0:00:00.580,0:00:03.810 Versuchen wir, eine etwas schwierigere Gleichung zu lösen. 0:00:03.810,0:00:15.190 Angenommen wir haben 2x plus 3, 2x plus 3 ergibt 0:00:15.190,0:00:23.040 ergibt 5x minus 2. 0:00:23.040,0:00:25.120 Aufs Erste sieht das vielleicht ein bisschen einschüchternd aus. 0:00:25.120,0:00:27.220 Auf beiden Seiten der Gleichung haben wir x. 0:00:27.220,0:00:28.980 Wir addieren und subtrahieren Zahlen. 0:00:28.984,0:00:30.527 Wie löst man dieses Problem? 0:00:30.527,0:00:32.450 Wir werden das auf verschiedene Arten machen. 0:00:32.450,0:00:34.550 Wichtig ist, dass wir 0:00:34.550,0:00:35.450 versuchen, das x zu isolieren. 0:00:35.450,0:00:37.750 Sobald das x alleine auf einer Seite der Gleichung steht, hat man x ist gleich irgendwas. 0:00:37.750,0:00:39.900 oder irgendwas ist gleich x. 0:00:39.900,0:00:41.640 Damit ist man fertig,- Gleichung gelöst. 0:00:41.640,0:00:44.050 Man kann tatsächlich zurück gehen um zu überprüfen ob das funktioniert, also 0:00:44.050,0:00:46.400 Was wir machen sind nur ein paar Rechenoperationen auf 0:00:46.400,0:00:49.375 beiden Seiten der Gleichung, um das x zu isolieren. 0:00:49.375,0:00:51.590 Aber wenn wir das machen, möchte ich, dass ihr euch vorstellt 0:00:51.590,0:00:52.140 was passiert. 0:00:52.140,0:00:54.670 Ich möchte nicht, dass ihr einfach Regeln oder 0:00:54.670,0:00:56.240 Schritte zum Lösen von Gleichungen heruntersagt. 0:00:56.240,0:00:58.920 Und ich habe vergessen, ob das erlaubt oder nicht erlaubt ist. 0:00:58.920,0:01:01.090 Wenn man sich vorstellt was passiert, wird tatsächlich 0:01:01.090,0:01:02.780 der Hausverstand sagen, was erlaubt ist. 0:01:02.780,0:01:03.880 Also, versuchen wir es uns vorzustellen. 0:01:03.880,0:01:06.890 Also wir haben 2x gleich hier auf der linken Seite der Gleichung. 0:01:06.890,0:01:10.430 Also das sind buchstäblich x plus x. 0:01:10.430,0:01:12.850 und dann haben wir plus 3. 0:01:12.850,0:01:14.480 Plus 3, also ich mach's so. 0:01:14.480,0:01:18.480 So das ist das gleiche wie plus 1, plus 1, plus 1. 0:01:18.480,0:01:19.910 Das ist das Gleiche wie 3. 0:01:19.910,0:01:22.260 Ich hätte hier auch 3 Kreise zeichnen können. 0:01:22.260,0:01:23.800 Machen wir das in der selben Farbe. 0:01:23.800,0:01:25.040 Plus 3. 0:01:25.040,0:01:28.670 Und dann ist das gleich 5 x. 0:01:28.670,0:01:30.200 Wir machen das in Blau. 0:01:30.200,0:01:32.450 Das ist gleich 5x. 0:01:32.450,0:01:37.440 Also 1, 2, 3, 4, 5. 0:01:37.440,0:01:38.240 Und ich möchte klarstellen: 0:01:38.240,0:01:40.110 Ihr müsst das nicht wirklich so aufschreiben, wenn 0:01:40.110,0:01:41.140 ihr ein Beispiel löst. 0:01:41.140,0:01:43.440 Ihr müsst nur die algebraischen Schritte durchführen. 0:01:43.440,0:01:46.010 Aber ich mache das um zu veranschaulichen 0:01:46.010,0:01:47.860 was diese Gleichung aussagt. 