1
00:00:01,062 --> 00:00:03,636
這裡所展示的是一張勒奈·笛卡爾的肖像

2
00:00:03,636 --> 00:00:05,698
他也是偉大的思想家之一

3
00:00:05,698 --> 00:00:07,554
尤其在數學和哲學領域

4
00:00:07,554 --> 00:00:09,923
我想也許你已經找到了一點規律

5
00:00:09,923 --> 00:00:13,190
偉大的哲學家通常都是偉大的數學家

6
00:00:13,190 --> 00:00:15,200
反之亦然

7
00:00:15,200 --> 00:00:17,021
他差不多和伽利略是同時代的人

8
00:00:17,021 --> 00:00:18,733
較之晚出生32年

9
00:00:18,733 --> 00:00:21,706
卻在伽利略死後不久也撒手人寰

10
00:00:21,706 --> 00:00:23,467
笛卡爾去世較早

11
00:00:23,467 --> 00:00:25,400
而伽利略活了70多年

12
00:00:25,400 --> 00:00:28,067
笛卡爾僅活了54歲

13
00:00:28,067 --> 00:00:30,867
笛卡爾在通俗文化中相當出名

14
00:00:30,867 --> 00:00:32,733
因爲他曾說過一句非常經典的哲學名言

15
00:00:32,733 --> 00:00:33,800
我引用在了這裡——

16
00:00:33,800 --> 00:00:35,867
“我思故我在”

17
00:00:35,867 --> 00:00:37,467
但我想人物介紹到這裡爲止就差不多了

18
00:00:37,467 --> 00:00:38,867
畢竟這些和代數沒有什麽關係

19
00:00:38,867 --> 00:00:40,733
但我還是再介紹一句非常優雅的名言

20
00:00:40,733 --> 00:00:42,800
可能是他說過的話中最不出名的一句

21
00:00:42,800 --> 00:00:44,467
就是右邊下面的這一句

22
00:00:44,467 --> 00:00:46,800
我之所以喜歡它僅僅是因爲它很實用

23
00:00:46,800 --> 00:00:48,852
並且它可以讓你在今天的課程中理解到

24
00:00:48,852 --> 00:00:51,113
這些在哲學界和數學界的偉人

25
00:00:51,113 --> 00:00:52,282
最終

26
00:00:52,282 --> 00:00:54,467
也只是凡人一介

27
00:00:54,467 --> 00:00:56,498
他說“你只要繼續努力”

28
00:00:56,498 --> 00:00:58,133
“你只要繼續努力”

29
00:00:58,133 --> 00:01:00,015
“我犯了所有可能會犯的錯誤”

30
00:01:00,015 --> 00:01:02,031
“但我仍然堅持努力”

