WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:07.450
V tomto videu si ukážeme několik
jednoduchých důkazů u rovnoběžníku.

00:00:07.450 --> 00:00:08.750
V tomhle prvním si řekneme,

00:00:08.760 --> 00:00:10.680
že máme tento rovnoběžník ABCD,

00:00:10.680 --> 00:00:13.770
dokažme si, že protilehlé
strany mají stejnou délku.

00:00:13.770 --> 00:00:19.570
Takže dokažme, že AB se rovná DC 
a že AD se rovná BC.

00:00:19.580 --> 00:00:21.760
Nakreslím tady diagonálu.

00:00:21.770 --> 00:00:24.610
Takže kreslím diagonálu.

00:00:24.610 --> 00:00:26.700
Tahle diagonála, podle
způsobu pohledu,

00:00:26.700 --> 00:00:31.010
protíná dvě sady rovnoběžných
čar, takže můžeme říct,

00:00:31.020 --> 00:00:32.240
že je to příčka.

00:00:32.240 --> 00:00:35.530
Nakreslím to trochu lépe, umím to líp.

00:00:35.530 --> 00:00:38.490
Takže, ne, to není vůbec lepší.

00:00:38.490 --> 00:00:41.170
Lepší to asi už nebude.

00:00:41.170 --> 00:00:43.960
Když se podíváme na DB, 
tuto diagonálu DB,

00:00:43.960 --> 00:00:48.880
můžeme se na ni dívat jako na příčku 
pro rovnoběžné úsečky AB a DC.

00:00:48.890 --> 00:00:55.250
A když se na to podíváme takhle, tak
můžeme vidět, že úhel ABD bude shodný…

00:00:55.250 --> 00:00:57.990
Takže úhel ABD, to je tady ten úhel,

00:00:57.990 --> 00:01:03.400
bude shodný s úhlem BDC, 
protože jsou to střídavé vnitřní úhly.

00:01:03.410 --> 00:01:05.100
Máme příčku, rovnoběžné úsečky.

00:01:05.100 --> 00:01:15.950
Takže víme, že úhel ABD
bude shodný s úhlem BDC.

00:01:15.950 --> 00:01:22.450
Tuto diagonálu DB můžeme také považovat
za příčku těchto dvou rovnoběžných úseček,

00:01:22.450 --> 00:01:27.360
toho druhého páru
rovnoběžných úseček AD a BC.

00:01:27.370 --> 00:01:32.500
A když se na to podíváte takhle,
tak vidíte, že úhel DBC,

00:01:32.500 --> 00:01:47.690
úhel DBC tady bude shodný
s úhlem ADB ze stejného důvodu,

00:01:47.690 --> 00:01:52.830
jsou to střídavé vnitřní úhly jedné příčky
protínající tyto dvě rovnoběžné úsečky.

00:01:52.830 --> 00:01:54.130
Můžu tedy napsat toto.

00:01:54.130 --> 00:02:02.600
Tyhle střídavé vnitřní úhly jsou shodné,

00:02:02.600 --> 00:02:06.780
když máme příčku protínající
dvě rovnoběžné úsečky.

00:02:06.780 --> 00:02:09.390
A také vidíme, že oba tyto trojúhelníky,

00:02:09.390 --> 00:02:15.930
trojúhelník ADB a trojúhelník CDB
sdílí tuto stranu.

00:02:15.930 --> 00:02:18.020
Ta se samozřejmě rovná sama sobě.

00:02:18.030 --> 00:02:20.030
Tak jak nám to pomůže?

00:02:20.040 --> 00:02:22.390
Možná jste si uvědomili,
že jsme právě ukázali,

00:02:22.390 --> 00:02:28.860
že oba trojúhelníky mají společný růžový
úhel, tuto stranu a tento zelený úhel.

00:02:28.870 --> 00:02:32.510
Růžový úhel a stranu mají společnou
a potom tento zelený úhel.

00:02:32.520 --> 00:02:35.300
Právě jsme dokázali podle
věty úhel-strana-úhel,

00:02:35.300 --> 00:02:37.910
že tyto dva trojúhelníky jsou shodné.

00:02:37.920 --> 00:02:39.350
Napíšu to.

00:02:39.350 --> 00:02:42.130
Dokázali jsme, že trojúhelník…

00:02:42.130 --> 00:02:45.480
Půjdu od neoznačeného
k růžovému a zelenému.

