1
00:00:01,062 --> 00:00:03,636
这里所展示的是一张勒奈·笛卡尔的肖像

2
00:00:03,636 --> 00:00:05,698
他也是伟大的思想家之一

3
00:00:05,698 --> 00:00:07,554
尤其在数学和哲学领域

4
00:00:07,554 --> 00:00:09,923
我想也许你已经找到了一点规律

5
00:00:09,923 --> 00:00:13,190
伟大的哲学家通常都是伟大的数学家

6
00:00:13,190 --> 00:00:15,200
反之亦然

7
00:00:15,200 --> 00:00:17,021
他差不多和伽利略是同时代的人

8
00:00:17,021 --> 00:00:18,733
较之晚出生32年

9
00:00:18,733 --> 00:00:21,706
却在伽利略死后不久也撒手人寰

10
00:00:21,706 --> 00:00:23,467
笛卡尔去世较早

11
00:00:23,467 --> 00:00:25,400
而伽利略活了70多年

12
00:00:25,400 --> 00:00:28,067
笛卡尔仅活了54岁

13
00:00:28,067 --> 00:00:30,867
笛卡尔在通俗文化中相当出名

14
00:00:30,867 --> 00:00:32,733
因为他曾说过一句非常经典的哲学名言

15
00:00:32,733 --> 00:00:33,800
我引用在了这里——

16
00:00:33,800 --> 00:00:35,867
“我思故我在”

17
00:00:35,867 --> 00:00:37,467
但我想人物介绍到这里为止就差不多了

18
00:00:37,467 --> 00:00:38,867
毕竟这些和代数没有什么关系

19
00:00:38,867 --> 00:00:40,733
但我还是再介绍一句非常优雅的名言

20
00:00:40,733 --> 00:00:42,800
可能是他说过的话中最不出名的一句

21
00:00:42,800 --> 00:00:44,467
就是右边下面的这一句

22
00:00:44,467 --> 00:00:46,800
我之所以喜欢它仅仅是因为它很实用

23
00:00:46,800 --> 00:00:48,852
并且它可以让你在今天的课程中理解到

24
00:00:48,852 --> 00:00:51,113
这些在哲学界和数学界的伟人

25
00:00:51,113 --> 00:00:52,282
最终

26
00:00:52,282 --> 00:00:54,467
也只是凡人一介

27
00:00:54,467 --> 00:00:56,498
他说“你只要继续努力”

28
00:00:56,498 --> 00:00:58,133
“你只要继续努力”

29
00:00:58,133 --> 00:01:00,015
“我犯了所有可能会犯的错误”

30
00:01:00,015 --> 00:01:02,031
“但我仍然坚持努力”

