WEBVTT

00:00:01.062 --> 00:00:03.636
這裡所展示的是一張勒奈·笛卡爾的肖像

00:00:03.636 --> 00:00:05.698
他也是偉大的思想家之一

00:00:05.698 --> 00:00:07.554
尤其在數學和哲學領域

00:00:07.554 --> 00:00:09.923
我想也許你已經找到了一點規律

00:00:09.923 --> 00:00:13.190
偉大的哲學家通常都是偉大的數學家

00:00:13.190 --> 00:00:15.200
反之亦然

00:00:15.200 --> 00:00:17.021
他差不多和伽利略是同時代的人

00:00:17.021 --> 00:00:18.733
較之晚出生32年

00:00:18.733 --> 00:00:21.706
卻在伽利略死後不久也撒手人寰

00:00:21.706 --> 00:00:23.467
笛卡爾去世較早

00:00:23.467 --> 00:00:25.400
而伽利略活了70多年

00:00:25.400 --> 00:00:28.067
笛卡爾僅活了54歲

00:00:28.067 --> 00:00:30.867
笛卡爾在通俗文化中相當出名

00:00:30.867 --> 00:00:32.733
因爲他曾說過一句非常經典的哲學名言

00:00:32.733 --> 00:00:33.800
我引用在了這裡——

00:00:33.800 --> 00:00:35.867
“我思故我在”

00:00:35.867 --> 00:00:37.467
但我想人物介紹到這裡爲止就差不多了

00:00:37.467 --> 00:00:38.867
畢竟這些和代數沒有什麽關係

00:00:38.867 --> 00:00:40.733
但我還是再介紹一句非常優雅的名言

00:00:40.733 --> 00:00:42.800
可能是他說過的話中最不出名的一句

00:00:42.800 --> 00:00:44.467
就是右邊下面的這一句

00:00:44.467 --> 00:00:46.800
我之所以喜歡它僅僅是因爲它很實用

00:00:46.800 --> 00:00:48.852
並且它可以讓你在今天的課程中理解到

NOTE Paragraph

00:00:48.852 --> 00:00:51.113
這些在哲學界和數學界的偉人

00:00:51.113 --> 00:00:52.282
最終

00:00:52.282 --> 00:00:54.467
也只是凡人一介

00:00:54.467 --> 00:00:56.498
他說“你只要繼續努力”

00:00:56.498 --> 00:00:58.133
“你只要繼續努力”

00:00:58.133 --> 00:01:00.015
“我犯了所有可能會犯的錯誤”

00:01:00.015 --> 00:01:02.031
“但我仍然堅持努力”

