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Versuchen wir, eine etwas schwierigere Gleichung zu lösen.
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Angenommen wir haben 2x plus 3, 2x plus 3 ergibt
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ergibt 5x minus 2.
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Aufs Erste sieht das vielleicht ein bisschen einschüchternd aus.
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Auf beiden Seiten der Gleichung haben wir x.
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Wir addieren und subtrahieren Zahlen.
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Wie löst man dieses Problem?
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Wir werden das auf verschiedene Arten machen.
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Wichtig ist, dass wir
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versuchen, das x zu isolieren.
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Sobald das x alleine auf einer Seite der Gleichung steht, hat man x ist gleich irgendwas.
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oder irgendwas ist gleich x.
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Damit ist man fertig,- Gleichung gelöst.
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Man kann tatsächlich zurück gehen um zu überprüfen ob das funktioniert, also
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Was wir machen sind nur ein paar Rechenoperationen auf
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beiden Seiten der Gleichung, um das x zu isolieren.
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Aber wenn wir das machen, möchte ich, dass ihr euch vorstellt
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was passiert.
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Ich möchte nicht, dass ihr einfach Regeln oder
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Schritte zum Lösen von Gleichungen heruntersagt.
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Und ich habe vergessen, ob das erlaubt oder nicht erlaubt ist.
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Wenn man sich vorstellt was passiert, wird tatsächlich
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der Hausverstand sagen, was erlaubt ist.
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Also, versuchen wir es uns vorzustellen.
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Also wir haben 2x gleich hier auf der linken Seite der Gleichung.
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Also das sind buchstäblich x plus x.
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und dann haben wir plus 3.
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Plus 3, also ich mach's so.
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So das ist das gleiche wie plus 1, plus 1, plus 1.
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Das ist das Gleiche wie 3.
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Ich hätte hier auch 3 Kreise zeichnen können.
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Machen wir das in der selben Farbe.
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Plus 3.
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Und dann ist das gleich 5 x.
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Wir machen das in Blau.
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Das ist gleich 5x.
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Also 1, 2, 3, 4, 5.
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Und ich möchte klarstellen:
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Ihr müsst das nicht wirklich so aufschreiben, wenn
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ihr ein Beispiel löst.
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Ihr müsst nur die algebraischen Schritte durchführen.
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Aber ich mache das um zu veranschaulichen
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was diese Gleichung aussagt.
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Die linke Seite ist diese zwei orangen x plus 3.
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Die rechte Seite ist 5x minus 2.
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Also minus 2 können wir schreiben als, - lasst mich das
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in einer anderen Farbe machen, ich mache es in pink.
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Also, minus 2, schreibe ich als minus 1 und minus 1.
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Jetzt wollen wir die x auf einer
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Seite der Gleichung isolieren.
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Also, wie könnten wir das machen?
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Es gibt zwei Möglichkeiten.
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Wir könnten diese beiden x
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auf beiden Seiten der Gleichung abziehen.
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Und das würde auch Sinn machen.
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Denn dann hättest du 5x minus 2x.
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Du hättest eine positive Zahl von x auf der rechten Seite.
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Oder du könntest auf beiden Seiten 5x abziehen.
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Und das ist das Schöne an Algebra.
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So lange du erlaubte Rechenoperationen durchführst, wirst du
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auf das richtige Ergebnis kommen.
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Also, fangen wir an und subtrahieren 2 x auf beiden
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Seiten der Gleichung.
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Was ich damit meine ist, wir entfernen 2x
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auf der linken Seite.
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Und wenn wir auf der linken Seite 2x entfernen, dann müssen wir auch
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auf der rechten Seite 2x entfernen.
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Einfach so.
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Was ergibt das nun.
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Wir subtrahieren 2 x.
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2x von Links.
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Und wir ziehen auch auf der rechten Seite 2x ab.
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Also, auf was wird die linke Seite vereinfacht?
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Wir haben 2x plus 3 minus 2x.
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Die 2x heben sich auf.
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Also bleiben nur, - es bleiben nur die 3.
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Und du siehst das hier.
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Wir haben 2 von diesen x weggenommen.
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Wir haben nur noch die plus 1, plus 1, plus 1.
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Und dann haben wir auf der rechten Seite
5x minus 2x.
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Das haben wir hier.
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Wir haben 5x minus 2x.
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Du hast nur noch 1, 2, 3 x übrig.
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3 ist gleich 3x.
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Und dann hast du die minus 2 dort.
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Du hast die minus 2.
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Also, normalerweise wenn du so ein Beispiel löst, müsstest du
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nur nur das schreiben, was wir hier auf der linken Seite schreiben.
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Also, was können wir als nächstes machen?
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Denkt daran, wir wollen die x isolieren.
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Gut, wir haben alle unsere x hier auf der rechten Seite.
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Wenn wir noch diese Minus 2 hier weg bekommen könnten, weg von der
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rechten Seite, dann wären die x hier alleine.
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Sie wären isoliert.
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Also wie können wir diese Minus 2 hier los werden, wenn wir
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uns das hier vorstellen.
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Diese Minus 1 und diese Minus 1.
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Gut, wir könnten 2 auf beiden Seiten der Gleichung addieren.
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Aufpassen, was hier passiert.
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Wenn wir also 2 addieren
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Plus 1, plus 1.
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Also könnte man buchstäblich sehen.
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Wir addieren 2.
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Und dann geben wir 2 auf der linken Seite dazu.
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1 plus, 1 plus.
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Was passiert?
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Lasst mich das auch hier machen.
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Also wir addieren 2.
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Wir geben 2 dazu.
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Also, was passiert auf der linken Seite?
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3 plus 2 ist das gleiche wie 5.