31
00:01:02,031 --> 00:01:05,267
我认为这是对人生非常非常好的建议

32
00:01:05,267 --> 00:01:07,733
而他能够有很多成就

33
00:01:07,733 --> 00:01:09,077
在哲学和数学上

34
00:01:09,077 --> 00:01:11,062
但我今天之所以会提到他的真正原因是

35
00:01:11,062 --> 00:01:12,933
我们要讲的代数基础

36
00:01:12,933 --> 00:01:15,600
他便是那个创造者

37
00:01:15,600 --> 00:01:18,800
建立了强大的关联

38
00:01:18,800 --> 00:01:21,425
在代数和几何之间

39
00:01:21,425 --> 00:01:22,898
好了 到目前为止

40
00:01:22,898 --> 00:01:24,752
因我们之前讲述的内容

41
00:01:24,752 --> 00:01:26,415
你已经进入了代数的世界

42
00:01:26,415 --> 00:01:28,477
你学会了处理符号的等式

43
00:01:28,477 --> 00:01:30,236
这些符号非常重要

44
00:01:30,236 --> 00:01:31,933
因为他们可以表达数值

45
00:01:31,933 --> 00:01:32,800
于是你能够明白这些

46
00:01:32,800 --> 00:01:37,677
例如 y = 2x - 1

47
00:01:37,677 --> 00:01:39,267
这个等式告诉我们有关

48
00:01:39,267 --> 00:01:40,733
x和y之间的关系 对任何x

49
00:01:40,733 --> 00:01:42,133
和任何y

50
00:01:42,133 --> 00:01:44,333
我们可以列表说明一下

51
00:01:44,333 --> 00:01:46,733
随便选给x赋一个值

52
00:01:46,733 --> 00:01:48,292
然后来看看y会是多少

53
00:01:48,292 --> 00:01:51,652
我可以随机赋值给 x

54
00:01:51,652 --> 00:01:53,133
然后就知道 y 是多少了

55
00:01:53,133 --> 00:01:55,000
但这里我只是简单的选择一些相关值

56
00:01:55,000 --> 00:01:57,662
以便这些数看来不会太复杂

57
00:01:57,662 --> 00:01:59,252
比如说

58
00:01:59,252 --> 00:02:00,533
如果x是-2

59
00:02:00,533 --> 00:02:03,600
那么y将等于2 x -2 - 1

60
00:02:03,600 --> 00:02:06,513
2 x -2 - 1

61
00:02:06,513 --> 00:02:10,113
也就是-4-1

62
00:02:10,113 --> 00:02:12,267
等于-5

63
00:02:12,267 --> 00:02:14,785
如果x是-1

64
00:02:14,785 --> 00:02:20,452
那么y就等于 2 x -1 - 1

65
00:02:20,452 --> 00:02:21,733
也就等于

66
00:02:21,733 --> 00:02:24,554
-2 -1 等于-3

67
00:02:24,554 --> 00:02:28,725
如果x是0

68
00:02:28,725 --> 00:02:32,590
那么y将等于2 x 0 - 1

69
00:02:32,600 --> 00:02:35,667
2 x 0是0 再减去1则是-1

70
00:02:35,667 --> 00:02:37,333
我会再多举几个例子

71
00:02:37,333 --> 00:02:38,282
如果x是1

72
00:02:38,282 --> 00:02:39,421
事实上我在这里可以选择任意值

73
00:02:39,421 --> 00:02:40,352
然后来看看发生了什么

74
00:02:40,352 --> 00:02:42,005
如果x是负的根号2结果会如何

75
00:02:42,005 --> 00:02:45,067
或者会发生什么 当x等于-5又1/2

76
00:02:45,067 --> 00:02:47,867
抑或x等于正的6/7

77
00:02:47,867 --> 00:02:49,000
但我只是随便选几个数

78
00:02:49,000 --> 00:02:50,600
当我想知道y是多少时

79
00:02:50,600 --> 00:02:52,600
这种方法使计算简单多了

80
00:02:52,600 --> 00:02:54,133
好了 回到x等于1

81
00:02:54,133 --> 00:02:57,338
y就等于2 x (1) -1

82
00:02:57,338 --> 00:02:59,733
2x1等于2 再减去1得到1

83
00:02:59,733 --> 00:03:03,052
我再举一个例子

84
00:03:03,052 --> 00:03:05,133
换一种我还没有用到的颜色

85
00:03:05,133 --> 00:03:06,667
就用紫色吧

86
00:03:06,667 --> 00:03:08,041
如果x等于2

87
00:03:08,041 --> 00:03:09,333
那么y将等于

88
00:03:09,333 --> 00:03:14,005
2 x 2-1, 由于x是2

89
00:03:14,005 --> 00:03:16,615
所以是4 - 1等于3

90