00:01:02.031 --> 00:01:05.267
我認爲這是對人生非常非常好的建議

00:01:05.267 --> 00:01:07.733
而他能夠有很多成就

00:01:07.733 --> 00:01:09.077
在哲學和數學上

00:01:09.077 --> 00:01:11.062
但我今天之所以會提到他的真正原因是

00:01:11.062 --> 00:01:12.933
我們要講的代數基礎

00:01:12.933 --> 00:01:15.600
他便是那個創造者

00:01:15.600 --> 00:01:18.800
建立了強大的關聯

00:01:18.800 --> 00:01:21.425
在代數和幾何之間

00:01:21.425 --> 00:01:22.898
好了 到目前爲止

00:01:22.898 --> 00:01:24.752
因我們之前講述的內容

00:01:24.752 --> 00:01:26.415
你已經進入了代數的世界

00:01:26.415 --> 00:01:28.477
你學會了處理符號的等式

00:01:28.477 --> 00:01:30.236
這些符號非常重要

00:01:30.236 --> 00:01:31.933
因爲他們可以表達數值

00:01:31.933 --> 00:01:32.800
於是你能夠明白這些

00:01:32.800 --> 00:01:37.677
例如 y = 2x - 1

00:01:37.677 --> 00:01:39.267
這個等式告訴我們有關

00:01:39.267 --> 00:01:40.733
x和y之間的關係 對任何x

00:01:40.733 --> 00:01:42.133
和任何y

00:01:42.133 --> 00:01:44.333
我們可以列表說明一下

00:01:44.333 --> 00:01:46.733
隨便選給x賦一個值

00:01:46.733 --> 00:01:48.292
然後來看看y會是多少

00:01:48.292 --> 00:01:51.652
我可以隨機賦值給 x

00:01:51.652 --> 00:01:53.133
然後就知道 y 是多少了

00:01:53.133 --> 00:01:55.000
但這裡我只是簡單的選擇一些相關值

00:01:55.000 --> 00:01:57.662
以便這些數看來不會太複雜

00:01:57.662 --> 00:01:59.252
比如說

00:01:59.252 --> 00:02:00.533
如果x是-2

00:02:00.533 --> 00:02:03.600
那麽y將等於2 x -2 - 1

00:02:03.600 --> 00:02:06.513
2 x -2 - 1

00:02:06.513 --> 00:02:10.113
也就是-4-1

00:02:10.113 --> 00:02:12.267
等於-5

00:02:12.267 --> 00:02:14.785
如果x是-1

00:02:14.785 --> 00:02:20.452
那麽y就等於 2 x -1 - 1

00:02:20.452 --> 00:02:21.733
也就等於

00:02:21.733 --> 00:02:24.554
-2 -1 等於-3

00:02:24.554 --> 00:02:28.725
如果x是0

00:02:28.725 --> 00:02:32.590
那麽y將等於2 x 0 - 1

00:02:32.600 --> 00:02:35.667
2 x 0是0 再減去1則是-1

00:02:35.667 --> 00:02:37.333
我會再多舉幾個例子

00:02:37.333 --> 00:02:38.282
如果x是1

00:02:38.282 --> 00:02:39.421
事實上我在這裡可以選擇任意值

00:02:39.421 --> 00:02:40.352
然後來看看發生了什麽

00:02:40.352 --> 00:02:42.005
如果x是負的根號2結果會如何

00:02:42.005 --> 00:02:45.067
或者會發生什麽 當x等於-5又1/2

00:02:45.067 --> 00:02:47.867
抑或x等於正的6/7

00:02:47.867 --> 00:02:49.000
但我只是隨便選幾個數

00:02:49.000 --> 00:02:50.600
當我想知道y是多少時

00:02:50.600 --> 00:02:52.600
這種方法使計算簡單多了

00:02:52.600 --> 00:02:54.133
好了 回到x等於1

00:02:54.133 --> 00:02:57.338
y就等於2 x (1) -1

00:02:57.338 --> 00:02:59.733
2x1等於2 再減去1得到1

00:02:59.733 --> 00:03:03.052
我再舉一個例子

00:03:03.052 --> 00:03:05.133
換一種我還沒有用到的顏色

00:03:05.133 --> 00:03:06.667
就用紫色吧

00:03:06.667 --> 00:03:08.041
如果x等於2

00:03:08.041 --> 00:03:09.333
那麽y將等於

00:03:09.333 --> 00:03:14.005
2 x 2-1, 由於x是2

00:03:14.005 --> 00:03:16.615
