這裡所展示的是一張勒奈·笛卡爾的肖像 他也是偉大的思想家之一 尤其在數學和哲學領域 我想也許你已經找到了一點規律 偉大的哲學家通常都是偉大的數學家 反之亦然 他差不多和伽利略是同時代的人 較之晚出生32年 卻在伽利略死後不久也撒手人寰 笛卡爾去世較早 而伽利略活了70多年 笛卡爾僅活了54歲 笛卡爾在通俗文化中相當出名 因爲他曾說過一句非常經典的哲學名言 我引用在了這裡—— “我思故我在” 但我想人物介紹到這裡爲止就差不多了 畢竟這些和代數沒有什麽關係 但我還是再介紹一句非常優雅的名言 可能是他說過的話中最不出名的一句 就是右邊下面的這一句 我之所以喜歡它僅僅是因爲它很實用 並且它可以讓你在今天的課程中理解到 這些在哲學界和數學界的偉人 最終 也只是凡人一介 他說“你只要繼續努力” “你只要繼續努力” “我犯了所有可能會犯的錯誤” “但我仍然堅持努力” 我認爲這是對人生非常非常好的建議 而他能夠有很多成就 在哲學和數學上 但我今天之所以會提到他的真正原因是 我們要講的代數基礎 他便是那個創造者 建立了強大的關聯 在代數和幾何之間 好了 到目前爲止 因我們之前講述的內容 你已經進入了代數的世界 你學會了處理符號的等式 這些符號非常重要 因爲他們可以表達數值 於是你能夠明白這些 例如 y = 2x - 1 這個等式告訴我們有關 x和y之間的關係 對任何x 和任何y 我們可以列表說明一下 隨便選給x賦一個值 然後來看看y會是多少 我可以隨機賦值給 x 然後就知道 y 是多少了 但這裡我只是簡單的選擇一些相關值 以便這些數看來不會太複雜 比如說 如果x是-2 那麽y將等於2 x -2 - 1 2 x -2 - 1 也就是-4-1 等於-5 如果x是-1 那麽y就等於 2 x -1 - 1 也就等於 -2 -1 等於-3 如果x是0 那麽y將等於2 x 0 - 1 2 x 0是0 再減去1則是-1 我會再多舉幾個例子 如果x是1 事實上我在這裡可以選擇任意值 然後來看看發生了什麽 如果x是負的根號2結果會如何 或者會發生什麽 當x等於-5又1/2 抑或x等於正的6/7 但我只是隨便選幾個數 當我想知道y是多少時 這種方法使計算簡單多了 好了 回到x等於1 y就等於2 x (1) -1 2x1等於2 再減去1得到1 我再舉一個例子 換一種我還沒有用到的顏色 就用紫色吧 如果x等於2 那麽y將等於 2 x 2-1, 由於x是2 所以是4 - 1等於3 到此爲止 我只是爲這個等式舉幾個例子 但我只想用此來描述一種通常的關係 在變量x和y之間的關係 然後我讓它看起來更具體一點兒 那麽好吧 如果x是這些變量的其中之一 那麽對應每個x的值 變量y對應的值是多少？ 這讓笛卡爾意識到 你可以使這個式子可視化 你實際上可視化的是每個獨立的點 但它們同樣可以從總體上幫助你 使這種關係可視化 因此他在本質上做的是 他讓這種抽象的符號代數世界和 幾何學關聯到了一起 幾何研究的是 形狀 大小 和角度 學到目前你已經擁有了幾何的世界 很明顯歷史上人們 可能歷史上的很多人都記不起 誰曾經涉獵於此 但在笛卡爾之前的通常看法是 幾何學是指歐幾裏德幾何學 並且那是幾何學的本質 你在幾何課學過 在八年級、九年級或者十年級的時候 在傳統的高中課程中 幾何學所研究的是 有關三角形和它們的角之間的關係 以及圓與圓之間的關係 你了解了半徑，你還有三角形 嵌在圓內的情形等等 好了 我們將會深入了解 在幾何學課上 笛卡爾說 我覺得可以將它圖形化展示 和歐幾裏德研究這些三角和圓的方法一樣 他說“爲什麽我不這麽做呢？” 如果我們將這裡看作一張紙 或者我們想象一個二維平面 你可以將一張紙看作 是二維平面的一部分 我們稱之爲 二維 因爲這裡有兩個方向你可以進入 一個是上下的方向 這是一個方向 讓我用藍色畫出來 因爲我們設法將事物可視化 所以我用幾何的顏色來表示它們 現在你有了上下兩個方向 你還有左右兩個方向 這就是它叫做二維平面的原因 如果我們處理三維問題 你還會有裏向外兩個方向 在屏幕上表示出二維是很簡單的 因爲屏幕本身就是二維的 笛卡爾還說過“好了 你現在知道” “兩個變量和它們之間的關係” “那麽爲什麽我不將每一變量” “和這其中的某一維度對應聯係起來呢？” 