB
sdílí tuto stranu.

31
00:02:15,930 --> 00:02:18,020
Ta se samozřejmě rovná sama sobě.

32
00:02:18,030 --> 00:02:20,030
Tak jak nám to pomůže?

33
00:02:20,040 --> 00:02:22,390
Možná jste si uvědomili,
že jsme právě ukázali,

34
00:02:22,390 --> 00:02:28,860
že oba trojúhelníky mají společný růžový
úhel, tuto stranu a tento zelený úhel.

35
00:02:28,870 --> 00:02:32,510
Růžový úhel a stranu mají společnou
a potom tento zelený úhel.

36
00:02:32,520 --> 00:02:35,300
Právě jsme dokázali podle
věty úhel-strana-úhel,

37
00:02:35,300 --> 00:02:37,910
že tyto dva trojúhelníky jsou shodné.

38
00:02:37,920 --> 00:02:39,350
Napíšu to.

39
00:02:39,350 --> 00:02:42,130
Dokázali jsme, že trojúhelník…

40
00:02:42,130 --> 00:02:45,480
Půjdu od neoznačeného
k růžovému a zelenému.

41
00:02:45,480 --> 00:02:49,800
ADB je shodný s trojúhelníkem…

42
00:02:49,800 --> 00:02:53,310
Neoznačený, růžový, zelený…

43
00:02:53,310 --> 00:02:58,860
CBD.

44
00:02:58,860 --> 00:03:03,430
A to vychází z věty
o shodě úhel-strana-úhel.

45
00:03:03,430 --> 00:03:09,340
Toto je tedy shoda úhel-strana-úhel.

46
00:03:09,350 --> 00:03:10,940
Co to pro nás znamená?

47
00:03:10,950 --> 00:03:13,170
Když jsou tyto dva trojúhelníky shodné,

48
00:03:13,170 --> 00:03:17,960
pak jsou všechny odpovídající si části
těchto trojúhelníků také shodné.

49
00:03:17,970 --> 00:03:24,280
Strana DC odpovídá straně BA…

50
00:03:24,290 --> 00:03:28,990
Strana DC toho spodního trojúhelníku 
odpovídá straně BA horního trojúhelníku.

51
00:03:28,990 --> 00:03:31,040
Takže musí být shodné.

52
00:03:31,050 --> 00:03:32,420
Tedy DC…

53
00:03:32,430 --> 00:03:39,070
DC se bude rovnat BA a to proto,

54
00:03:39,080 --> 00:03:46,990
že jsou to odpovídající si 
strany shodných trojúhelníků.

55
00:03:47,000 --> 00:03:55,070
Toto se bude rovnat tomuto a podle
stejného principu, AD odpovídá CB.

56
00:03:55,070 --> 00:03:58,230
AD odpovídá CB.

57
00:03:58,230 --> 00:04:02,600
AD je rovno CB
a to podle stejného principu.

58
00:04:02,600 --> 00:04:05,210
Jsou to odpovídající si
strany shodných trojúhelníků.

59
00:04:05,210 --> 00:04:06,600
A máme hotovo.

60
00:04:06,600 --> 00:04:09,670
Dokázali jsme, 
že protilehlé strany jsou shodné.

61
00:04:09,680 --> 00:04:13,270
Teď půjdeme opačně.

62
00:04:13,270 --> 00:04:16,250
Řekněme, že máme nějaký čtyřúhelník

63
00:04:16,250 --> 00:04:18,730
a víme, že jeho 
protilehlé strany jsou shodné.

64
00:04:18,730 --> 00:04:22,130
Můžeme dokázat, že je to rovnoběžník?

65
00:04:22,140 --> 00:04:24,530
Je to ten samý důkaz, ale pozpátku.

66
00:04:24,540 --> 00:04:26,740
Nakresleme si diagonálu.

67
00:04:26,750 --> 00:04:28,870
Protože toho víme hodně o trojúhelnících.

68
00:04:28,880 --> 00:04:31,650
Takže nakreslím…

69
00:04:31,650 --> 00:04:34,040
Tady to máme.

70
00:04:34,040 --> 00:04:35,380
Tohle je nejtěžší.

71
00:04:35,380 --> 00:04:38,280
Nakreslím…
To je docela dobré.

72
00:04:38,280 --> 00:04:42,420
Tedy víme, že CB se
bude rovnat sama sobě.

73
00:04:42,430 --> 00:04:44,080
Nakreslím to takto.

74
00:04:44,090 --> 00:04:46,690
Je to jasné, je to ta stejná čára.

75
00:04:46,690 --> 00:04:48,190
Pak tu máme něco zajímavého.

76
00:04:48,190 --> 00:04:51,010
Rozdělili jsme tento čtyřúhelník
na dva trojúhelníky.

77
00:04:51,010 --> 00:04:56,410
Trojúhelník ACB a trojúhelník DBC.

78
00:04:56,420 --> 00:05:01,410
A všimněte si, tři strany těchto dvou
trojúhelníků jsou navzájem shodné.

79
00:05:01,410 --> 00:05:04,890
Tedy podle věty 
strana-strana-strana jsou shodné.