所以是4 - 1等於3

00:03:16.615 --> 00:03:17.800
到此爲止

00:03:17.800 --> 00:03:19.548
我只是爲這個等式舉幾個例子

00:03:19.548 --> 00:03:22.533
但我只想用此來描述一種通常的關係

00:03:22.533 --> 00:03:25.200
在變量x和y之間的關係

00:03:25.200 --> 00:03:26.908
然後我讓它看起來更具體一點兒

00:03:26.908 --> 00:03:28.000
那麽好吧

00:03:28.000 --> 00:03:29.882
如果x是這些變量的其中之一

00:03:29.882 --> 00:03:31.200
那麽對應每個x的值

00:03:31.200 --> 00:03:33.800
變量y對應的值是多少？

00:03:33.800 --> 00:03:35.698
這讓笛卡爾意識到

00:03:35.717 --> 00:03:37.467
你可以使這個式子可視化

00:03:37.467 --> 00:03:40.405
你實際上可視化的是每個獨立的點

00:03:40.405 --> 00:03:42.667
但它們同樣可以從總體上幫助你

00:03:42.667 --> 00:03:45.800
使這種關係可視化

00:03:45.800 --> 00:03:47.333
因此他在本質上做的是

00:03:47.333 --> 00:03:52.329
他讓這種抽象的符號代數世界和

00:03:52.329 --> 00:03:55.200
幾何學關聯到了一起 幾何研究的是

00:03:55.200 --> 00:03:57.600
形狀 大小 和角度

00:03:57.600 --> 00:04:02.933
學到目前你已經擁有了幾何的世界

00:04:02.933 --> 00:04:04.887
很明顯歷史上人們

00:04:04.887 --> 00:04:07.067
可能歷史上的很多人都記不起

00:04:07.067 --> 00:04:09.067
誰曾經涉獵於此

00:04:09.067 --> 00:04:12.467
但在笛卡爾之前的通常看法是

00:04:12.467 --> 00:04:14.800
幾何學是指歐幾裏德幾何學

00:04:14.800 --> 00:04:16.133
並且那是幾何學的本質

00:04:16.133 --> 00:04:17.533
你在幾何課學過

00:04:17.533 --> 00:04:20.333
在八年級、九年級或者十年級的時候

00:04:20.333 --> 00:04:22.533
在傳統的高中課程中

00:04:22.533 --> 00:04:24.200
幾何學所研究的是

00:04:24.200 --> 00:04:28.554
有關三角形和它們的角之間的關係

00:04:28.554 --> 00:04:30.667
以及圓與圓之間的關係

00:04:30.667 --> 00:04:33.887
你了解了半徑，你還有三角形

00:04:33.887 --> 00:04:36.200
嵌在圓內的情形等等

00:04:36.200 --> 00:04:37.190
好了 我們將會深入了解

00:04:37.190 --> 00:04:39.667
在幾何學課上

00:04:39.667 --> 00:04:42.938
笛卡爾說 我覺得可以將它圖形化展示

00:04:42.938 --> 00:04:46.581
和歐幾裏德研究這些三角和圓的方法一樣

00:04:46.581 --> 00:04:48.299
他說“爲什麽我不這麽做呢？”

00:04:48.299 --> 00:04:50.575
如果我們將這裡看作一張紙

00:04:50.575 --> 00:04:52.339
或者我們想象一個二維平面

00:04:52.339 --> 00:04:53.825
你可以將一張紙看作

00:04:53.825 --> 00:04:55.915
是二維平面的一部分

00:04:55.915 --> 00:04:57.819
我們稱之爲 二維

00:04:57.819 --> 00:04:59.584
因爲這裡有兩個方向你可以進入

00:04:59.584 --> 00:05:01.256
一個是上下的方向

00:05:01.256 --> 00:05:02.510
這是一個方向

00:05:02.510 --> 00:05:04.825
讓我用藍色畫出來

00:05:04.841 --> 00:05:06.666
因爲我們設法將事物可視化

00:05:06.666 --> 00:05:08.384
所以我用幾何的顏色來表示它們

00:05:08.384 --> 00:05:11.827
現在你有了上下兩個方向

00:05:11.827 --> 00:05:14.139
你還有左右兩個方向

00:05:14.139 --> 00:05:16.720
這就是它叫做二維平面的原因

00:05:16.720 --> 00:05:18.160
如果我們處理三維問題

00:05:18.160 --> 00:05:21.339
你還會有裏向外兩個方向

00:05:21.339 --> 00:05:23.200
在屏幕上表示出二維是很簡單的

00:05:23.200 --> 00:05:25.425
因爲屏幕本身就是二維的

00:05:25.425 --> 00:05:27.071
笛卡爾還說過“好了 你現在知道”