00:03:16,615 --> 00:03:17,800
到此为止

91
00:03:17,800 --> 00:03:19,548
我只是为这个等式举几个例子

92
00:03:19,548 --> 00:03:22,533
但我只想用此来描述一种通常的关系

93
00:03:22,533 --> 00:03:25,200
在变量x和y之间的关系

94
00:03:25,200 --> 00:03:26,908
然后我让它看起来更具体一点儿

95
00:03:26,908 --> 00:03:28,000
那么好吧

96
00:03:28,000 --> 00:03:29,882
如果x是这些变量的其中之一

97
00:03:29,882 --> 00:03:31,200
那么对应每个x的值

98
00:03:31,200 --> 00:03:33,800
变量y对应的值是多少？

99
00:03:33,800 --> 00:03:35,698
这让笛卡尔意识到

100
00:03:35,717 --> 00:03:37,467
你可以使这个式子可视化

101
00:03:37,467 --> 00:03:40,405
你实际上可视化的是每个独立的点

102
00:03:40,405 --> 00:03:42,667
但它们同样可以从总体上帮助你

103
00:03:42,667 --> 00:03:45,800
使这种关系可视化

104
00:03:45,800 --> 00:03:47,333
因此他在本质上做的是

105
00:03:47,333 --> 00:03:52,329
他让这种抽象的符号代数世界和

106
00:03:52,329 --> 00:03:55,200
几何学关联到了一起 几何研究的是

107
00:03:55,200 --> 00:03:57,600
形状 大小 和角度

108
00:03:57,600 --> 00:04:02,933
学到目前你已经拥有了几何的世界

109
00:04:02,933 --> 00:04:04,887
很明显历史上人们

110
00:04:04,887 --> 00:04:07,067
可能历史上的很多人都记不起

111
00:04:07,067 --> 00:04:09,067
谁曾经涉猎于此

112
00:04:09,067 --> 00:04:12,467
但在笛卡尔之前的通常看法是

113
00:04:12,467 --> 00:04:14,800
几何学是指欧几里德几何学

114
00:04:14,800 --> 00:04:16,133
并且那是几何学的本质

115
00:04:16,133 --> 00:04:17,533
你在几何课学过

116
00:04:17,533 --> 00:04:20,333
在八年级、九年级或者十年级的时候

117
00:04:20,333 --> 00:04:22,533
在传统的高中课程中

118
00:04:22,533 --> 00:04:24,200
几何学所研究的是

119
00:04:24,200 --> 00:04:28,554
有关三角形和它们的角之间的关系

120
00:04:28,554 --> 00:04:30,667
以及圆与圆之间的关系

121
00:04:30,667 --> 00:04:33,887
你了解了半径，你还有三角形

122
00:04:33,887 --> 00:04:36,200
嵌在圆内的情形等等

123
00:04:36,200 --> 00:04:37,190
好了 我们将会深入了解

124
00:04:37,190 --> 00:04:39,667
在几何学课上

125
00:04:39,667 --> 00:04:42,938
笛卡尔说 我觉得可以将它图形化展示

126
00:04:42,938 --> 00:04:46,581
和欧几里德研究这些三角和圆的方法一样

127
00:04:46,581 --> 00:04:48,299
他说“为什么我不这么做呢？”

128
00:04:48,299 --> 00:04:50,575
如果我们将这里看作一张纸

129
00:04:50,575 --> 00:04:52,339
或者我们想象一个二维平面

130
00:04:52,339 --> 00:04:53,825
你可以将一张纸看作

131
00:04:53,825 --> 00:04:55,915
是二维平面的一部分

132
00:04:55,915 --> 00:04:57,819
我们称之为 二维

133
00:04:57,819 --> 00:04:59,584
因为这里有两个方向你可以进入

134
00:04:59,584 --> 00:05:01,256
一个是上下的方向

135
00:05:01,256 --> 00:05:02,510
这是一个方向

136
00:05:02,510 --> 00:05:04,825
让我用蓝色画出来

137
00:05:04,841 --> 00:05:06,666
因为我们设法将事物可视化

138
00:05:06,666 --> 00:05:08,384
所以我用几何的颜色来表示它们

139
00:05:08,384 --> 00:05:11,827
现在你有了上下两个方向

140
00:05:11,827 --> 00:05:14,139
你还有左右两个方向

141
00:05:14,139 --> 00:05:16,720
这就是它叫做二维平面的原因

142
00:05:16,720 --> 00:05:18,160
如果我们处理三维问题

143
00:05:18,160 --> 00:05:21,339
你还会有里向外两个方向

144
00:05:21,339 --> 00:05:23,200
在屏幕上表示出二维是很简单的

145
00:05:23,200 --> 00:05:25,425
因为屏幕本身就是二维的

146
00:05:25,425 --> 00:05:27,071
笛卡尔还说过“好了 你现在知道”

