笛卡尔和笛卡尔坐标系
-
0:01 - 0:04这里所展示的是一张勒奈·笛卡尔的肖像
-
0:04 - 0:06他也是伟大的思想家之一
-
0:06 - 0:08尤其在数学和哲学领域
-
0:08 - 0:10我想也许你已经找到了一点规律
-
0:10 - 0:13伟大的哲学家通常都是伟大的数学家
-
0:13 - 0:15反之亦然
-
0:15 - 0:17他差不多和伽利略是同时代的人
-
0:17 - 0:19较之晚出生32年
-
0:19 - 0:22却在伽利略死后不久也撒手人寰
-
0:22 - 0:23笛卡尔去世较早
-
0:23 - 0:25而伽利略活了70多年
-
0:25 - 0:28笛卡尔仅活了54岁
-
0:28 - 0:31笛卡尔在通俗文化中相当出名
-
0:31 - 0:33因为他曾说过一句非常经典的哲学名言
-
0:33 - 0:34我引用在了这里——
-
0:34 - 0:36“我思故我在”
-
0:36 - 0:37但我想人物介绍到这里为止就差不多了
-
0:37 - 0:39毕竟这些和代数没有什么关系
-
0:39 - 0:41但我还是再介绍一句非常优雅的名言
-
0:41 - 0:43可能是他说过的话中最不出名的一句
-
0:43 - 0:44就是右边下面的这一句
-
0:44 - 0:47我之所以喜欢它仅仅是因为它很实用
-
0:47 - 0:49并且它可以让你在今天的课程中理解到
-
0:49 - 0:51这些在哲学界和数学界的伟人
-
0:51 - 0:52最终
-
0:52 - 0:54也只是凡人一介
-
0:54 - 0:56他说“你只要继续努力”
-
0:56 - 0:58“你只要继续努力”
-
0:58 - 1:00“我犯了所有可能会犯的错误”
-
1:00 - 1:02“但我仍然坚持努力”
-
1:02 - 1:05我认为这是对人生非常非常好的建议
-
1:05 - 1:08而他能够有很多成就
-
1:08 - 1:09在哲学和数学上
-
1:09 - 1:11但我今天之所以会提到他的真正原因是
-
1:11 - 1:13我们要讲的代数基础
-
1:13 - 1:16他便是那个创造者
-
1:16 - 1:19建立了强大的关联
-
1:19 - 1:21在代数和几何之间
-
1:21 - 1:23好了 到目前为止
-
1:23 - 1:25因我们之前讲述的内容
-
1:25 - 1:26你已经进入了代数的世界
-
1:26 - 1:28你学会了处理符号的等式
-
1:28 - 1:30这些符号非常重要
-
1:30 - 1:32因为他们可以表达数值
-
1:32 - 1:33于是你能够明白这些
-
1:33 - 1:38例如 y = 2x - 1
-
1:38 - 1:39这个等式告诉我们有关
-
1:39 - 1:41x和y之间的关系 对任何x
-
1:41 - 1:42和任何y
-
1:42 - 1:44我们可以列表说明一下
-
1:44 - 1:47随便选给x赋一个值
-
1:47 - 1:48然后来看看y会是多少
-
1:48 - 1:52我可以随机赋值给 x
-
1:52 - 1:53然后就知道 y 是多少了
-
1:53 - 1:55但这里我只是简单的选择一些相关值
-
1:55 - 1:58以便这些数看来不会太复杂
-
1:58 - 1:59比如说
-
1:59 - 2:01如果x是-2
-
2:01 - 2:04那么y将等于2 x -2 - 1
-
2:04 - 2:072 x -2 - 1
-
2:07 - 2:10也就是-4-1
-
2:10 - 2:12等于-5
-
2:12 - 2:15如果x是-1
-
2:15 - 2:20那么y就等于 2 x -1 - 1
-
2:20 - 2:22也就等于
-
2:22 - 2:25-2 -1 等于-3
-
2:25 - 2:29如果x是0
-
2:29 - 2:33那么y将等于2 x 0 - 1
-
2:33 - 2:362 x 0是0 再减去1则是-1
-
2:36 - 2:37我会再多举几个例子
-
2:37 - 2:38如果x是1
-
2:38 - 2:39事实上我在这里可以选择任意值
-
2:39 - 2:40然后来看看发生了什么
-
2:40 - 2:42如果x是负的根号2结果会如何
-
2:42 - 2:45或者会发生什么 当x等于-5又1/2
-
2:45 - 2:48抑或x等于正的6/7
-
2:48 - 2:49但我只是随便选几个数
-
2:49 - 2:51当我想知道y是多少时
-
2:51 - 2:53这种方法使计算简单多了
-
2:53 - 2:54好了 回到x等于1
-