00:05:27.071 --> 00:05:29.744
“兩個變量和它們之間的關係”

00:05:29.744 --> 00:05:32.548
“那麽爲什麽我不將每一變量”

00:05:32.548 --> 00:05:34.600
“和這其中的某一維度對應聯係起來呢？”

00:05:34.600 --> 00:05:38.010
按照慣例 我們讓變量y

00:05:38.010 --> 00:05:39.421
y是因變量

00:05:39.421 --> 00:05:40.456
我們用的這種方法

00:05:40.456 --> 00:05:41.815
它的值由x的值決定

00:05:41.815 --> 00:05:43.605
讓我們把這些在直角座標係中畫出來

00:05:43.605 --> 00:05:45.333
我們首先來畫自變量

00:05:45.333 --> 00:05:46.800
就是我隨機賦值的那些

00:05:46.800 --> 00:05:48.348
然後來看看y會等於多少

00:05:48.348 --> 00:05:50.867
讓我在水平線上表示出來

00:05:50.867 --> 00:05:52.533
事實上是笛卡爾

00:05:52.533 --> 00:05:55.600
首先提出用x和y表達的傳統

00:05:55.600 --> 00:05:58.600
之後我們將在代數中看到z變量 將被大量使用

00:05:58.600 --> 00:06:02.098
作爲未知變量和你能夠操控的變量一起

00:06:02.098 --> 00:06:03.867
但正如他所說“如果我們用這種方法考慮問題“

00:06:03.867 --> 00:06:07.452
”如果我們用這些維度來表示數字”

00:06:07.452 --> 00:06:09.723
讓我們先來看看x軸

00:06:09.723 --> 00:06:15.702
讓我們假設在這裡是-3

00:06:15.702 --> 00:06:17.805
這裡是-2

00:06:17.805 --> 00:06:19.498
這裡是-1

00:06:19.498 --> 00:06:21.067
這裡是0

00:06:21.067 --> 00:06:23.800
我正在標示x軸

00:06:23.800 --> 00:06:25.333
接著在左邊的區域

00:06:25.333 --> 00:06:26.837
這裡是+1

00:06:26.837 --> 00:06:28.338
這裡是+2

00:06:28.338 --> 00:06:30.169
這裡是+3

00:06:30.169 --> 00:06:32.333
我們現在要用同樣的方法對y軸進行標示

00:06:32.333 --> 00:06:34.400
那麽這裡將變成

00:06:34.400 --> 00:06:40.400
-5, -4 , -3

00:06:40.400 --> 00:06:42.333
讓我用更簡潔一點的方法處理

00:06:42.333 --> 00:06:45.067
我先把這裡擦掉

00:06:45.067 --> 00:06:47.800
把這個先擦掉 然後往下畫長一點

00:06:47.800 --> 00:06:49.533
這樣我可以往下標出-5

00:06:49.533 --> 00:06:51.867
不用讓坐標看起來太混亂

00:06:51.867 --> 00:06:53.410
好了，我們可以接著

00:06:53.410 --> 00:06:54.867
沿著y軸標示數字了

00:06:54.867 --> 00:06:58.144
這裡是1...2...3

00:06:58.144 --> 00:07:00.867
這裡是-1

00:07:00.867 --> 00:07:02.733
然後-2，這些數只是按慣例標示

00:07:02.733 --> 00:07:04.067
當然也可以從下往上標示y軸

00:07:04.067 --> 00:07:05.692
我們在這裡寫上x

00:07:05.692 --> 00:07:06.733
這裡寫y

00:07:06.733 --> 00:07:07.969
使這個方向表明這方向

00:07:07.969 --> 00:07:09.277
這個方向表明負方向

00:07:09.277 --> 00:07:11.333
當然這些人們習慣采用的表達方式

00:07:11.333 --> 00:07:12.733
是有笛卡爾首先發明的

00:07:12.733 --> 00:07:18.062
這是-2, -3, -4以及-5

00:07:18.062 --> 00:07:20.200
他說“任何東西 我都可以對應”

00:07:20.200 --> 00:07:22.667
“我能將這些對子對應於”

00:07:22.667 --> 00:07:25.333
“二維上的一個點”

00:07:25.333 --> 00:07:28.467
“我可以找到x和x的關聯值.”

