Descartes and Cartesian Coordinates
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0:01 - 0:04這裡所展示的是一張勒奈·笛卡爾的肖像
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0:04 - 0:06他也是偉大的思想家之一
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0:06 - 0:08尤其在數學和哲學領域
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0:08 - 0:10我想也許你已經找到了一點規律
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0:10 - 0:13偉大的哲學家通常都是偉大的數學家
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0:13 - 0:15反之亦然
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0:15 - 0:17他差不多和伽利略是同時代的人
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0:17 - 0:19較之晚出生32年
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0:19 - 0:22卻在伽利略死後不久也撒手人寰
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0:22 - 0:23笛卡爾去世較早
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0:23 - 0:25而伽利略活了70多年
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0:25 - 0:28笛卡爾僅活了54歲
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0:28 - 0:31笛卡爾在通俗文化中相當出名
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0:31 - 0:33因爲他曾說過一句非常經典的哲學名言
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0:33 - 0:34我引用在了這裡——
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0:34 - 0:36“我思故我在”
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0:36 - 0:37但我想人物介紹到這裡爲止就差不多了
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0:37 - 0:39畢竟這些和代數沒有什麽關係
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0:39 - 0:41但我還是再介紹一句非常優雅的名言
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0:41 - 0:43可能是他說過的話中最不出名的一句
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0:43 - 0:44就是右邊下面的這一句
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0:44 - 0:47我之所以喜歡它僅僅是因爲它很實用
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0:47 - 0:49並且它可以讓你在今天的課程中理解到
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0:49 - 0:51這些在哲學界和數學界的偉人
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0:51 - 0:52最終
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0:52 - 0:54也只是凡人一介
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0:54 - 0:56他說“你只要繼續努力”
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0:56 - 0:58“你只要繼續努力”
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0:58 - 1:00“我犯了所有可能會犯的錯誤”
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1:00 - 1:02“但我仍然堅持努力”
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1:02 - 1:05我認爲這是對人生非常非常好的建議
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1:05 - 1:08而他能夠有很多成就
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1:08 - 1:09在哲學和數學上
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1:09 - 1:11但我今天之所以會提到他的真正原因是
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1:11 - 1:13我們要講的代數基礎
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1:13 - 1:16他便是那個創造者
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1:16 - 1:19建立了強大的關聯
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1:19 - 1:21在代數和幾何之間
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1:21 - 1:23好了 到目前爲止
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1:23 - 1:25因我們之前講述的內容
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1:25 - 1:26你已經進入了代數的世界
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1:26 - 1:28你學會了處理符號的等式
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1:28 - 1:30這些符號非常重要
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1:30 - 1:32因爲他們可以表達數值
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1:32 - 1:33於是你能夠明白這些
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1:33 - 1:38例如 y = 2x - 1
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1:38 - 1:39這個等式告訴我們有關
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1:39 - 1:41x和y之間的關係 對任何x
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1:41 - 1:42和任何y
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1:42 - 1:44我們可以列表說明一下
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1:44 - 1:47隨便選給x賦一個值
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1:47 - 1:48然後來看看y會是多少
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1:48 - 1:52我可以隨機賦值給 x
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1:52 - 1:53然後就知道 y 是多少了
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1:53 - 1:55但這裡我只是簡單的選擇一些相關值
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1:55 - 1:58以便這些數看來不會太複雜
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1:58 - 1:59比如說
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1:59 - 2:01如果x是-2
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2:01 - 2:04那麽y將等於2 x -2 - 1
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2:04 - 2:072 x -2 - 1
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2:07 - 2:10也就是-4-1
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2:10 - 2:12等於-5
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2:12 - 2:15如果x是-1
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2:15 - 2:20那麽y就等於 2 x -1 - 1
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2:20 - 2:22也就等於
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2:22 - 2:25-2 -1 等於-3