2:54 - 2:57y就等于2 x (1) -1
-
2:57 - 3:002x1等于2 再减去1得到1
-
3:00 - 3:03我再举一个例子
-
3:03 - 3:05换一种我还没有用到的颜色
-
3:05 - 3:07就用紫色吧
-
3:07 - 3:08如果x等于2
-
3:08 - 3:09那么y将等于
-
3:09 - 3:142 x 2-1, 由于x是2
-
3:14 - 3:17所以是4 - 1等于3
-
3:17 - 3:18到此为止
-
3:18 - 3:20我只是为这个等式举几个例子
-
3:20 - 3:23但我只想用此来描述一种通常的关系
-
3:23 - 3:25在变量x和y之间的关系
-
3:25 - 3:27然后我让它看起来更具体一点儿
-
3:27 - 3:28那么好吧
-
3:28 - 3:30如果x是这些变量的其中之一
-
3:30 - 3:31那么对应每个x的值
-
3:31 - 3:34变量y对应的值是多少？
-
3:34 - 3:36这让笛卡尔意识到
-
3:36 - 3:37你可以使这个式子可视化
-
3:37 - 3:40你实际上可视化的是每个独立的点
-
3:40 - 3:43但它们同样可以从总体上帮助你
-
3:43 - 3:46使这种关系可视化
-
3:46 - 3:47因此他在本质上做的是
-
3:47 - 3:52他让这种抽象的符号代数世界和
-
3:52 - 3:55几何学关联到了一起 几何研究的是
-
3:55 - 3:58形状 大小 和角度
-
3:58 - 4:03学到目前你已经拥有了几何的世界
-
4:03 - 4:05很明显历史上人们
-
4:05 - 4:07可能历史上的很多人都记不起
-
4:07 - 4:09谁曾经涉猎于此
-
4:09 - 4:12但在笛卡尔之前的通常看法是
-
4:12 - 4:15几何学是指欧几里德几何学
-
4:15 - 4:16并且那是几何学的本质
-
4:16 - 4:18你在几何课学过
-
4:18 - 4:20在八年级、九年级或者十年级的时候
-
4:20 - 4:23在传统的高中课程中
-
4:23 - 4:24几何学所研究的是
-
4:24 - 4:29有关三角形和它们的角之间的关系
-
4:29 - 4:31以及圆与圆之间的关系
-
4:31 - 4:34你了解了半径，你还有三角形
-
4:34 - 4:36嵌在圆内的情形等等
-
4:36 - 4:37好了 我们将会深入了解
-
4:37 - 4:40在几何学课上
-
4:40 - 4:43笛卡尔说 我觉得可以将它图形化展示
-
4:43 - 4:47和欧几里德研究这些三角和圆的方法一样
-
4:47 - 4:48他说“为什么我不这么做呢？”
-
4:48 - 4:51如果我们将这里看作一张纸
-
4:51 - 4:52或者我们想象一个二维平面
-
4:52 - 4:54你可以将一张纸看作
-
4:54 - 4:56是二维平面的一部分
-
4:56 - 4:58我们称之为 二维
-
4:58 - 5:00因为这里有两个方向你可以进入
-
5:00 - 5:01一个是上下的方向
-
5:01 - 5:03这是一个方向
-
5:03 - 5:05让我用蓝色画出来
-
5:05 - 5:07因为我们设法将事物可视化
-
5:07 - 5:08所以我用几何的颜色来表示它们
-
5:08 - 5:12现在你有了上下两个方向
-
5:12 - 5:14你还有左右两个方向
-
5:14 - 5:17这就是它叫做二维平面的原因
-
5:17 - 5:18如果我们处理三维问题
-
5:18 - 5:21你还会有里向外两个方向
-
5:21 - 5:23在屏幕上表示出二维是很简单的
-
5:23 - 5:25因为屏幕本身就是二维的
-
5:25 - 5:27笛卡尔还说过“好了 你现在知道”
-
5:27 - 5:30“两个变量和它们之间的关系”
-
5:30 - 5:33“那么为什么我不将每一变量”
-
5:33 - 5:35“和这其中的某一维度对应联系起来呢？”
-
5:35 - 5:38按照惯例 我们让变量y
-
5:38 - 5:39y是因变量
-
5:39 - 5:40我们用的这种方法
-
5:40 - 5:42它的值由x的值决定
-
5:42 - 5:44让我们把这些在直角坐标系中画出来
-
5:44 - 5:45我们首先来画自变量
-
5:45 - 5:47就是我随机赋值的那些
-
5:47 - 5:48然后来看看y会等于多少
-
5:48 - 5:51让我在水平线上表示出来
-
5:51 - 5:53事实上是笛卡尔
-
5:53 - 5:56首先提出用x和y表达的传统
-