31
00:01:02,031 --> 00:01:05,267
我認爲這是對人生非常非常好的建議

32
00:01:05,267 --> 00:01:07,733
而他能夠有很多成就

33
00:01:07,733 --> 00:01:09,077
在哲學和數學上

34
00:01:09,077 --> 00:01:11,062
但我今天之所以會提到他的真正原因是

35
00:01:11,062 --> 00:01:12,933
我們要講的代數基礎

36
00:01:12,933 --> 00:01:15,600
他便是那個創造者

37
00:01:15,600 --> 00:01:18,800
建立了強大的關聯

38
00:01:18,800 --> 00:01:21,425
在代數和幾何之間

39
00:01:21,425 --> 00:01:22,898
好了 到目前爲止

40
00:01:22,898 --> 00:01:24,752
因我們之前講述的內容

41
00:01:24,752 --> 00:01:26,415
你已經進入了代數的世界

42
00:01:26,415 --> 00:01:28,477
你學會了處理符號的等式

43
00:01:28,477 --> 00:01:30,236
這些符號非常重要

44
00:01:30,236 --> 00:01:31,933
因爲他們可以表達數值

45
00:01:31,933 --> 00:01:32,800
於是你能夠明白這些

46
00:01:32,800 --> 00:01:37,677
例如 y = 2x - 1

47
00:01:37,677 --> 00:01:39,267
這個等式告訴我們有關

48
00:01:39,267 --> 00:01:40,733
x和y之間的關係 對任何x

49
00:01:40,733 --> 00:01:42,133
和任何y

50
00:01:42,133 --> 00:01:44,333
我們可以列表說明一下

51
00:01:44,333 --> 00:01:46,733
隨便選給x賦一個值

52
00:01:46,733 --> 00:01:48,292
然後來看看y會是多少

53
00:01:48,292 --> 00:01:51,652
我可以隨機賦值給 x

54
00:01:51,652 --> 00:01:53,133
然後就知道 y 是多少了

55
00:01:53,133 --> 00:01:55,000
但這裡我只是簡單的選擇一些相關值

56
00:01:55,000 --> 00:01:57,662
以便這些數看來不會太複雜

57
00:01:57,662 --> 00:01:59,252
比如說

58
00:01:59,252 --> 00:02:00,533
如果x是-2

59
00:02:00,533 --> 00:02:03,600
那麽y將等於2 x -2 - 1

60
00:02:03,600 --> 00:02:06,513
2 x -2 - 1

61
00:02:06,513 --> 00:02:10,113
也就是-4-1

62
00:02:10,113 --> 00:02:12,267
等於-5

63
00:02:12,267 --> 00:02:14,785
如果x是-1

64
00:02:14,785 --> 00:02:20,452
那麽y就等於 2 x -1 - 1

65
00:02:20,452 --> 00:02:21,733
也就等於

66
00:02:21,733 --> 00:02:24,554
-2 -1 等於-3

67
00:02:24,554 --> 00:02:28,725
如果x是0

68
00:02:28,725 --> 00:02:32,590
那麽y將等於2 x 0 - 1

69
00:02:32,600 --> 00:02:35,667
2 x 0是0 再減去1則是-1

70
00:02:35,667 --> 00:02:37,333
我會再多舉幾個例子

71
00:02:37,333 --> 00:02:38,282
如果x是1

72
00:02:38,282 --> 00:02:39,421
事實上我在這裡可以選擇任意值

73
00:02:39,421 --> 00:02:40,352
然後來看看發生了什麽

74
00:02:40,352 --> 00:02:42,005
如果x是負的根號2結果會如何

75
00:02:42,005 --> 00:02:45,067
或者會發生什麽 當x等於-5又1/2

76
00:02:45,067 --> 00:02:47,867
抑或x等於正的6/7

77
00:02:47,867 --> 00:02:49,000
但我只是隨便選幾個數

78
00:02:49,000 --> 00:02:50,600
當我想知道y是多少時

79
00:02:50,600 --> 00:02:52,600
這種方法使計算簡單多了

80
00:02:52,600 --> 00:02:54,133
好了 回到x等於1

81
00:02:54,133 --> 00:02:57,338
y就等於2 x (1) -1

82
00:02:57,338 --> 00:02:59,733
2x1等於2 再減去1得到1

83
00:02:59,733 --> 00:03:03,052
我再舉一個例子

84
00:03:03,052 --> 00:03:05,133
換一種我還沒有用到的顏色

85
00:03:05,133 --> 00:03:06,667
就用紫色吧

86
00:03:06,667 --> 00:03:08,041
如果x等於2

87
00:03:08,041 --> 00:03:09,333
那麽y將等於

88
00:03:09,333 --> 00:03:14,005
2 x 2-1, 由於x是2

89
00:03:14,005 --> 00:03:16,615
所以是4 - 1等於3

90
