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笛卡尔和笛卡尔坐标系

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    这里所展示的是一张勒奈·笛卡尔的肖像
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    他也是伟大的思想家之一
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    尤其在数学和哲学领域
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    我想也许你已经找到了一点规律
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    伟大的哲学家通常都是伟大的数学家
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    反之亦然
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    他差不多和伽利略是同时代的人
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    较之晚出生32年
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    却在伽利略死后不久也撒手人寰
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    笛卡尔去世较早
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    而伽利略活了70多年
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    笛卡尔仅活了54岁
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    笛卡尔在通俗文化中相当出名
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    因为他曾说过一句非常经典的哲学名言
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    我引用在了这里——
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    “我思故我在”
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    但我想人物介绍到这里为止就差不多了
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    毕竟这些和代数没有什么关系
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    但我还是再介绍一句非常优雅的名言
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    可能是他说过的话中最不出名的一句
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    就是右边下面的这一句
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    我之所以喜欢它仅仅是因为它很实用
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    并且它可以让你在今天的课程中理解到
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    这些在哲学界和数学界的伟人
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    最终
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    也只是凡人一介
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    他说“你只要继续努力”
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    “你只要继续努力”
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    “我犯了所有可能会犯的错误”
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    “但我仍然坚持努力”
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    我认为这是对人生非常非常好的建议
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    而他能够有很多成就
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    在哲学和数学上
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    但我今天之所以会提到他的真正原因是
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    我们要讲的代数基础
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    他便是那个创造者
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    建立了强大的关联
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    在代数和几何之间
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    好了 到目前为止
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    因我们之前讲述的内容
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    你已经进入了代数的世界
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    你学会了处理符号的等式
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    这些符号非常重要
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    因为他们可以表达数值
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    于是你能够明白这些
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    例如 y = 2x - 1
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    这个等式告诉我们有关
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    x和y之间的关系 对任何x
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    和任何y
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    我们可以列表说明一下
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    随便选给x赋一个值
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    然后来看看y会是多少
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    我可以随机赋值给 x
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    然后就知道 y 是多少了
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    但这里我只是简单的选择一些相关值
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    以便这些数看来不会太复杂
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    比如说
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    如果x是-2
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    那么y将等于2 x -2 - 1
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    2 x -2 - 1
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    也就是-4-1
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    等于-5
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    如果x是-1
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    那么y就等于 2 x -1 - 1
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    也就等于
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    -2 -1 等于-3
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    如果x是0
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    那么y将等于2 x 0 - 1
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    2 x 0是0 再减去1则是-1
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    我会再多举几个例子
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    如果x是1
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    事实上我在这里可以选择任意值
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    然后来看看发生了什么
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    如果x是负的根号2结果会如何
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    或者会发生什么 当x等于-5又1/2
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    抑或x等于正的6/7
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    但我只是随便选几个数
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    当我想知道y是多少时
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    这种方法使计算简单多了
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    好了 回到x等于1
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    y就等于2 x (1) -1
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    2x1等于2 再减去1得到1
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    我再举一个例子
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    换一种我还没有用到的颜色
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    就用紫色吧
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    如果x等于2
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    那么y将等于
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    2 x 2-1, 由于x是2
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    所以是4 - 1等于3
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    到此为止
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    我只是为这个等式举几个例子
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    但我只想用此来描述一种通常的关系
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    在变量x和y之间的关系
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    然后我让它看起来更具体一点儿
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    那么好吧
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    如果x是这些变量的其中之一
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    那么对应每个x的值
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    变量y对应的值是多少？
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    这让笛卡尔意识到