5:56 - 5:59之后我们将在代数中看到z变量 将被大量使用
-
5:59 - 6:02作为未知变量和你能够操控的变量一起
-
6:02 - 6:04但正如他所说“如果我们用这种方法考虑问题“
-
6:04 - 6:07”如果我们用这些维度来表示数字”
-
6:07 - 6:10让我们先来看看x轴
-
6:10 - 6:16让我们假设在这里是-3
-
6:16 - 6:18这里是-2
-
6:18 - 6:19这里是-1
-
6:19 - 6:21这里是0
-
6:21 - 6:24我正在标示x轴
-
6:24 - 6:25接着在左边的区域
-
6:25 - 6:27这里是+1
-
6:27 - 6:28这里是+2
-
6:28 - 6:30这里是+3
-
6:30 - 6:32我们现在要用同样的方法对y轴进行标示
-
6:32 - 6:34那么这里将变成
-
6:34 - 6:40-5, -4 , -3
-
6:40 - 6:42让我用更简洁一点的方法处理
-
6:42 - 6:45我先把这里擦掉
-
6:45 - 6:48把这个先擦掉 然后往下画长一点
-
6:48 - 6:50这样我可以往下标出-5
-
6:50 - 6:52不用让坐标看起来太混乱
-
6:52 - 6:53好了，我们可以接着
-
6:53 - 6:55沿着y轴标示数字了
-
6:55 - 6:58这里是1...2...3
-
6:58 - 7:01这里是-1
-
7:01 - 7:03然后-2，这些数只是按惯例标示
-
7:03 - 7:04当然也可以从下往上标示y轴
-
7:04 - 7:06我们在这里写上x
-
7:06 - 7:07这里写y
-
7:07 - 7:08使这个方向表明这方向
-
7:08 - 7:09这个方向表明负方向
-
7:09 - 7:11当然这些人们习惯采用的表达方式
-
7:11 - 7:13是有笛卡尔首先发明的
-
7:13 - 7:18这是-2, -3, -4以及-5
-
7:18 - 7:20他说“任何东西 我都可以对应”
-
7:20 - 7:23“我能将这些对子对应于”
-
7:23 - 7:25“二维上的一个点”
-
7:25 - 7:28“我可以找到x和x的关联值.”
-
7:28 - 7:30“比如说在-2这里取为x值”
-
7:30 - 7:34“它大概就是在原点左侧的这个位置”
-
7:34 - 7:36“我将它标示在左侧表示负值”
-
7:36 - 7:39再来看这个点在纵坐标上是-5
-
7:39 - 7:42因此我知道y的值是-5
-
7:42 - 7:46因此我从原点向左移2个单位再往下移5个单位
-
7:46 - 7:49于是在这里就是我需要的点
-
7:49 - 7:54因此他说“这两个值是-2和-5”
-
7:54 - 7:56“而我可以将他们和这个点联系起来”
-
7:56 - 7:59在右边的二维平面中
-
7:59 - 8:03每一个点有两个坐标值
-
8:03 - 8:06你来告诉我在哪里我可以找到点（-2,-5）？
-
8:06 - 8:09这些坐标叫做笛卡尔坐标
-
8:09 - 8:12以奈勒笛卡尔命名
-
8:12 - 8:14因为他发明了这些东西
-
8:14 - 8:15笛卡尔出人意料将这些关系与
-
8:15 - 8:18坐标平面上的点联系到了一起
-
8:18 - 8:20之后他说 好吧 让我们用另一种方法试一下
-
8:20 - 8:22是的 这里还有另外一种关系
-
8:22 - 8:27在表中可见当x为-1时 y是-3
-
8:27 - 8:30于是x是-1 y是-3
-
8:30 - 8:32就是这里这个点
-
8:32 - 8:33任然是惯例
-
8:33 - 8:34当你列出两个坐标的值时
-
8:34 - 8:37你先列出x坐标，然后列出y坐标
-
8:37 - 8:38这就是人们通常习惯的方式
-
8:38 - 8:42点（-1,-3）就是这个位置上的点
-
8:42 - 8:46接着你找到x是0，y是-1的点
-
8:46 - 8:48当x是0的时候
-
8:48 - 8:50意味着我在原点不需要向左或者向右
-
8:50 - 8:53而y是-1意味着要向下移动一个单位
-
8:53 - 8:56因此点（0,-1）就是在这里
-
8:56 - 8:57嗯，在这里
-
8:57 - 8:59我可以接着这么做
-
8:59 - 9:04当x是1时，y是1
-
9:04 - 9:10当x是2时，y是3
-
9:10 - 9:12让我用同样的紫色来描点
-
9:12 - 9:15当x是2，y是3，点（2,3）
-
9:15 - 9:21在这里用橙色表示出（1,1）
-