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2:25 - 2:29如果x是0
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2:29 - 2:33那麽y將等於2 x 0 - 1
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2:33 - 2:362 x 0是0 再減去1則是-1
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2:36 - 2:37我會再多舉幾個例子
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2:37 - 2:38如果x是1
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2:38 - 2:39事實上我在這裡可以選擇任意值
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2:39 - 2:40然後來看看發生了什麽
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2:40 - 2:42如果x是負的根號2結果會如何
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2:42 - 2:45或者會發生什麽 當x等於-5又1/2
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2:45 - 2:48抑或x等於正的6/7
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2:48 - 2:49但我只是隨便選幾個數
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2:49 - 2:51當我想知道y是多少時
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2:51 - 2:53這種方法使計算簡單多了
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2:53 - 2:54好了 回到x等於1
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2:54 - 2:57y就等於2 x (1) -1
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2:57 - 3:002x1等於2 再減去1得到1
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3:00 - 3:03我再舉一個例子
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3:03 - 3:05換一種我還沒有用到的顏色
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3:05 - 3:07就用紫色吧
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3:07 - 3:08如果x等於2
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3:08 - 3:09那麽y將等於
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3:09 - 3:142 x 2-1, 由於x是2
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3:14 - 3:17所以是4 - 1等於3
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3:17 - 3:18到此爲止
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3:18 - 3:20我只是爲這個等式舉幾個例子
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3:20 - 3:23但我只想用此來描述一種通常的關係
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3:23 - 3:25在變量x和y之間的關係
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3:25 - 3:27然後我讓它看起來更具體一點兒
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3:27 - 3:28那麽好吧
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3:28 - 3:30如果x是這些變量的其中之一
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3:30 - 3:31那麽對應每個x的值
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3:31 - 3:34變量y對應的值是多少？
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3:34 - 3:36這讓笛卡爾意識到
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3:36 - 3:37你可以使這個式子可視化
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3:37 - 3:40你實際上可視化的是每個獨立的點
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3:40 - 3:43但它們同樣可以從總體上幫助你
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3:43 - 3:46使這種關係可視化
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3:46 - 3:47因此他在本質上做的是
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3:47 - 3:52他讓這種抽象的符號代數世界和
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3:52 - 3:55幾何學關聯到了一起 幾何研究的是
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3:55 - 3:58形狀 大小 和角度
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3:58 - 4:03學到目前你已經擁有了幾何的世界
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4:03 - 4:05很明顯歷史上人們
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4:05 - 4:07可能歷史上的很多人都記不起
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4:07 - 4:09誰曾經涉獵於此
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4:09 - 4:12但在笛卡爾之前的通常看法是
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4:12 - 4:15幾何學是指歐幾裏德幾何學
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4:15 - 4:16並且那是幾何學的本質
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4:16 - 4:18你在幾何課學過
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4:18 - 4:20在八年級、九年級或者十年級的時候
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4:20 - 4:23在傳統的高中課程中
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4:23 - 4:24幾何學所研究的是
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4:24 - 4:29有關三角形和它們的角之間的關係
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4:29 - 4:31以及圓與圓之間的關係
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4:31 - 4:34你了解了半徑，你還有三角形
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4:34 - 4:36嵌在圓內的情形等等
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4:36 - 4:37好了 我們將會深入了解
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4:37 - 4:40在幾何學課上
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4:40 - 4:43笛卡爾說 我覺得可以將它圖形化展示
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4:43 - 4:47和歐幾裏德研究這些三角和圓的方法一樣
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4:47 - 4:48他說“爲什麽我不這麽做呢？”
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4:48 - 4:51如果我們將這裡看作一張紙
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4:51 - 4:52或者我們想象一個二維平面
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4:52 - 4:54你可以將一張紙看作
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4:54 - 4:56是二維平面的一部分
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4:56 - 4:58我們稱之爲 二維
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4:58 - 5:00因爲這裡有兩個方向你可以進入