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    你可以使这个式子可视化
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    你实际上可视化的是每个独立的点
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    但它们同样可以从总体上帮助你
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    使这种关系可视化
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    因此他在本质上做的是
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    他让这种抽象的符号代数世界和
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    几何学关联到了一起 几何研究的是
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    形状 大小 和角度
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    学到目前你已经拥有了几何的世界
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    很明显历史上人们
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    可能历史上的很多人都记不起
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    谁曾经涉猎于此
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    但在笛卡尔之前的通常看法是
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    几何学是指欧几里德几何学
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    并且那是几何学的本质
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    你在几何课学过
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    在八年级、九年级或者十年级的时候
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    在传统的高中课程中
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    几何学所研究的是
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    有关三角形和它们的角之间的关系
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    以及圆与圆之间的关系
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    你了解了半径，你还有三角形
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    嵌在圆内的情形等等
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    好了 我们将会深入了解
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    在几何学课上
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    笛卡尔说 我觉得可以将它图形化展示
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    和欧几里德研究这些三角和圆的方法一样
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    他说“为什么我不这么做呢？”
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    如果我们将这里看作一张纸
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    或者我们想象一个二维平面
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    你可以将一张纸看作
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    是二维平面的一部分
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    我们称之为 二维
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    因为这里有两个方向你可以进入
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    一个是上下的方向
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    这是一个方向
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    让我用蓝色画出来
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    因为我们设法将事物可视化
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    所以我用几何的颜色来表示它们
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    现在你有了上下两个方向
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    你还有左右两个方向
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    这就是它叫做二维平面的原因
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    如果我们处理三维问题
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    你还会有里向外两个方向
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    在屏幕上表示出二维是很简单的
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    因为屏幕本身就是二维的
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    笛卡尔还说过“好了 你现在知道”
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    “两个变量和它们之间的关系”
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    “那么为什么我不将每一变量”
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    “和这其中的某一维度对应联系起来呢？”
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    按照惯例 我们让变量y
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    y是因变量
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    我们用的这种方法
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    它的值由x的值决定
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    让我们把这些在直角坐标系中画出来
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    我们首先来画自变量
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    就是我随机赋值的那些
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    然后来看看y会等于多少
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    让我在水平线上表示出来
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    事实上是笛卡尔
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    首先提出用x和y表达的传统
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    之后我们将在代数中看到z变量 将被大量使用
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    作为未知变量和你能够操控的变量一起
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    但正如他所说“如果我们用这种方法考虑问题“
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    ”如果我们用这些维度来表示数字”
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    让我们先来看看x轴
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    让我们假设在这里是-3
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    这里是-2
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    这里是-1
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    这里是0
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    我正在标示x轴
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    接着在左边的区域
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    这里是+1
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    这里是+2
  • 6:28 - 6:30
    这里是+3
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    我们现在要用同样的方法对y轴进行标示
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    那么这里将变成
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    -5, -4 , -3
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    让我用更简洁一点的方法处理
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    我先把这里擦掉
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    把这个先擦掉 然后往下画长一点
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    这样我可以往下标出-5
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    不用让坐标看起来太混乱
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    好了，我们可以接着
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    沿着y轴标示数字了
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    这里是1...2...3
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    这里是-1
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    然后-2，这些数只是按惯例标示
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    当然也可以从下往上标示y轴
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    我们在这里写上x
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    这里写y
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    使这个方向表明这方向
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    这个方向表明负方向
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    当然这些人们习惯采用的表达方式
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    是有笛卡尔首先发明的
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    这是-2, -3, -4以及-5
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    他说“任何东西 我都可以对应”
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    “我能将这些对子对应于”
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    “二维上的一个点”
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    “我可以找到x和x的关联值.”