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Und das ist das gleiche wie 3x minus 2 plus 2.
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Das hebt sich auf.
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Und wir haben nur noch 3x.
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Und wir sehen das hier.
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Wir haben auf der linken Seite 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1.
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Wir haben 5 Einsen, oder 5.
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Und auf der rechten Seite haben wir 3x,
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gleich hier.
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Und dann haben wir die Minus 1, Minus 1.
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Plus 1, plus 1, die heben sich auf.
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Wir kommen auf Null.
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Sie heben sich auf.
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Also bleibt uns nur noch 5 ist gleich 3x.
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Also wir haben 1, 2, 3, 4, 5 ist gleich 3x.
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Lasst mich alles weglöschen, was wir weggebracht haben, damit das
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ein bisschen sauberer aussieht.
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Das haben wir alles weggebracht.
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Ich lösche das weg.
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Und dann lösche ich das weg.
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Bearbeiten.
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Löschen.
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So, jetzt bleiben nur noch 1, 2, 3, 4, 5.
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Eigentlich möchte ich das hierhin verschieben.
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Also, ich könnte das einfach hier hin verschieben.
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Wir haben jetzt 1, 2, 3, 4, 5.
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Das sind die Zwei, die wir hier addiert haben ist gleich 3x.
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Die hier haben sich aufgehoben.
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Deshalb haben wir hier nichts.
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Jetzt, um das zu lösen, dividieren wir beide Seiten
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der Gleichung durch 3.
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Und das lässt sich ein bisschen schwer
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veranschaulichen.
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Aber, wenn wir wenn wir hier beide Seiten durch 3 dividieren, was bekommen wir?
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Wir dividieren die linke Seite durch 3.
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Wir dividieren die rechte Seite durch 3.
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Der Grund warum wir durch 3 dividieren ist, weil die x
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mit 3 multipliziert wurden.
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3 ist der Koeffizient von x.
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Cooles Wort, es bezeichnet aber nur die Zahl
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mit der die Variable multipliziert wird.
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Die Zahl, die wir als Lösung suchen, die Variable für die wir eine Lösung suchen.
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Also, diese 3 heben sich auf.
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Die rechte Seite der Gleichung ist einfach nur x.
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Die linke Seite der Gleichung ist 5/3.
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Also 5/3, wir könnten sagen x ist gleich 5/3.
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Und das ist anders als alles was wir bis jetzt hatten.
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Ich habe jetzt das x auf der rechten Seite, den Wert
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auf der linken Seite.
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Das ist überhaupt kein Problem.
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Das ist genau das Gleiche; 5/3 ist gleich x ist
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genau das Gleiche wie x ist gleich 5/3.
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Genau das Gleiche.
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Genau das Gleiche.
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Diese Schreibweise ist üblicher, aber das
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ist genau das Gleiche.
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Jetzt, wenn wir das als gemischte Zahl schreiben wollen, wenn wir
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das als gemischte Zahl schreiben wollen, 3 geht in 5 ein
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Mal, 2 Rest.
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Also ist das 1 2/3.
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Also ist das 1 2/3.
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Also, wir können schreiben x ist gleich 1 2/3.
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Und ich überlasse es euch, wieder rück-einzusetzten
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in die ursprüngliche Gleichung.
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Um zu sehen das es stimmt.
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Nun, um das hier zu veranschaulichen, wie haben wir 1
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2/3 bekommen, überlegen wir kurz.
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Statt 1, mache ich hier Kreise,
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Ich mache Kreise.
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Eigentlich noch besser, ich mache Quadrate.
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Also ich habe 5 Quadrate auf der linken Seite.
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Ich mache es mit der gleichen gelben Farbe hier.
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Also, ich habe 1, 2, 3, 4, 5.
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Und das ist das gleiche wie 3x.
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x plus x plus x.
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Jetzt dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 3.
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Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch 3.
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Eigentlich ist das das, was wir hier gemacht haben,
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wir haben beide Seiten durch 3 dividiert.
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Also auf der rechten Seite geht das ganz
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einfach.
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Du willst diese 3 x in 3 Guppen teilen.
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Das sind 1, 2, 3 Gruppen.
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1, 2, 3
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Jetzt, wie kann ich 5 durch drei teilen? in gleiche Teile
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Und das müssen gleiche Gruppen sein.
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Und die Antwort gibt uns das vor.
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Jede Gruppe wird 1 2/3 haben.
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Also, 1 2/3.
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Also, es sind 2/3 von dem nächsten hier.
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Und dann haben wir 1 2/3.
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Also, das ist 1/3.
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Wir brauchen also noch eines.
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und noch ein ganzes, also das ist 1 1/3
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Wir brauchen also noch einmal 1/3, das wird genau
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hier sein.
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und dann bleiben noch 2/3 und 1 Ganzes übrig.
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Also haben wir das in 3 Gruppen geteilt.
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Hier.
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Lasst mich das klar darstellen.
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Das hier ist 1 und 2/3.
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1 2/3.
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Und dann das hier ist 1/3.
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Das ist noch einmal 1/3, das sind also zusammen 2/3, und dann
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das hier ist 1.
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Also das ist 1 2/3.
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Und schlussendlich das ist 2/3 und das ist
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1, also das ist 1 2/3.
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Also, wenn du beide Seiten durch 3 dividierst bekommst du 1 2/3.
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Jeder Abschnitt, jede Gruppe ist 1 2/3 auf der linken Seite.
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Auf der linken Seite, oder 5/3.
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Und auf der rechten Seite haben wir nur ein x.
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Also, es funktioniert.
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Ein bisschen schwieriger das mit Brüchen zu veranschaulichen.