00:07:28.467 --> 00:07:30.333
“比如說在-2這裡取爲x值”

00:07:30.333 --> 00:07:34.195
“它大概就是在原點左側的這個位置”

00:07:34.195 --> 00:07:35.831
“我將它標示在左側表示負值”

00:07:35.831 --> 00:07:39.395
再來看這個點在縱坐標上是-5

00:07:39.395 --> 00:07:41.667
因此我知道y的值是-5

00:07:41.667 --> 00:07:46.400
因此我從原點向左移2個單位再往下移5個單位

00:07:46.400 --> 00:07:49.267
於是在這裡就是我需要的點

00:07:49.267 --> 00:07:53.518
因此他說“這兩個值是-2和-5”

00:07:53.518 --> 00:07:55.733
“而我可以將他們和這個點聯係起來”

00:07:55.733 --> 00:07:59.133
在右邊的二維平面中

00:07:59.133 --> 00:08:02.933
每一個點有兩個坐標值

00:08:02.933 --> 00:08:06.400
你來告訴我在哪裏我可以找到點（-2,-5）？

00:08:06.400 --> 00:08:08.959
這些坐標叫做笛卡爾坐標

00:08:08.959 --> 00:08:12.077
以奈勒笛卡爾命名

00:08:12.077 --> 00:08:13.800
因爲他發明了這些東西

00:08:13.800 --> 00:08:15.067
笛卡爾出人意料將這些關係與

00:08:15.067 --> 00:08:17.667
坐標平面上的點聯係到了一起

00:08:17.667 --> 00:08:19.800
之後他說 好吧 讓我們用另一種方法試一下

00:08:19.800 --> 00:08:21.600
是的 這裡還有另外一種關係

00:08:21.600 --> 00:08:27.452
在表中可見當x爲-1時 y是-3

00:08:27.452 --> 00:08:30.031
於是x是-1 y是-3

00:08:30.031 --> 00:08:31.544
就是這裡這個點

00:08:31.544 --> 00:08:33.333
任然是慣例

00:08:33.333 --> 00:08:34.375
當你列出兩個坐標的值時

00:08:34.375 --> 00:08:36.600
你先列出x坐標，然後列出y坐標

00:08:36.600 --> 00:08:38.400
這就是人們通常習慣的方式

00:08:38.400 --> 00:08:42.067
點（-1,-3）就是這個位置上的點

00:08:42.067 --> 00:08:45.933
接著你找到x是0，y是-1的點

00:08:45.933 --> 00:08:48.067
當x是0的時候

00:08:48.067 --> 00:08:50.267
意味著我在原點不需要向左或者向右

00:08:50.267 --> 00:08:52.667
而y是-1意味著要向下移動一個單位

00:08:52.667 --> 00:08:56.390
因此點（0,-1）就是在這裡

00:08:56.390 --> 00:08:57.359
嗯，在這裡

00:08:57.359 --> 00:08:58.852
我可以接著這麽做

00:08:58.852 --> 00:09:03.810
當x是1時，y是1

00:09:03.810 --> 00:09:09.575
當x是2時，y是3

00:09:09.575 --> 00:09:11.733
讓我用同樣的紫色來描點

00:09:11.733 --> 00:09:15.400
當x是2，y是3，點（2,3）

00:09:15.400 --> 00:09:20.652
在這裡用橙色表示出（1,1）

00:09:20.652 --> 00:09:22.195
這樣整體看起來很整齊

00:09:22.195 --> 00:09:24.615
我只是想舉例說明x的可能點

00:09:24.615 --> 00:09:25.867
但是笛卡爾意識到

00:09:25.867 --> 00:09:27.775