00:03:16,615 --> 00:03:17,800
到此爲止

91
00:03:17,800 --> 00:03:19,548
我只是爲這個等式舉幾個例子

92
00:03:19,548 --> 00:03:22,533
但我只想用此來描述一種通常的關係

93
00:03:22,533 --> 00:03:25,200
在變量x和y之間的關係

94
00:03:25,200 --> 00:03:26,908
然後我讓它看起來更具體一點兒

95
00:03:26,908 --> 00:03:28,000
那麽好吧

96
00:03:28,000 --> 00:03:29,882
如果x是這些變量的其中之一

97
00:03:29,882 --> 00:03:31,200
那麽對應每個x的值

98
00:03:31,200 --> 00:03:33,800
變量y對應的值是多少？

99
00:03:33,800 --> 00:03:35,698
這讓笛卡爾意識到

100
00:03:35,717 --> 00:03:37,467
你可以使這個式子可視化

101
00:03:37,467 --> 00:03:40,405
你實際上可視化的是每個獨立的點

102
00:03:40,405 --> 00:03:42,667
但它們同樣可以從總體上幫助你

103
00:03:42,667 --> 00:03:45,800
使這種關係可視化

104
00:03:45,800 --> 00:03:47,333
因此他在本質上做的是

105
00:03:47,333 --> 00:03:52,329
他讓這種抽象的符號代數世界和

106
00:03:52,329 --> 00:03:55,200
幾何學關聯到了一起 幾何研究的是

107
00:03:55,200 --> 00:03:57,600
形狀 大小 和角度

108
00:03:57,600 --> 00:04:02,933
學到目前你已經擁有了幾何的世界

109
00:04:02,933 --> 00:04:04,887
很明顯歷史上人們

110
00:04:04,887 --> 00:04:07,067
可能歷史上的很多人都記不起

111
00:04:07,067 --> 00:04:09,067
誰曾經涉獵於此

112
00:04:09,067 --> 00:04:12,467
但在笛卡爾之前的通常看法是

113
00:04:12,467 --> 00:04:14,800
幾何學是指歐幾裏德幾何學

114
00:04:14,800 --> 00:04:16,133
並且那是幾何學的本質

115
00:04:16,133 --> 00:04:17,533
你在幾何課學過

116
00:04:17,533 --> 00:04:20,333
在八年級、九年級或者十年級的時候

117
00:04:20,333 --> 00:04:22,533
在傳統的高中課程中

118
00:04:22,533 --> 00:04:24,200
幾何學所研究的是

119
00:04:24,200 --> 00:04:28,554
有關三角形和它們的角之間的關係

120
00:04:28,554 --> 00:04:30,667
以及圓與圓之間的關係

121
00:04:30,667 --> 00:04:33,887
你了解了半徑，你還有三角形

122
00:04:33,887 --> 00:04:36,200
嵌在圓內的情形等等

123
00:04:36,200 --> 00:04:37,190
好了 我們將會深入了解

124
00:04:37,190 --> 00:04:39,667
在幾何學課上

125
00:04:39,667 --> 00:04:42,938
笛卡爾說 我覺得可以將它圖形化展示

126
00:04:42,938 --> 00:04:46,581
和歐幾裏德研究這些三角和圓的方法一樣

127
00:04:46,581 --> 00:04:48,299
他說“爲什麽我不這麽做呢？”

128
00:04:48,299 --> 00:04:50,575
如果我們將這裡看作一張紙

129
00:04:50,575 --> 00:04:52,339
或者我們想象一個二維平面

130
00:04:52,339 --> 00:04:53,825
你可以將一張紙看作

131
00:04:53,825 --> 00:04:55,915
是二維平面的一部分

132
00:04:55,915 --> 00:04:57,819
我們稱之爲 二維

133
00:04:57,819 --> 00:04:59,584
因爲這裡有兩個方向你可以進入

134
00:04:59,584 --> 00:05:01,256
一個是上下的方向

135
00:05:01,256 --> 00:05:02,510
這是一個方向

136
00:05:02,510 --> 00:05:04,825
讓我用藍色畫出來

137
00:05:04,841 --> 00:05:06,666
因爲我們設法將事物可視化

138
00:05:06,666 --> 00:05:08,384
所以我用幾何的顏色來表示它們

139
00:05:08,384 --> 00:05:11,827
現在你有了上下兩個方向

140
00:05:11,827 --> 00:05:14,139
你還有左右兩個方向

141
00:05:14,139 --> 00:05:16,720
這就是它叫做二維平面的原因

142
00:05:16,720 --> 00:05:18,160
如果我們處理三維問題

143
00:05:18,160 --> 00:05:21,339
你還會有裏向外兩個方向

144
00:05:21,339 --> 00:05:23,200
在屏幕上表示出二維是很簡單的

145
00:05:23,200 --> 00:05:25,425
因爲屏幕本身就是二維的

146
00:05:25,425 --> 00:05:27,071
笛卡爾還說過“好了 你現在知道”