0:01:47.860,0:01:51.060 Die linke Seite ist diese zwei orangen x plus 3. 0:01:51.060,0:01:53.540 Die rechte Seite ist 5x minus 2. 0:01:53.540,0:01:56.930 Also minus 2 können wir schreiben als, - lasst mich das 0:01:56.930,0:01:58.890 in einer anderen Farbe machen, ich mache es in pink. 0:01:58.890,0:02:04.580 Also, minus 2, schreibe ich als minus 1 und minus 1. 0:02:04.580,0:02:08.420 Jetzt wollen wir die x auf einer 0:02:08.420,0:02:09.450 Seite der Gleichung isolieren. 0:02:09.450,0:02:10.870 Also, wie könnten wir das machen? 0:02:10.870,0:02:12.670 Es gibt zwei Möglichkeiten. 0:02:12.670,0:02:15.250 Wir könnten diese beiden x 0:02:15.250,0:02:16.450 auf beiden Seiten der Gleichung abziehen. 0:02:16.450,0:02:17.720 Und das würde auch Sinn machen. 0:02:17.720,0:02:20.220 Denn dann hättest du 5x minus 2x. 0:02:20.220,0:02:22.690 Du hättest eine positive Zahl von x auf der rechten Seite. 0:02:22.690,0:02:25.200 Oder du könntest auf beiden Seiten 5x abziehen. 0:02:25.200,0:02:26.160 Und das ist das Schöne an Algebra. 0:02:26.160,0:02:29.510 So lange du erlaubte Rechenoperationen durchführst, wirst du 0:02:29.510,0:02:30.890 auf das richtige Ergebnis kommen. 0:02:30.890,0:02:34.320 Also, fangen wir an und subtrahieren 2 x auf beiden 0:02:34.320,0:02:35.690 Seiten der Gleichung. 0:02:35.690,0:02:38.180 Was ich damit meine ist, wir entfernen 2x 0:02:38.180,0:02:39.710 auf der linken Seite. 0:02:39.710,0:02:41.980 Und wenn wir auf der linken Seite 2x entfernen, dann müssen wir auch 0:02:41.980,0:02:45.240 auf der rechten Seite 2x entfernen. 0:02:45.240,0:02:46.069 Einfach so. 0:02:46.069,0:02:47.049 Was ergibt das nun. 0:02:47.049,0:02:49.872 Wir subtrahieren 2 x. 0:02:49.872,0:02:50.972 2x von Links. 0:02:50.972,0:02:53.730 Und wir ziehen auch auf der rechten Seite 2x ab. 0:02:53.730,0:02:57.290 Also, auf was wird die linke Seite vereinfacht? 0:02:57.290,0:02:59.460 Wir haben 2x plus 3 minus 2x. 0:02:59.460,0:03:01.340 Die 2x heben sich auf. 0:03:01.340,0:03:04.490 Also bleiben nur, - es bleiben nur die 3. 0:03:04.490,0:03:05.560 Und du siehst das hier. 0:03:05.560,0:03:07.390 Wir haben 2 von diesen x weggenommen. 0:03:07.390,0:03:10.840 Wir haben nur noch die plus 1, plus 1, plus 1. 0:03:10.842,0:03:15.238 Und dann haben wir auf der rechten Seite [br]5x minus 2x. 0:03:15.238,0:03:16.554 Das haben wir hier. 0:03:16.554,0:03:17.900 Wir haben 5x minus 2x. 0:03:17.900,0:03:21.590 Du hast nur noch 1, 2, 3 x übrig. 0:03:21.590,0:03:23.860 3 ist gleich 3x. 0:03:23.860,0:03:26.530 Und dann hast du die minus 2 dort. 0:03:26.530,0:03:29.220 Du hast die minus 2. 0:03:29.220,0:03:30.770 Also, normalerweise wenn du so ein Beispiel löst, müsstest du 0:03:30.770,0:03:32.850 nur nur das schreiben, was wir hier auf der linken Seite schreiben. 