你不只可以列出這些x可能的值

00:09:27.775 --> 00:09:29.677
還可以不停列出x的其他值

00:09:29.677 --> 00:09:31.318
如果你嘗試列出某個區間x的所有可能值

00:09:31.318 --> 00:09:34.000
你事實上就描繪出了一條線

00:09:34.000 --> 00:09:36.067
因此如果你標出了所有可能的x值

00:09:36.067 --> 00:09:38.067
你將得到一條線

00:09:38.067 --> 00:09:44.492
那看起來就像...這樣

00:09:44.492 --> 00:09:47.533
這樣一種關係 如果你選擇任意的x

00:09:47.533 --> 00:09:50.867
就可以在線上的點找到相對應的y值

00:09:50.867 --> 00:09:52.400
或者用另外一種方式思考這個問題

00:09:52.400 --> 00:09:54.171
這條線上任意一點表達了

00:09:54.171 --> 00:09:57.051
這個等式的一個解 就在這裡

00:09:57.051 --> 00:09:58.902
所以如果你在這裡選一個點

00:09:58.902 --> 00:10:01.600
看起來x值大概是1.5

00:10:01.600 --> 00:10:03.467
y是2 讓我寫下來

00:10:03.467 --> 00:10:07.133
（1.5,2）

00:10:07.133 --> 00:10:09.133
這是這個等式的一個解

00:10:09.133 --> 00:10:13.652
當x是1.5時，2<i>1.5是3，再減去1得到2</i>

00:10:13.652 --> 00:10:15.600
就得到這個了

00:10:15.600 --> 00:10:17.400
因此出人意料他能夠架橋

00:10:17.400 --> 00:10:22.400
將代數和幾何連接了起來

00:10:22.400 --> 00:10:27.133
現在我們可以直觀看到每一對x和y的值

00:10:27.133 --> 00:10:31.498
都可以滿足這個等式

00:10:31.498 --> 00:10:36.092
而他就是這一連接的創造者

00:10:36.092 --> 00:10:38.067
這就是爲什麽坐標

00:10:38.067 --> 00:10:42.677
標識這些點的坐標 叫做笛卡爾坐標

00:10:42.677 --> 00:10:45.467
就像我們看到的第一種等式

00:10:45.467 --> 00:10:48.600
我們將在這裡學習這種形式的等式

00:10:48.600 --> 00:10:50.446
和傳統的代數課程

00:10:50.446 --> 00:10:52.733
他們叫做一次方程組

00:10:52.733 --> 00:10:55.733
一次方程組

00:10:55.733 --> 00:10:57.738
也許你會覺得 好吧 你看這是一個等式

00:10:57.738 --> 00:10:59.533
我可以看出這個等於它自身

00:10:59.533 --> 00:11:00.744
但它們之間的線性關係是指什麽？

00:11:00.744 --> 00:11:02.333
是什麽使它們看起來像一條線？

00:11:02.333 --> 00:11:04.379
爲了了解爲什麽它們是線性的

00:11:04.379 --> 00:11:07.467
你必須做到奈勒笛卡爾所做的豎鍛

00:11:07.467 --> 00:11:09.133
因爲 如果你要繪制這種關係

00:11:09.133 --> 00:11:10.759
用笛卡爾座標係

00:11:10.759 --> 00:11:14.492
在歐幾裏德平面上 你會得到一條直線

00:11:14.492 --> 00:11:15.846
在將來你還會看到

00:11:15.846 --> 00:11:17.723
一些不會得到直線的等式

00:11:17.723 --> 00:11:21.656
而是一些瘋狂或稀奇古怪的曲線