00:02:45.480 --> 00:02:49.800
ADB je shodný s trojúhelníkem…

00:02:49.800 --> 00:02:53.310
Neoznačený, růžový, zelený…

00:02:53.310 --> 00:02:58.860
CBD.

00:02:58.860 --> 00:03:03.430
A to vychází z věty
o shodě úhel-strana-úhel.

00:03:03.430 --> 00:03:09.340
Toto je tedy shoda úhel-strana-úhel.

00:03:09.350 --> 00:03:10.940
Co to pro nás znamená?

00:03:10.950 --> 00:03:13.170
Když jsou tyto dva trojúhelníky shodné,

00:03:13.170 --> 00:03:17.960
pak jsou všechny odpovídající si části
těchto trojúhelníků také shodné.

00:03:17.970 --> 00:03:24.280
Strana DC odpovídá straně BA…

00:03:24.290 --> 00:03:28.990
Strana DC toho spodního trojúhelníku 
odpovídá straně BA horního trojúhelníku.

00:03:28.990 --> 00:03:31.040
Takže musí být shodné.

00:03:31.050 --> 00:03:32.420
Tedy DC…

00:03:32.430 --> 00:03:39.070
DC se bude rovnat BA a to proto,

00:03:39.080 --> 00:03:46.990
že jsou to odpovídající si 
strany shodných trojúhelníků.

00:03:47.000 --> 00:03:55.070
Toto se bude rovnat tomuto a podle
stejného principu, AD odpovídá CB.

00:03:55.070 --> 00:03:58.230
AD odpovídá CB.

00:03:58.230 --> 00:04:02.600
AD je rovno CB
a to podle stejného principu.

00:04:02.600 --> 00:04:05.210
Jsou to odpovídající si
strany shodných trojúhelníků.

00:04:05.210 --> 00:04:06.600
A máme hotovo.

00:04:06.600 --> 00:04:09.670
Dokázali jsme, 
že protilehlé strany jsou shodné.

00:04:09.680 --> 00:04:13.270
Teď půjdeme opačně.

00:04:13.270 --> 00:04:16.250
Řekněme, že máme nějaký čtyřúhelník

00:04:16.250 --> 00:04:18.730
a víme, že jeho 
protilehlé strany jsou shodné.

00:04:18.730 --> 00:04:22.130
Můžeme dokázat, že je to rovnoběžník?

00:04:22.140 --> 00:04:24.530
Je to ten samý důkaz, ale pozpátku.

00:04:24.540 --> 00:04:26.740
Nakresleme si diagonálu.

00:04:26.750 --> 00:04:28.870
Protože toho víme hodně o trojúhelnících.

00:04:28.880 --> 00:04:31.650
Takže nakreslím…

00:04:31.650 --> 00:04:34.040
Tady to máme.

00:04:34.040 --> 00:04:35.380
Tohle je nejtěžší.

00:04:35.380 --> 00:04:38.280
Nakreslím…
To je docela dobré.

00:04:38.280 --> 00:04:42.420
Tedy víme, že CB se
bude rovnat sama sobě.

00:04:42.430 --> 00:04:44.080
Nakreslím to takto.

00:04:44.090 --> 00:04:46.690
Je to jasné, je to ta stejná čára.

00:04:46.690 --> 00:04:48.190
Pak tu máme něco zajímavého.

00:04:48.190 --> 00:04:51.010
Rozdělili jsme tento čtyřúhelník
na dva trojúhelníky.

00:04:51.010 --> 00:04:56.410
Trojúhelník ACB a trojúhelník DBC.

00:04:56.420 --> 00:05:01.410
A všimněte si, tři strany těchto dvou
trojúhelníků jsou navzájem shodné.

00:05:01.410 --> 00:05:04.890
Tedy podle věty 
strana-strana-strana jsou shodné.

00:05:04.900 --> 00:05:09.930
Víme, že trojúhelník A…

00:05:09.930 --> 00:05:13.350
Začnu na A a půjdu ke kratší straně,

00:05:13.350 --> 00:05:24.040
takže ACB je shodný s trojúhelníkem DBC.

00:05:24.040 --> 00:05:30.550
A je to shoda strana-strana-strana.

00:05:30.560 --> 00:05:32.320
Co to pro nás znamená?

00:05:32.330 --> 00:05:36.360
Říká nám to, že všechny 
odpovídající si úhly budou shodné.