0:03:32.850,0:03:33.860 Also, was können wir als nächstes machen? 0:03:33.860,0:03:35.880 Denkt daran, wir wollen die x isolieren. 0:03:35.880,0:03:38.560 Gut, wir haben alle unsere x hier auf der rechten Seite. 0:03:38.560,0:03:40.830 Wenn wir noch diese Minus 2 hier weg bekommen könnten, weg von der 0:03:40.830,0:03:43.310 rechten Seite, dann wären die x hier alleine. 0:03:43.310,0:03:44.560 Sie wären isoliert. 0:03:44.560,0:03:46.570 Also wie können wir diese Minus 2 hier los werden, wenn wir 0:03:46.570,0:03:47.510 uns das hier vorstellen. 0:03:47.510,0:03:49.930 Diese Minus 1 und diese Minus 1. 0:03:49.930,0:03:53.295 Gut, wir könnten 2 auf beiden Seiten der Gleichung addieren. 0:03:53.295,0:03:55.015 Aufpassen, was hier passiert. 0:03:55.015,0:03:57.838 Wenn wir also 2 addieren 0:03:57.838,0:03:59.169 Plus 1, plus 1. 0:03:59.169,0:03:59.770 Also könnte man buchstäblich sehen. 0:03:59.770,0:04:00.990 Wir addieren 2. 0:04:00.990,0:04:02.990 Und dann geben wir 2 auf der linken Seite dazu. 0:04:02.990,0:04:05.320 1 plus, 1 plus. 0:04:05.320,0:04:06.590 Was passiert? 0:04:06.590,0:04:07.790 Lasst mich das auch hier machen. 0:04:07.790,0:04:09.070 Also wir addieren 2. 0:04:09.070,0:04:11.770 Wir geben 2 dazu. 0:04:11.770,0:04:13.380 Also, was passiert auf der linken Seite? 0:04:13.380,0:04:17.672 3 plus 2 ist das gleiche wie 5. 0:04:17.672,0:04:22.284 Und das ist das gleiche wie 3x minus 2 plus 2. 0:04:22.284,0:04:23.463 Das hebt sich auf. 0:04:23.463,0:04:26.550 Und wir haben nur noch 3x. 0:04:26.550,0:04:27.880 Und wir sehen das hier. 0:04:27.880,0:04:31.390 Wir haben auf der linken Seite 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1. 0:04:31.390,0:04:33.120 Wir haben 5 Einsen, oder 5. 0:04:33.120,0:04:36.020 Und auf der rechten Seite haben wir 3x, 0:04:36.020,0:04:37.040 gleich hier. 0:04:37.040,0:04:38.730 Und dann haben wir die Minus 1, Minus 1. 0:04:38.730,0:04:41.840 Plus 1, plus 1, die heben sich auf. 0:04:41.840,0:04:43.140 Wir kommen auf Null. 0:04:43.140,0:04:44.060 Sie heben sich auf. 0:04:44.060,0:04:47.500 Also bleibt uns nur noch 5 ist gleich 3x. 0:04:47.500,0:04:50.670 Also wir haben 1, 2, 3, 4, 5 ist gleich 3x. 0:04:50.670,0:04:53.550 Lasst mich alles weglöschen, was wir weggebracht haben, damit das 0:04:53.550,0:04:55.971 ein bisschen sauberer aussieht. 0:05:00.125,0:05:02.345 Das haben wir alles weggebracht. 0:05:02.740,0:05:04.240 Ich lösche das weg. 0:05:04.240,0:05:07.680 Und dann lösche ich das weg. 0:05:07.680,0:05:08.640 Bearbeiten. 0:05:08.640,0:05:09.300 Löschen. 0:05:09.300,0:05:12.810 So, jetzt bleiben nur noch 1, 2, 3, 4, 5. 0:05:12.810,0:05:14.230 Eigentlich möchte ich das hierhin verschieben. 