147
00:05:27,071 --> 00:05:29,744
“兩個變量和它們之間的關係”

148
00:05:29,744 --> 00:05:32,548
“那麽爲什麽我不將每一變量”

149
00:05:32,548 --> 00:05:34,600
“和這其中的某一維度對應聯係起來呢？”

150
00:05:34,600 --> 00:05:38,010
按照慣例 我們讓變量y

151
00:05:38,010 --> 00:05:39,421
y是因變量

152
00:05:39,421 --> 00:05:40,456
我們用的這種方法

153
00:05:40,456 --> 00:05:41,815
它的值由x的值決定

154
00:05:41,815 --> 00:05:43,605
讓我們把這些在直角座標係中畫出來

155
00:05:43,605 --> 00:05:45,333
我們首先來畫自變量

156
00:05:45,333 --> 00:05:46,800
就是我隨機賦值的那些

157
00:05:46,800 --> 00:05:48,348
然後來看看y會等於多少

158
00:05:48,348 --> 00:05:50,867
讓我在水平線上表示出來

159
00:05:50,867 --> 00:05:52,533
事實上是笛卡爾

160
00:05:52,533 --> 00:05:55,600
首先提出用x和y表達的傳統

161
00:05:55,600 --> 00:05:58,600
之後我們將在代數中看到z變量 將被大量使用

162
00:05:58,600 --> 00:06:02,098
作爲未知變量和你能夠操控的變量一起

163
00:06:02,098 --> 00:06:03,867
但正如他所說“如果我們用這種方法考慮問題“

164
00:06:03,867 --> 00:06:07,452
”如果我們用這些維度來表示數字”

165
00:06:07,452 --> 00:06:09,723
讓我們先來看看x軸

166
00:06:09,723 --> 00:06:15,702
讓我們假設在這裡是-3

167
00:06:15,702 --> 00:06:17,805
這裡是-2

168
00:06:17,805 --> 00:06:19,498
這裡是-1

169
00:06:19,498 --> 00:06:21,067
這裡是0

170
00:06:21,067 --> 00:06:23,800
我正在標示x軸

171
00:06:23,800 --> 00:06:25,333
接著在左邊的區域

172
00:06:25,333 --> 00:06:26,837
這裡是+1

173
00:06:26,837 --> 00:06:28,338
這裡是+2

174
00:06:28,338 --> 00:06:30,169
這裡是+3

175
00:06:30,169 --> 00:06:32,333
我們現在要用同樣的方法對y軸進行標示

176
00:06:32,333 --> 00:06:34,400
那麽這裡將變成

177
00:06:34,400 --> 00:06:40,400
-5, -4 , -3

178
00:06:40,400 --> 00:06:42,333
讓我用更簡潔一點的方法處理

179
00:06:42,333 --> 00:06:45,067
我先把這裡擦掉

180
00:06:45,067 --> 00:06:47,800
把這個先擦掉 然後往下畫長一點

181
00:06:47,800 --> 00:06:49,533
這樣我可以往下標出-5

182
00:06:49,533 --> 00:06:51,867
不用讓坐標看起來太混亂

183
00:06:51,867 --> 00:06:53,410
好了，我們可以接著

184
00:06:53,410 --> 00:06:54,867
沿著y軸標示數字了

185
00:06:54,867 --> 00:06:58,144
這裡是1...2...3

186
00:06:58,144 --> 00:07:00,867
這裡是-1

187
00:07:00,867 --> 00:07:02,733
然後-2，這些數只是按慣例標示

188
00:07:02,733 --> 00:07:04,067
當然也可以從下往上標示y軸

189
00:07:04,067 --> 00:07:05,692
我們在這裡寫上x

190
00:07:05,692 --> 00:07:06,733
這裡寫y

191
00:07:06,733 --> 00:07:07,969
使這個方向表明這方向

192
00:07:07,969 --> 00:07:09,277
這個方向表明負方向

193
00:07:09,277 --> 00:07:11,333
當然這些人們習慣采用的表達方式

194
00:07:11,333 --> 00:07:12,733
是有笛卡爾首先發明的

195
00:07:12,733 --> 00:07:18,062
這是-2, -3, -4以及-5

196
00:07:18,062 --> 00:07:20,200
他說“任何東西 我都可以對應”

197
00:07:20,200 --> 00:07:22,667
“我能將這些對子對應於”

198
00:07:22,667 --> 00:07:25,333
“二維上的一個點”

199
00:07:25,333 --> 00:07:28,467
“我可以找到x和x的關聯值.”