80
00:05:04,900 --> 00:05:09,930
Víme, že trojúhelník A…

81
00:05:09,930 --> 00:05:13,350
Začnu na A a půjdu ke kratší straně,

82
00:05:13,350 --> 00:05:24,040
takže ACB je shodný s trojúhelníkem DBC.

83
00:05:24,040 --> 00:05:30,550
A je to shoda strana-strana-strana.

84
00:05:30,560 --> 00:05:32,320
Co to pro nás znamená?

85
00:05:32,330 --> 00:05:36,360
Říká nám to, že všechny 
odpovídající si úhly budou shodné.

86
00:05:36,360 --> 00:05:43,000
Například ABC, úhel ABC bude…

87
00:05:43,000 --> 00:05:44,070
Vyznačím to.

88
00:05:44,140 --> 00:05:49,080
Úhel ABC bude shodný s…

89
00:05:49,080 --> 00:05:54,540
Vidíte ABC, ten bude shodný s úhlem DCB.

90
00:05:54,540 --> 00:06:06,280
Úhel DCB, protože jsou to odpovídající
si úhly shodných trojúhelníků.

91
00:06:06,280 --> 00:06:08,980
Trochu jsem to zkrátil, abych ušetřil čas.

92
00:06:08,990 --> 00:06:12,010
Takže ABC bude shodný s DCB.

93
00:06:12,010 --> 00:06:15,180
Tyto dva úhly budou shodné.

94
00:06:15,190 --> 00:06:18,230
A to je zajímavé, protože tady máme čáru,

95
00:06:18,240 --> 00:06:22,320
která protíná AB a CD a jasně vidíme,

96
00:06:22,320 --> 00:06:27,810
že tyto úhly, které mohou
být střídavé vnitřní úhly, budou shodné.

97
00:06:27,810 --> 00:06:30,550
A protože máme tyto 
shodné vnitřní střídavé úhly,

98
00:06:30,550 --> 00:06:33,950
víme, že AB musí být rovnoběžná s CD.

99
00:06:33,960 --> 00:06:36,510
Toto musí být rovnoběžné s tímto.

100
00:06:36,510 --> 00:06:37,240
Víme,

101
00:06:37,240 --> 00:06:51,530
že AB je rovnoběžná s CD podle střídavých
úhlů příčky protínající dvě rovnoběžky.

102
00:06:51,540 --> 00:06:55,690
Podle stejného principu víme, že úhel…

103
00:06:55,690 --> 00:06:56,830
Ať to mám správně.

104
00:06:56,830 --> 00:07:09,400
Úhel ACB je shodný s úhlem DBC.

105
00:07:09,400 --> 00:07:18,650
A víme to proto, že odpovídající si úhly
shodných trojúhelníků jsou shodné.

106
00:07:18,650 --> 00:07:22,320
Jen říkáme, že tento úhel
je stejný jako tento úhel.

107
00:07:22,330 --> 00:07:25,240
Ještě jednou, toto
jsou střídavé vnitřní úhly,

108
00:07:25,240 --> 00:07:28,440
vypadají na to, toto je
příčka a tyto dvě úsečky,

109
00:07:28,440 --> 00:07:30,100
a nevíme, zda jsou rovnoběžné,

110
00:07:30,100 --> 00:07:32,940
ale protože střídavé
vnitřní úhly jsou shodné,

111
00:07:32,940 --> 00:07:34,700
tak víme, že jsou rovnoběžné.

112
00:07:34,710 --> 00:07:36,820
Takže toto je rovnoběžné s tímto.

113
00:07:36,820 --> 00:07:48,290
Víme, že AC je rovnoběžná s BD
díky střídavým vnitřním úhlům.

114
00:07:48,290 --> 00:07:49,550
A máme hotovo.

115
00:07:49,560 --> 00:07:51,340
Co jsme teď udělali je zajímavé.

116
00:07:51,340 --> 00:07:57,430
Dokázali jsme, že když máme rovnoběžník,
jeho protilehlé strany mají stejnou délku.

117
00:07:57,450 --> 00:07:59,770
A když mají protilehlé
strany stejnou délku,

118
00:07:59,770 --> 00:08:00,960
pak máme rovnoběžník.

119
00:08:00,960 --> 00:08:03,210
Dokázali jsme to oběma směry.

120
00:08:03,210 --> 00:08:06,910
A můžeme tedy použít
definici „právě tehdy...“ .

121
00:08:06,910 --> 00:08:11,720
Můžete říct: „Když jsou protilehlé strany
čtyřúhelníku rovnoběžné…“.

122
00:08:11,730 --> 00:08:16,970
Nebo: „Protilehlé strany čtyřúhelníku
jsou rovnoběžné právě tehdy,

123
00:08:16,970 --> 00:08:18,480
když mají stejnou délku.“

124
00:08:18,480 --> 00:08:20,050
A můžete říct „právě tehdy“.

125
00:08:20,060 --> 00:08:23,050
Takže když jsou rovnoběžné,
pak lze říct, že mají stejnou délku

126
00:08:23,050 --> 00:08:26,450
a pouze pokud jsou jejich délky
shodné, pak jsou rovnoběžné.

127
00:08:26,450 --> 00:08:29,010
Dokázali jsme to oběma směry.