00:05:36.360 --> 00:05:43.000
Například ABC, úhel ABC bude…

00:05:43.000 --> 00:05:44.070
Vyznačím to.

00:05:44.140 --> 00:05:49.080
Úhel ABC bude shodný s…

00:05:49.080 --> 00:05:54.540
Vidíte ABC, ten bude shodný s úhlem DCB.

00:05:54.540 --> 00:06:06.280
Úhel DCB, protože jsou to odpovídající
si úhly shodných trojúhelníků.

00:06:06.280 --> 00:06:08.980
Trochu jsem to zkrátil, abych ušetřil čas.

00:06:08.990 --> 00:06:12.010
Takže ABC bude shodný s DCB.

00:06:12.010 --> 00:06:15.180
Tyto dva úhly budou shodné.

00:06:15.190 --> 00:06:18.230
A to je zajímavé, protože tady máme čáru,

00:06:18.240 --> 00:06:22.320
která protíná AB a CD a jasně vidíme,

00:06:22.320 --> 00:06:27.810
že tyto úhly, které mohou
být střídavé vnitřní úhly, budou shodné.

00:06:27.810 --> 00:06:30.550
A protože máme tyto 
shodné vnitřní střídavé úhly,

00:06:30.550 --> 00:06:33.950
víme, že AB musí být rovnoběžná s CD.

00:06:33.960 --> 00:06:36.510
Toto musí být rovnoběžné s tímto.

00:06:36.510 --> 00:06:37.240
Víme,

00:06:37.240 --> 00:06:51.530
že AB je rovnoběžná s CD podle střídavých
úhlů příčky protínající dvě rovnoběžky.

00:06:51.540 --> 00:06:55.690
Podle stejného principu víme, že úhel…

00:06:55.690 --> 00:06:56.830
Ať to mám správně.

00:06:56.830 --> 00:07:09.400
Úhel ACB je shodný s úhlem DBC.

00:07:09.400 --> 00:07:18.650
A víme to proto, že odpovídající si úhly
shodných trojúhelníků jsou shodné.

00:07:18.650 --> 00:07:22.320
Jen říkáme, že tento úhel
je stejný jako tento úhel.

00:07:22.330 --> 00:07:25.240
Ještě jednou, toto
jsou střídavé vnitřní úhly,

00:07:25.240 --> 00:07:28.440
vypadají na to, toto je
příčka a tyto dvě úsečky,

00:07:28.440 --> 00:07:30.100
a nevíme, zda jsou rovnoběžné,

00:07:30.100 --> 00:07:32.940
ale protože střídavé
vnitřní úhly jsou shodné,

00:07:32.940 --> 00:07:34.700
tak víme, že jsou rovnoběžné.

00:07:34.710 --> 00:07:36.820
Takže toto je rovnoběžné s tímto.

00:07:36.820 --> 00:07:48.290
Víme, že AC je rovnoběžná s BD
díky střídavým vnitřním úhlům.

00:07:48.290 --> 00:07:49.550
A máme hotovo.

00:07:49.560 --> 00:07:51.340
Co jsme teď udělali je zajímavé.

00:07:51.340 --> 00:07:57.430
Dokázali jsme, že když máme rovnoběžník,
jeho protilehlé strany mají stejnou délku.

00:07:57.450 --> 00:07:59.770
A když mají protilehlé
strany stejnou délku,

00:07:59.770 --> 00:08:00.960
pak máme rovnoběžník.

00:08:00.960 --> 00:08:03.210
Dokázali jsme to oběma směry.

00:08:03.210 --> 00:08:06.910
A můžeme tedy použít
definici „právě tehdy...“ .

00:08:06.910 --> 00:08:11.720
Můžete říct: „Když jsou protilehlé strany
čtyřúhelníku rovnoběžné…“.

00:08:11.730 --> 00:08:16.970
Nebo: „Protilehlé strany čtyřúhelníku
jsou rovnoběžné právě tehdy,

00:08:16.970 --> 00:08:18.480
když mají stejnou délku.“

00:08:18.480 --> 00:08:20.050
A můžete říct „právě tehdy“.

00:08:20.060 --> 00:08:23.050
Takže když jsou rovnoběžné,
pak lze říct, že mají stejnou délku

00:08:23.050 --> 00:08:26.450
a pouze pokud jsou jejich délky
shodné, pak jsou rovnoběžné.

00:08:26.450 --> 00:08:29.010
Dokázali jsme to oběma směry.