0:05:19.018,0:05:22.542 Also, ich könnte das einfach hier hin verschieben. 0:05:22.620,0:05:26.080 Wir haben jetzt 1, 2, 3, 4, 5. 0:05:26.080,0:05:28.610 Das sind die Zwei, die wir hier addiert haben ist gleich 3x. 0:05:28.610,0:05:29.750 Die hier haben sich aufgehoben. 0:05:29.750,0:05:31.360 Deshalb haben wir hier nichts. 0:05:31.360,0:05:34.310 Jetzt, um das zu lösen, dividieren wir beide Seiten 0:05:34.310,0:05:35.950 der Gleichung durch 3. 0:05:35.950,0:05:37.170 Und das lässt sich ein bisschen schwer 0:05:37.170,0:05:39.210 veranschaulichen. 0:05:39.210,0:05:43.050 Aber, wenn wir wenn wir hier beide Seiten durch 3 dividieren, was bekommen wir? 0:05:43.050,0:05:44.480 Wir dividieren die linke Seite durch 3. 0:05:44.480,0:05:45.810 Wir dividieren die rechte Seite durch 3. 0:05:45.810,0:05:48.560 Der Grund warum wir durch 3 dividieren ist, weil die x 0:05:48.560,0:05:51.460 mit 3 multipliziert wurden. 0:05:51.460,0:05:53.650 3 ist der Koeffizient von x. 0:05:53.650,0:05:55.630 Cooles Wort, es bezeichnet aber nur die Zahl 0:05:55.630,0:05:57.360 mit der die Variable multipliziert wird. 0:05:57.360,0:06:00.110 Die Zahl, die wir als Lösung suchen, die Variable für die wir eine Lösung suchen. 0:06:00.110,0:06:02.140 Also, diese 3 heben sich auf. 0:06:02.140,0:06:05.520 Die rechte Seite der Gleichung ist einfach nur x. 0:06:05.520,0:06:08.260 Die linke Seite der Gleichung ist 5/3. 0:06:08.260,0:06:10.780 Also 5/3, wir könnten sagen x ist gleich 5/3. 0:06:10.780,0:06:13.030 Und das ist anders als alles was wir bis jetzt hatten. 0:06:13.030,0:06:15.790 Ich habe jetzt das x auf der rechten Seite, den Wert 0:06:15.790,0:06:16.710 auf der linken Seite. 0:06:16.710,0:06:17.720 Das ist überhaupt kein Problem. 0:06:17.720,0:06:21.800 Das ist genau das Gleiche; 5/3 ist gleich x ist 0:06:21.800,0:06:24.680 genau das Gleiche wie x ist gleich 5/3. 0:06:24.680,0:06:26.280 Genau das Gleiche. 0:06:26.280,0:06:27.080 Genau das Gleiche. 0:06:27.080,0:06:29.140 Diese Schreibweise ist üblicher, aber das 0:06:29.140,0:06:31.510 ist genau das Gleiche. 0:06:31.510,0:06:35.090 Jetzt, wenn wir das als gemischte Zahl schreiben wollen, wenn wir 0:06:35.090,0:06:37.760 das als gemischte Zahl schreiben wollen, 3 geht in 5 ein 0:06:37.760,0:06:39.480 Mal, 2 Rest. 0:06:39.480,0:06:42.610 Also ist das 1 2/3. 0:06:42.610,0:06:44.680 Also ist das 1 2/3. 0:06:44.680,0:06:49.410 Also, wir können schreiben x ist gleich 1 2/3. 0:06:49.410,0:06:51.580 Und ich überlasse es euch, wieder rück-einzusetzten 0:06:51.580,0:06:52.990 in die ursprüngliche Gleichung. 0:06:52.990,0:06:54.650 Um zu sehen das es stimmt. 0:06:54.650,0:06:57.260 Nun, um das hier zu veranschaulichen, wie haben wir 1 0:06:57.260,0:06:58.390 2/3 bekommen, überlegen wir kurz. 0:06:58.390,0:07:00.790 Statt 1, mache ich hier Kreise, 0:07:00.790,0:07:03.510 Ich mache Kreise. 