200
00:07:28,467 --> 00:07:30,333
“比如說在-2這裡取爲x值”

201
00:07:30,333 --> 00:07:34,195
“它大概就是在原點左側的這個位置”

202
00:07:34,195 --> 00:07:35,831
“我將它標示在左側表示負值”

203
00:07:35,831 --> 00:07:39,395
再來看這個點在縱坐標上是-5

204
00:07:39,395 --> 00:07:41,667
因此我知道y的值是-5

205
00:07:41,667 --> 00:07:46,400
因此我從原點向左移2個單位再往下移5個單位

206
00:07:46,400 --> 00:07:49,267
於是在這裡就是我需要的點

207
00:07:49,267 --> 00:07:53,518
因此他說“這兩個值是-2和-5”

208
00:07:53,518 --> 00:07:55,733
“而我可以將他們和這個點聯係起來”

209
00:07:55,733 --> 00:07:59,133
在右邊的二維平面中

210
00:07:59,133 --> 00:08:02,933
每一個點有兩個坐標值

211
00:08:02,933 --> 00:08:06,400
你來告訴我在哪裏我可以找到點（-2,-5）？

212
00:08:06,400 --> 00:08:08,959
這些坐標叫做笛卡爾坐標

213
00:08:08,959 --> 00:08:12,077
以奈勒笛卡爾命名

214
00:08:12,077 --> 00:08:13,800
因爲他發明了這些東西

215
00:08:13,800 --> 00:08:15,067
笛卡爾出人意料將這些關係與

216
00:08:15,067 --> 00:08:17,667
坐標平面上的點聯係到了一起

217
00:08:17,667 --> 00:08:19,800
之後他說 好吧 讓我們用另一種方法試一下

218
00:08:19,800 --> 00:08:21,600
是的 這裡還有另外一種關係

219
00:08:21,600 --> 00:08:27,452
在表中可見當x爲-1時 y是-3

220
00:08:27,452 --> 00:08:30,031
於是x是-1 y是-3

221
00:08:30,031 --> 00:08:31,544
就是這裡這個點

222
00:08:31,544 --> 00:08:33,333
任然是慣例

223
00:08:33,333 --> 00:08:34,375
當你列出兩個坐標的值時

224
00:08:34,375 --> 00:08:36,600
你先列出x坐標，然後列出y坐標

225
00:08:36,600 --> 00:08:38,400
這就是人們通常習慣的方式

226
00:08:38,400 --> 00:08:42,067
點（-1,-3）就是這個位置上的點

227
00:08:42,067 --> 00:08:45,933
接著你找到x是0，y是-1的點

228
00:08:45,933 --> 00:08:48,067
當x是0的時候

229
00:08:48,067 --> 00:08:50,267
意味著我在原點不需要向左或者向右

230
00:08:50,267 --> 00:08:52,667
而y是-1意味著要向下移動一個單位

231
00:08:52,667 --> 00:08:56,390
因此點（0,-1）就是在這裡

232
00:08:56,390 --> 00:08:57,359
嗯，在這裡

233
00:08:57,359 --> 00:08:58,852
我可以接著這麽做

234
00:08:58,852 --> 00:09:03,810
當x是1時，y是1

235
00:09:03,810 --> 00:09:09,575
當x是2時，y是3

236
00:09:09,575 --> 00:09:11,733
讓我用同樣的紫色來描點

237
00:09:11,733 --> 00:09:15,400
當x是2，y是3，點（2,3）

238
00:09:15,400 --> 00:09:20,652
在這裡用橙色表示出（1,1）

239
00:09:20,652 --> 00:09:22,195
這樣整體看起來很整齊

240
00:09:22,195 --> 00:09:24,615
我只是想舉例說明x的可能點

241
00:09:24,615 --> 00:09:25,867
但是笛卡爾意識到

242
00:09:25,867 --> 00:09:27,775