147
00:05:27,071 --> 00:05:29,744
“两个变量和它们之间的关系”

148
00:05:29,744 --> 00:05:32,548
“那么为什么我不将每一变量”

149
00:05:32,548 --> 00:05:34,600
“和这其中的某一维度对应联系起来呢？”

150
00:05:34,600 --> 00:05:38,010
按照惯例 我们让变量y

151
00:05:38,010 --> 00:05:39,421
y是因变量

152
00:05:39,421 --> 00:05:40,456
我们用的这种方法

153
00:05:40,456 --> 00:05:41,815
它的值由x的值决定

154
00:05:41,815 --> 00:05:43,605
让我们把这些在直角坐标系中画出来

155
00:05:43,605 --> 00:05:45,333
我们首先来画自变量

156
00:05:45,333 --> 00:05:46,800
就是我随机赋值的那些

157
00:05:46,800 --> 00:05:48,348
然后来看看y会等于多少

158
00:05:48,348 --> 00:05:50,867
让我在水平线上表示出来

159
00:05:50,867 --> 00:05:52,533
事实上是笛卡尔

160
00:05:52,533 --> 00:05:55,600
首先提出用x和y表达的传统

161
00:05:55,600 --> 00:05:58,600
之后我们将在代数中看到z变量 将被大量使用

162
00:05:58,600 --> 00:06:02,098
作为未知变量和你能够操控的变量一起

163
00:06:02,098 --> 00:06:03,867
但正如他所说“如果我们用这种方法考虑问题“

164
00:06:03,867 --> 00:06:07,452
”如果我们用这些维度来表示数字”

165
00:06:07,452 --> 00:06:09,723
让我们先来看看x轴

166
00:06:09,723 --> 00:06:15,702
让我们假设在这里是-3

167
00:06:15,702 --> 00:06:17,805
这里是-2

168
00:06:17,805 --> 00:06:19,498
这里是-1

169
00:06:19,498 --> 00:06:21,067
这里是0

170
00:06:21,067 --> 00:06:23,800
我正在标示x轴

171
00:06:23,800 --> 00:06:25,333
接着在左边的区域

172
00:06:25,333 --> 00:06:26,837
这里是+1

173
00:06:26,837 --> 00:06:28,338
这里是+2

174
00:06:28,338 --> 00:06:30,169
这里是+3

175
00:06:30,169 --> 00:06:32,333
我们现在要用同样的方法对y轴进行标示

176
00:06:32,333 --> 00:06:34,400
那么这里将变成

177
00:06:34,400 --> 00:06:40,400
-5, -4 , -3

178
00:06:40,400 --> 00:06:42,333
让我用更简洁一点的方法处理

179
00:06:42,333 --> 00:06:45,067
我先把这里擦掉

180
00:06:45,067 --> 00:06:47,800
把这个先擦掉 然后往下画长一点

181
00:06:47,800 --> 00:06:49,533
这样我可以往下标出-5

182
00:06:49,533 --> 00:06:51,867
不用让坐标看起来太混乱

183
00:06:51,867 --> 00:06:53,410
好了，我们可以接着

184
00:06:53,410 --> 00:06:54,867
沿着y轴标示数字了

185
00:06:54,867 --> 00:06:58,144
这里是1...2...3

186
00:06:58,144 --> 00:07:00,867
这里是-1

187
00:07:00,867 --> 00:07:02,733
然后-2，这些数只是按惯例标示

188
00:07:02,733 --> 00:07:04,067
当然也可以从下往上标示y轴

189
00:07:04,067 --> 00:07:05,692
我们在这里写上x

190
00:07:05,692 --> 00:07:06,733
这里写y

191
00:07:06,733 --> 00:07:07,969
使这个方向表明这方向

192
00:07:07,969 --> 00:07:09,277
这个方向表明负方向

193
00:07:09,277 --> 00:07:11,333
当然这些人们习惯采用的表达方式

194
00:07:11,333 --> 00:07:12,733
是有笛卡尔首先发明的

195
00:07:12,733 --> 00:07:18,062
这是-2, -3, -4以及-5

196
00:07:18,062 --> 00:07:20,200
他说“任何东西 我都可以对应”

197
00:07:20,200 --> 00:07:22,667
“我能将这些对子对应于”

198
00:07:22,667 --> 00:07:25,333
“二维上的一个点”

199
00:07:25,333 --> 00:07:28,467
“我可以找到x和x的关联值.”