按照慣例 我們讓變量y y是因變量 我們用的這種方法 它的值由x的值決定 讓我們把這些在直角座標係中畫出來 我們首先來畫自變量 就是我隨機賦值的那些 然後來看看y會等於多少 讓我在水平線上表示出來 事實上是笛卡爾 首先提出用x和y表達的傳統 之後我們將在代數中看到z變量 將被大量使用 作爲未知變量和你能夠操控的變量一起 但正如他所說“如果我們用這種方法考慮問題“ ”如果我們用這些維度來表示數字” 讓我們先來看看x軸 讓我們假設在這裡是-3 這裡是-2 這裡是-1 這裡是0 我正在標示x軸 接著在左邊的區域 這裡是+1 這裡是+2 這裡是+3 我們現在要用同樣的方法對y軸進行標示 那麽這裡將變成 -5, -4 , -3 讓我用更簡潔一點的方法處理 我先把這裡擦掉 把這個先擦掉 然後往下畫長一點 這樣我可以往下標出-5 不用讓坐標看起來太混亂 好了，我們可以接著 沿著y軸標示數字了 這裡是1...2...3 這裡是-1 然後-2，這些數只是按慣例標示 當然也可以從下往上標示y軸 我們在這裡寫上x 這裡寫y 使這個方向表明這方向 這個方向表明負方向 當然這些人們習慣采用的表達方式 是有笛卡爾首先發明的 這是-2, -3, -4以及-5 他說“任何東西 我都可以對應” “我能將這些對子對應於” “二維上的一個點” “我可以找到x和x的關聯值.” “比如說在-2這裡取爲x值” “它大概就是在原點左側的這個位置” “我將它標示在左側表示負值” 再來看這個點在縱坐標上是-5 因此我知道y的值是-5 因此我從原點向左移2個單位再往下移5個單位 於是在這裡就是我需要的點 因此他說“這兩個值是-2和-5” “而我可以將他們和這個點聯係起來” 在右邊的二維平面中 每一個點有兩個坐標值 你來告訴我在哪裏我可以找到點（-2,-5）？ 這些坐標叫做笛卡爾坐標 以奈勒笛卡爾命名 因爲他發明了這些東西 笛卡爾出人意料將這些關係與 坐標平面上的點聯係到了一起 之後他說 好吧 讓我們用另一種方法試一下 是的 這裡還有另外一種關係 在表中可見當x爲-1時 y是-3 於是x是-1 y是-3 就是這裡這個點 任然是慣例 當你列出兩個坐標的值時 你先列出x坐標，然後列出y坐標 這就是人們通常習慣的方式 點（-1,-3）就是這個位置上的點 接著你找到x是0，y是-1的點 當x是0的時候 意味著我在原點不需要向左或者向右 而y是-1意味著要向下移動一個單位 因此點（0,-1）就是在這裡 嗯，在這裡 我可以接著這麽做 當x是1時，y是1 當x是2時，y是3 讓我用同樣的紫色來描點 當x是2，y是3，點（2,3） 在這裡用橙色表示出（1,1） 這樣整體看起來很整齊 我只是想舉例說明x的可能點 但是笛卡爾意識到 你不只可以列出這些x可能的值 還可以不停列出x的其他值 如果你嘗試列出某個區間x的所有可能值 你事實上就描繪出了一條線 因此如果你標出了所有可能的x值 你將得到一條線 那看起來就像...這樣 這樣一種關係 如果你選擇任意的x 就可以在線上的點找到相對應的y值 或者用另外一種方式思考這個問題 這條線上任意一點表達了 這個等式的一個解 就在這裡 所以如果你在這裡選一個點 看起來x值大概是1.5 y是2 讓我寫下來 （1.5,2） 這是這個等式的一個解 當x是1.5時，21.5是3，再減去1得到2 就得到這個了 因此出人意料他能夠架橋 將代數和幾何連接了起來 現在我們可以直觀看到每一對x和y的值 都可以滿足這個等式 而他就是這一連接的創造者 這就是爲什麽坐標 標識這些點的坐標 叫做笛卡爾坐標 就像我們看到的第一種等式 我們將在這裡學習這種形式的等式 和傳統的代數課程 他們叫做一次方程組 一次方程組 也許你會覺得 好吧 你看這是一個等式 我可以看出這個等於它自身 但它們之間的線性關係是指什麽？ 是什麽使它們看起來像一條線？ 爲了了解爲什麽它們是線性的 你必須做到奈勒笛卡爾所做的豎鍛 因爲 如果你要繪制這種關係 用笛卡爾座標係 在歐幾裏德平面上 你會得到一條直線 在將來你還會看到 一些不會得到直線的等式 而是一些瘋狂或稀奇古怪的曲線