你不只可以列出這些x可能的值

243
00:09:27,775 --> 00:09:29,677
還可以不停列出x的其他值

244
00:09:29,677 --> 00:09:31,318
如果你嘗試列出某個區間x的所有可能值

245
00:09:31,318 --> 00:09:34,000
你事實上就描繪出了一條線

246
00:09:34,000 --> 00:09:36,067
因此如果你標出了所有可能的x值

247
00:09:36,067 --> 00:09:38,067
你將得到一條線

248
00:09:38,067 --> 00:09:44,492
那看起來就像...這樣

249
00:09:44,492 --> 00:09:47,533
這樣一種關係 如果你選擇任意的x

250
00:09:47,533 --> 00:09:50,867
就可以在線上的點找到相對應的y值

251
00:09:50,867 --> 00:09:52,400
或者用另外一種方式思考這個問題

252
00:09:52,400 --> 00:09:54,171
這條線上任意一點表達了

253
00:09:54,171 --> 00:09:57,051
這個等式的一個解 就在這裡

254
00:09:57,051 --> 00:09:58,902
所以如果你在這裡選一個點

255
00:09:58,902 --> 00:10:01,600
看起來x值大概是1.5

256
00:10:01,600 --> 00:10:03,467
y是2 讓我寫下來

257
00:10:03,467 --> 00:10:07,133
（1.5,2）

258
00:10:07,133 --> 00:10:09,133
這是這個等式的一個解

259
00:10:09,133 --> 00:10:13,652
當x是1.5時，2<i>1.5是3，再減去1得到2</i>

260
00:10:13,652 --> 00:10:15,600
就得到這個了

261
00:10:15,600 --> 00:10:17,400
因此出人意料他能夠架橋

262
00:10:17,400 --> 00:10:22,400
將代數和幾何連接了起來

263
00:10:22,400 --> 00:10:27,133
現在我們可以直觀看到每一對x和y的值

264
00:10:27,133 --> 00:10:31,498
都可以滿足這個等式

265
00:10:31,498 --> 00:10:36,092
而他就是這一連接的創造者

266
00:10:36,092 --> 00:10:38,067
這就是爲什麽坐標

267
00:10:38,067 --> 00:10:42,677
標識這些點的坐標 叫做笛卡爾坐標

268
00:10:42,677 --> 00:10:45,467
就像我們看到的第一種等式

269
00:10:45,467 --> 00:10:48,600
我們將在這裡學習這種形式的等式

270
00:10:48,600 --> 00:10:50,446
和傳統的代數課程

271
00:10:50,446 --> 00:10:52,733
他們叫做一次方程組

272
00:10:52,733 --> 00:10:55,733
一次方程組

273
00:10:55,733 --> 00:10:57,738
也許你會覺得 好吧 你看這是一個等式

274
00:10:57,738 --> 00:10:59,533
我可以看出這個等於它自身

275
00:10:59,533 --> 00:11:00,744
但它們之間的線性關係是指什麽？

276
00:11:00,744 --> 00:11:02,333
是什麽使它們看起來像一條線？

277
00:11:02,333 --> 00:11:04,379
爲了了解爲什麽它們是線性的

278
00:11:04,379 --> 00:11:07,467
你必須做到奈勒笛卡爾所做的豎鍛

279
00:11:07,467 --> 00:11:09,133
因爲 如果你要繪制這種關係

280
00:11:09,133 --> 00:11:10,759
用笛卡爾座標係

281
00:11:10,759 --> 00:11:14,492
在歐幾裏德平面上 你會得到一條直線

282
00:11:14,492 --> 00:11:15,846
在將來你還會看到

283
00:11:15,846 --> 00:11:17,723
一些不會得到直線的等式

284
00:11:17,723 --> 00:11:21,656
而是一些瘋狂或稀奇古怪的曲線