200
00:07:28,467 --> 00:07:30,333
“比如说在-2这里取为x值”

201
00:07:30,333 --> 00:07:34,195
“它大概就是在原点左侧的这个位置”

202
00:07:34,195 --> 00:07:35,831
“我将它标示在左侧表示负值”

203
00:07:35,831 --> 00:07:39,395
再来看这个点在纵坐标上是-5

204
00:07:39,395 --> 00:07:41,667
因此我知道y的值是-5

205
00:07:41,667 --> 00:07:46,400
因此我从原点向左移2个单位再往下移5个单位

206
00:07:46,400 --> 00:07:49,267
于是在这里就是我需要的点

207
00:07:49,267 --> 00:07:53,518
因此他说“这两个值是-2和-5”

208
00:07:53,518 --> 00:07:55,733
“而我可以将他们和这个点联系起来”

209
00:07:55,733 --> 00:07:59,133
在右边的二维平面中

210
00:07:59,133 --> 00:08:02,933
每一个点有两个坐标值

211
00:08:02,933 --> 00:08:06,400
你来告诉我在哪里我可以找到点（-2,-5）？

212
00:08:06,400 --> 00:08:08,959
这些坐标叫做笛卡尔坐标

213
00:08:08,959 --> 00:08:12,077
以奈勒笛卡尔命名

214
00:08:12,077 --> 00:08:13,800
因为他发明了这些东西

215
00:08:13,800 --> 00:08:15,067
笛卡尔出人意料将这些关系与

216
00:08:15,067 --> 00:08:17,667
坐标平面上的点联系到了一起

217
00:08:17,667 --> 00:08:19,800
之后他说 好吧 让我们用另一种方法试一下

218
00:08:19,800 --> 00:08:21,600
是的 这里还有另外一种关系

219
00:08:21,600 --> 00:08:27,452
在表中可见当x为-1时 y是-3

220
00:08:27,452 --> 00:08:30,031
于是x是-1 y是-3

221
00:08:30,031 --> 00:08:31,544
就是这里这个点

222
00:08:31,544 --> 00:08:33,333
任然是惯例

223
00:08:33,333 --> 00:08:34,375
当你列出两个坐标的值时

224
00:08:34,375 --> 00:08:36,600
你先列出x坐标，然后列出y坐标

225
00:08:36,600 --> 00:08:38,400
这就是人们通常习惯的方式

226
00:08:38,400 --> 00:08:42,067
点（-1,-3）就是这个位置上的点

227
00:08:42,067 --> 00:08:45,933
接着你找到x是0，y是-1的点

228
00:08:45,933 --> 00:08:48,067
当x是0的时候

229
00:08:48,067 --> 00:08:50,267
意味着我在原点不需要向左或者向右

230
00:08:50,267 --> 00:08:52,667
而y是-1意味着要向下移动一个单位

231
00:08:52,667 --> 00:08:56,390
因此点（0,-1）就是在这里

232
00:08:56,390 --> 00:08:57,359
嗯，在这里

233
00:08:57,359 --> 00:08:58,852
我可以接着这么做

234
00:08:58,852 --> 00:09:03,810
当x是1时，y是1

235
00:09:03,810 --> 00:09:09,575
当x是2时，y是3

236
00:09:09,575 --> 00:09:11,733
让我用同样的紫色来描点

237
00:09:11,733 --> 00:09:15,400
当x是2，y是3，点（2,3）

238
00:09:15,400 --> 00:09:20,652
在这里用橙色表示出（1,1）

239
00:09:20,652 --> 00:09:22,195
这样整体看起来很整齐

240
00:09:22,195 --> 00:09:24,615
我只是想举例说明x的可能点

241
00:09:24,615 --> 00:09:25,867
但是笛卡尔意识到

242