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5:00 - 5:01一個是上下的方向
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5:01 - 5:03這是一個方向
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5:03 - 5:05讓我用藍色畫出來
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5:05 - 5:07因爲我們設法將事物可視化
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5:07 - 5:08所以我用幾何的顏色來表示它們
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5:08 - 5:12現在你有了上下兩個方向
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5:12 - 5:14你還有左右兩個方向
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5:14 - 5:17這就是它叫做二維平面的原因
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5:17 - 5:18如果我們處理三維問題
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5:18 - 5:21你還會有裏向外兩個方向
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5:21 - 5:23在屏幕上表示出二維是很簡單的
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5:23 - 5:25因爲屏幕本身就是二維的
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5:25 - 5:27笛卡爾還說過“好了 你現在知道”
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5:27 - 5:30“兩個變量和它們之間的關係”
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5:30 - 5:33“那麽爲什麽我不將每一變量”
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5:33 - 5:35“和這其中的某一維度對應聯係起來呢？”
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5:35 - 5:38按照慣例 我們讓變量y
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5:38 - 5:39y是因變量
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5:39 - 5:40我們用的這種方法
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5:40 - 5:42它的值由x的值決定
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5:42 - 5:44讓我們把這些在直角座標係中畫出來
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5:44 - 5:45我們首先來畫自變量
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5:45 - 5:47就是我隨機賦值的那些
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5:47 - 5:48然後來看看y會等於多少
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5:48 - 5:51讓我在水平線上表示出來
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5:51 - 5:53事實上是笛卡爾
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5:53 - 5:56首先提出用x和y表達的傳統
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5:56 - 5:59之後我們將在代數中看到z變量 將被大量使用
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5:59 - 6:02作爲未知變量和你能夠操控的變量一起
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6:02 - 6:04但正如他所說“如果我們用這種方法考慮問題“
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6:04 - 6:07”如果我們用這些維度來表示數字”
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6:07 - 6:10讓我們先來看看x軸
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6:10 - 6:16讓我們假設在這裡是-3
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6:16 - 6:18這裡是-2
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6:18 - 6:19這裡是-1
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6:19 - 6:21這裡是0
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6:21 - 6:24我正在標示x軸
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6:24 - 6:25接著在左邊的區域
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6:25 - 6:27這裡是+1
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6:27 - 6:28這裡是+2
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6:28 - 6:30這裡是+3
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6:30 - 6:32我們現在要用同樣的方法對y軸進行標示
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6:32 - 6:34那麽這裡將變成
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6:34 - 6:40-5, -4 , -3
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6:40 - 6:42讓我用更簡潔一點的方法處理
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6:42 - 6:45我先把這裡擦掉
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6:45 - 6:48把這個先擦掉 然後往下畫長一點
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6:48 - 6:50這樣我可以往下標出-5
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6:50 - 6:52不用讓坐標看起來太混亂
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6:52 - 6:53好了，我們可以接著
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6:53 - 6:55沿著y軸標示數字了
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6:55 - 6:58這裡是1...2...3
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6:58 - 7:01這裡是-1
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7:01 - 7:03然後-2，這些數只是按慣例標示
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7:03 - 7:04當然也可以從下往上標示y軸
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7:04 - 7:06我們在這裡寫上x
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7:06 - 7:07這裡寫y
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7:07 - 7:08使這個方向表明這方向
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7:08 - 7:09這個方向表明負方向
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7:09 - 7:11當然這些人們習慣采用的表達方式
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7:11 - 7:13是有笛卡爾首先發明的
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7:13 - 7:18這是-2, -3, -4以及-5
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7:18 - 7:20他說“任何東西 我都可以對應”
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7:20 - 7:23“我能將這些對子對應於”
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7:23 - 7:25“二維上的一個點”
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7:25 - 7:28“我可以找到x和x的關聯值.”