9:21 - 9:22这样整体看起来很整齐
-
9:22 - 9:25我只是想举例说明x的可能点
-
9:25 - 9:26但是笛卡尔意识到
-
9:26 - 9:28你不只可以列出这些x可能的值
-
9:28 - 9:30还可以不停列出x的其他值
-
9:30 - 9:31如果你尝试列出某个区间x的所有可能值
-
9:31 - 9:34你事实上就描绘出了一条线
-
9:34 - 9:36因此如果你标出了所有可能的x值
-
9:36 - 9:38你将得到一条线
-
9:38 - 9:44那看起来就像...这样
-
9:44 - 9:48这样一种关系 如果你选择任意的x
-
9:48 - 9:51就可以在线上的点找到相对应的y值
-
9:51 - 9:52或者用另外一种方式思考这个问题
-
9:52 - 9:54这条线上任意一点表达了
-
9:54 - 9:57这个等式的一个解 就在这里
-
9:57 - 9:59所以如果你在这里选一个点
-
9:59 - 10:02看起来x值大概是1.5
-
10:02 - 10:03y是2 让我写下来
-
10:03 - 10:07（1.5,2）
-
10:07 - 10:09这是这个等式的一个解
-
10:09 - 10:14当x是1.5时，2*1.5是3，再减去1得到2
-
10:14 - 10:16就得到这个了
-
10:16 - 10:17因此出人意料他能够搭桥
-
10:17 - 10:22将代数和几何连接了起来
-
10:22 - 10:27现在我们可以直观看到每一对x和y的值
-
10:27 - 10:31都可以满足这个等式
-
10:31 - 10:36而他就是这一连接的创造者
-
10:36 - 10:38这就是为什么坐标
-
10:38 - 10:43标识这些点的坐标 叫做笛卡尔坐标
-
10:43 - 10:45就像我们看到的第一种等式
-
10:45 - 10:49我们将在这里学习这种形式的等式
-
10:49 - 10:50和传统的代数课程
-
10:50 - 10:53他们叫做线性方程组
-
10:53 - 10:56线性方程组
-
10:56 - 10:58也许你会觉得 好吧 你看这是一个等式
-
10:58 - 11:00我可以看出这个等于它自身
-
11:00 - 11:01但它们之间的线性关系是指什么？
-
11:01 - 11:02是什么使它们看起来像一条线？
-
11:02 - 11:04为了了解为什么它们是线性的
-
11:04 - 11:07你必须做到奈勒笛卡尔所做的跳跃
-
11:07 - 11:09因为 如果你要绘制这种关系
-
11:09 - 11:11用笛卡尔坐标系
-
11:11 - 11:14在欧几里德平面上 你会得到一条直线
-
11:14 - 11:16在将来你还会看到
-
11:16 - 11:18一些不会得到直线的等式
-
11:18 - 11:22而是一些疯狂或稀奇古怪的曲线
|
Alex Mou edited Chinese, Simplified subtitles for Descartes and Cartesian Coordinates | |
|
|
Alex Mou edited Chinese, Simplified subtitles for Descartes and Cartesian Coordinates | |
|
|
Alex Mou edited Chinese, Simplified subtitles for Descartes and Cartesian Coordinates | |
|
|
Alex Mou edited Chinese, Simplified subtitles for Descartes and Cartesian Coordinates | |
|
|
Alex Mou edited Chinese, Simplified subtitles for Descartes and Cartesian Coordinates | |
|
|
Alex Mou edited Chinese, Simplified subtitles for Descartes and Cartesian Coordinates | |
|
ChlamyWang edited Chinese, Simplified subtitles for Descartes and Cartesian Coordinates | |
|
|
Alex Mou edited Chinese, Simplified subtitles for Descartes and Cartesian Coordinates |