0:07:03.510,0:07:05.950 Eigentlich noch besser, ich mache Quadrate. 0:07:05.950,0:07:08.460 Also ich habe 5 Quadrate auf der linken Seite. 0:07:08.460,0:07:11.570 Ich mache es mit der gleichen gelben Farbe hier. 0:07:11.570,0:07:19.560 Also, ich habe 1, 2, 3, 4, 5. 0:07:19.560,0:07:23.172 Und das ist das gleiche wie 3x. 0:07:23.172,0:07:25.570 x plus x plus x. 0:07:25.570,0:07:29.350 Jetzt dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 3. 0:07:29.350,0:07:32.150 Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch 3. 0:07:32.150,0:07:33.380 Eigentlich ist das das, was wir hier gemacht haben, 0:07:33.380,0:07:34.850 wir haben beide Seiten durch 3 dividiert. 0:07:34.850,0:07:36.870 Also auf der rechten Seite geht das ganz 0:07:36.870,0:07:37.480 einfach. 0:07:37.480,0:07:40.760 Du willst diese 3 x in 3 Guppen teilen. 0:07:40.760,0:07:43.040 Das sind 1, 2, 3 Gruppen. 0:07:43.040,0:07:43.700 1, 2, 3 0:07:43.700,0:07:45.700 Jetzt, wie kann ich 5 durch drei teilen? in gleiche Teile 0:07:45.707,0:07:48.157 Und das müssen gleiche Gruppen sein. 0:07:48.167,0:07:49.929 Und die Antwort gibt uns das vor. 0:07:49.929,0:07:51.582 Jede Gruppe wird 1 2/3 haben. 0:07:51.582,0:07:53.430 Also, 1 2/3. 0:07:53.430,0:07:55.960 Also, es sind 2/3 von dem nächsten hier. 0:07:55.960,0:07:58.530 Und dann haben wir 1 2/3. 0:07:58.530,0:07:59.740 Also, das ist 1/3. 0:07:59.740,0:08:01.480 Wir brauchen also noch eines. 0:08:01.480,0:08:04.270 und noch ein ganzes, also das ist 1 1/3 0:08:04.270,0:08:05.770 Wir brauchen also noch einmal 1/3, das wird genau 0:08:05.770,0:08:07.870 hier sein. 0:08:07.870,0:08:10.390 und dann bleiben noch 2/3 und 1 Ganzes übrig. 0:08:10.390,0:08:12.450 Also haben wir das in 3 Gruppen geteilt. 0:08:12.450,0:08:13.250 Hier. 0:08:13.250,0:08:14.400 Lasst mich das klar darstellen. 0:08:14.400,0:08:18.840 Das hier ist 1 und 2/3. 0:08:18.840,0:08:20.650 1 2/3. 0:08:20.650,0:08:23.420 Und dann das hier ist 1/3. 0:08:23.420,0:08:26.140 Das ist noch einmal 1/3, das sind also zusammen 2/3, und dann 0:08:26.140,0:08:27.010 das hier ist 1. 0:08:27.010,0:08:28.970 Also das ist 1 2/3. 0:08:28.970,0:08:32.480 Und schlussendlich das ist 2/3 und das ist 0:08:32.480,0:08:34.890 1, also das ist 1 2/3. 0:08:34.890,0:08:40.030 Also, wenn du beide Seiten durch 3 dividierst bekommst du 1 2/3. 0:08:40.030,0:08:44.430 Jeder Abschnitt, jede Gruppe ist 1 2/3 auf der linken Seite. 0:08:44.430,0:08:46.080 Auf der linken Seite, oder 5/3. 0:08:46.080,0:08:48.120 Und auf der rechten Seite haben wir nur ein x. 0:08:48.120,0:08:49.070 Also, es funktioniert. 0:08:49.070,0:08:52.270 Ein bisschen schwieriger das mit Brüchen zu veranschaulichen.