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7:28 - 7:30“比如說在-2這裡取爲x值”
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7:30 - 7:34“它大概就是在原點左側的這個位置”
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7:34 - 7:36“我將它標示在左側表示負值”
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7:36 - 7:39再來看這個點在縱坐標上是-5
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7:39 - 7:42因此我知道y的值是-5
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7:42 - 7:46因此我從原點向左移2個單位再往下移5個單位
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7:46 - 7:49於是在這裡就是我需要的點
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7:49 - 7:54因此他說“這兩個值是-2和-5”
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7:54 - 7:56“而我可以將他們和這個點聯係起來”
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7:56 - 7:59在右邊的二維平面中
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7:59 - 8:03每一個點有兩個坐標值
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8:03 - 8:06你來告訴我在哪裏我可以找到點（-2,-5）？
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8:06 - 8:09這些坐標叫做笛卡爾坐標
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8:09 - 8:12以奈勒笛卡爾命名
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8:12 - 8:14因爲他發明了這些東西
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8:14 - 8:15笛卡爾出人意料將這些關係與
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8:15 - 8:18坐標平面上的點聯係到了一起
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8:18 - 8:20之後他說 好吧 讓我們用另一種方法試一下
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8:20 - 8:22是的 這裡還有另外一種關係
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8:22 - 8:27在表中可見當x爲-1時 y是-3
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8:27 - 8:30於是x是-1 y是-3
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8:30 - 8:32就是這裡這個點
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8:32 - 8:33任然是慣例
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8:33 - 8:34當你列出兩個坐標的值時
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8:34 - 8:37你先列出x坐標，然後列出y坐標
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8:37 - 8:38這就是人們通常習慣的方式
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8:38 - 8:42點（-1,-3）就是這個位置上的點
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8:42 - 8:46接著你找到x是0，y是-1的點
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8:46 - 8:48當x是0的時候
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8:48 - 8:50意味著我在原點不需要向左或者向右
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8:50 - 8:53而y是-1意味著要向下移動一個單位
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8:53 - 8:56因此點（0,-1）就是在這裡
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8:56 - 8:57嗯，在這裡
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8:57 - 8:59我可以接著這麽做
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8:59 - 9:04當x是1時，y是1
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9:04 - 9:10當x是2時，y是3
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9:10 - 9:12讓我用同樣的紫色來描點
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9:12 - 9:15當x是2，y是3，點（2,3）
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9:15 - 9:21在這裡用橙色表示出（1,1）
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9:21 - 9:22這樣整體看起來很整齊
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9:22 - 9:25我只是想舉例說明x的可能點
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9:25 - 9:26但是笛卡爾意識到
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9:26 - 9:28你不只可以列出這些x可能的值
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9:28 - 9:30還可以不停列出x的其他值
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9:30 - 9:31如果你嘗試列出某個區間x的所有可能值
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9:31 - 9:34你事實上就描繪出了一條線
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9:34 - 9:36因此如果你標出了所有可能的x值
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9:36 - 9:38你將得到一條線
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9:38 - 9:44那看起來就像...這樣
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9:44 - 9:48這樣一種關係 如果你選擇任意的x
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9:48 - 9:51就可以在線上的點找到相對應的y值
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9:51 - 9:52或者用另外一種方式思考這個問題
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9:52 - 9:54這條線上任意一點表達了
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9:54 - 9:57這個等式的一個解 就在這裡
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9:57 - 9:59所以如果你在這裡選一個點
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9:59 - 10:02看起來x值大概是1.5
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10:02 - 10:03y是2 讓我寫下來
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10:03 - 10:07（1.5,2）
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10:07 - 10:09這是這個等式的一個解
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10:09 - 10:14當x是1.5時，21.5是3，再減去1得到2
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10:14 - 10:16就得到這個了
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10:16 - 10:17因此出人意料他能夠架橋
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10:17 - 10:22將代數和幾何連接了起來
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10:22 - 10:27現在我們可以直觀看到每一對x和y的值
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10:27 - 10:31都可以滿足這個等式
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10:31 - 10:36而他就是這一連接的創造者
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10:36 - 10:38這就是爲什麽坐標
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10:38 - 10:43標識這些點的坐標 叫做笛卡爾坐標
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10:43 - 10:45就像我們看到的第一種等式
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10:45 - 10:49我們將在這裡學習這種形式的等式
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10:49 - 10:50和傳統的代數課程
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10:50 - 10:53他們叫做一次方程組
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10:53 - 10:56一次方程組
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10:56 - 10:58也許你會覺得 好吧 你看這是一個等式
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10:58 - 11:00我可以看出這個等於它自身
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11:00 - 11:01但它們之間的線性關係是指什麽？
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11:01 - 11:02是什麽使它們看起來像一條線？
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11:02 - 11:04爲了了解爲什麽它們是線性的
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11:04 - 11:07你必須做到奈勒笛卡爾所做的豎鍛
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11:07 - 11:09因爲 如果你要繪制這種關係
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11:09 - 11:11用笛卡爾座標係
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11:11 - 11:14在歐幾裏德平面上 你會得到一條直線
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11:14 - 11:16在將來你還會看到
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11:16 - 11:18一些不會得到直線的等式
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11:18 - 11:22而是一些瘋狂或稀奇古怪的曲線
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David Chiu added a translation |