00:09:25,867 --> 00:09:27,775
你不只可以列出这些x可能的值

243
00:09:27,775 --> 00:09:29,677
还可以不停列出x的其他值

244
00:09:29,677 --> 00:09:31,318
如果你尝试列出某个区间x的所有可能值

245
00:09:31,318 --> 00:09:34,000
你事实上就描绘出了一条线

246
00:09:34,000 --> 00:09:36,067
因此如果你标出了所有可能的x值

247
00:09:36,067 --> 00:09:38,067
你将得到一条线

248
00:09:38,067 --> 00:09:44,492
那看起来就像...这样

249
00:09:44,492 --> 00:09:47,533
这样一种关系 如果你选择任意的x

250
00:09:47,533 --> 00:09:50,867
就可以在线上的点找到相对应的y值

251
00:09:50,867 --> 00:09:52,400
或者用另外一种方式思考这个问题

252
00:09:52,400 --> 00:09:54,171
这条线上任意一点表达了

253
00:09:54,171 --> 00:09:57,051
这个等式的一个解 就在这里

254
00:09:57,051 --> 00:09:58,902
所以如果你在这里选一个点

255
00:09:58,902 --> 00:10:01,600
看起来x值大概是1.5

256
00:10:01,600 --> 00:10:03,467
y是2 让我写下来

257
00:10:03,467 --> 00:10:07,133
（1.5,2）

258
00:10:07,133 --> 00:10:09,133
这是这个等式的一个解

259
00:10:09,133 --> 00:10:13,652
当x是1.5时，2*1.5是3，再减去1得到2

260
00:10:13,652 --> 00:10:15,600
就得到这个了

261
00:10:15,600 --> 00:10:17,400
因此出人意料他能够搭桥

262
00:10:17,400 --> 00:10:22,400
将代数和几何连接了起来

263
00:10:22,400 --> 00:10:27,133
现在我们可以直观看到每一对x和y的值

264
00:10:27,133 --> 00:10:31,498
都可以满足这个等式

265
00:10:31,498 --> 00:10:36,092
而他就是这一连接的创造者

266
00:10:36,092 --> 00:10:38,067
这就是为什么坐标

267
00:10:38,067 --> 00:10:42,677
标识这些点的坐标 叫做笛卡尔坐标

268
00:10:42,677 --> 00:10:45,467
就像我们看到的第一种等式

269
00:10:45,467 --> 00:10:48,600
我们将在这里学习这种形式的等式

270
00:10:48,600 --> 00:10:50,446
和传统的代数课程

271
00:10:50,446 --> 00:10:52,733
他们叫做线性方程组

272
00:10:52,733 --> 00:10:55,733
线性方程组

273
00:10:55,733 --> 00:10:57,738
也许你会觉得 好吧 你看这是一个等式

274
00:10:57,738 --> 00:10:59,533
我可以看出这个等于它自身

275
00:10:59,533 --> 00:11:00,744
但它们之间的线性关系是指什么？

276
00:11:00,744 --> 00:11:02,333
是什么使它们看起来像一条线？

277
00:11:02,333 --> 00:11:04,379
为了了解为什么它们是线性的

278
00:11:04,379 --> 00:11:07,467
你必须做到奈勒笛卡尔所做的跳跃

279
00:11:07,467 --> 00:11:09,133
因为 如果你要绘制这种关系

280
00:11:09,133 --> 00:11:10,759
用笛卡尔坐标系

281
00:11:10,759 --> 00:11:14,492
在欧几里德平面上 你会得到一条直线

282
00:11:14,492 --> 00:11:15,846
在将来你还会看到

283
00:11:15,846 --> 00:11:17,723
一些不会得到直线的等式

284
00:11:17,723 --> 00:11:21,656
而是一些疯狂或稀奇古怪的曲线