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    “比如说在-2这里取为x值”
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    “它大概就是在原点左侧的这个位置”
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    “我将它标示在左侧表示负值”
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    再来看这个点在纵坐标上是-5
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    因此我知道y的值是-5
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    因此我从原点向左移2个单位再往下移5个单位
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    于是在这里就是我需要的点
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    因此他说“这两个值是-2和-5”
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    “而我可以将他们和这个点联系起来”
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    在右边的二维平面中
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    每一个点有两个坐标值
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    你来告诉我在哪里我可以找到点（-2,-5）？
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    这些坐标叫做笛卡尔坐标
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    以奈勒笛卡尔命名
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    因为他发明了这些东西
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    笛卡尔出人意料将这些关系与
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    坐标平面上的点联系到了一起
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    之后他说 好吧 让我们用另一种方法试一下
  • 8:20 - 8:22
    是的 这里还有另外一种关系
  • 8:22 - 8:27
    在表中可见当x为-1时 y是-3
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    于是x是-1 y是-3
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    就是这里这个点
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    任然是惯例
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    当你列出两个坐标的值时
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    你先列出x坐标，然后列出y坐标
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    这就是人们通常习惯的方式
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    点（-1,-3）就是这个位置上的点
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    接着你找到x是0，y是-1的点
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    当x是0的时候
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    意味着我在原点不需要向左或者向右
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    而y是-1意味着要向下移动一个单位
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    因此点（0,-1）就是在这里
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    嗯，在这里
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    我可以接着这么做
  • 8:59 - 9:04
    当x是1时，y是1
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    当x是2时，y是3
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    让我用同样的紫色来描点
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    当x是2，y是3，点（2,3）
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    在这里用橙色表示出（1,1）
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    这样整体看起来很整齐
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    我只是想举例说明x的可能点
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    但是笛卡尔意识到
  • 9:26 - 9:28
    你不只可以列出这些x可能的值
  • 9:28 - 9:30
    还可以不停列出x的其他值
  • 9:30 - 9:31
    如果你尝试列出某个区间x的所有可能值
  • 9:31 - 9:34
    你事实上就描绘出了一条线
  • 9:34 - 9:36
    因此如果你标出了所有可能的x值
  • 9:36 - 9:38
    你将得到一条线
  • 9:38 - 9:44
    那看起来就像...这样
  • 9:44 - 9:48
    这样一种关系 如果你选择任意的x
  • 9:48 - 9:51
    就可以在线上的点找到相对应的y值
  • 9:51 - 9:52
    或者用另外一种方式思考这个问题
  • 9:52 - 9:54
    这条线上任意一点表达了
  • 9:54 - 9:57
    这个等式的一个解 就在这里
  • 9:57 - 9:59
    所以如果你在这里选一个点
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    看起来x值大概是1.5
  • 10:02 - 10:03
    y是2 让我写下来
  • 10:03 - 10:07
    （1.5,2）
  • 10:07 - 10:09
    这是这个等式的一个解
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    当x是1.5时，2*1.5是3，再减去1得到2
  • 10:14 - 10:16
    就得到这个了
  • 10:16 - 10:17
    因此出人意料他能够搭桥
  • 10:17 - 10:22
    将代数和几何连接了起来
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    现在我们可以直观看到每一对x和y的值
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    都可以满足这个等式
  • 10:31 - 10:36
    而他就是这一连接的创造者
  • 10:36 - 10:38
    这就是为什么坐标
  • 10:38 - 10:43
    标识这些点的坐标 叫做笛卡尔坐标
  • 10:43 - 10:45
    就像我们看到的第一种等式
  • 10:45 - 10:49
    我们将在这里学习这种形式的等式
  • 10:49 - 10:50
    和传统的代数课程
  • 10:50 - 10:53
    他们叫做线性方程组
  • 10:53 - 10:56
    线性方程组
  • 10:56 - 10:58
    也许你会觉得 好吧 你看这是一个等式
  • 10:58 - 11:00
    我可以看出这个等于它自身
  • 11:00 - 11:01
    但它们之间的线性关系是指什么？
  • 11:01 - 11:02
    是什么使它们看起来像一条线？
  • 11:02 - 11:04
    为了了解为什么它们是线性的
  • 11:04 - 11:07
    你必须做到奈勒笛卡尔所做的跳跃
  • 11:07 - 11:09
    因为 如果你要绘制这种关系
  • 11:09 - 11:11
    用笛卡尔坐标系
  • 11:11 - 11:14
    在欧几里德平面上 你会得到一条直线
  • 11:14 - 11:16
    在将来你还会看到
  • 11:16 - 11:18
    一些不会得到直线的等式
  • 11:18 - 11:22
    而是一些疯狂或稀奇古怪的曲线
Title:
笛卡尔和笛卡尔坐标系
Description:

将代数和几何关联起来。什么使线性方程呈线性。
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Video Language:
English
Duration:
11:22

Chinese, Simplified subtitles

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