1 00:00:00,580 --> 00:00:03,810 Versuchen wir, eine etwas schwierigere Gleichung zu lösen. 2 00:00:03,810 --> 00:00:15,190 Angenommen wir haben 2x plus 3, 2x plus 3 ergibt 3 00:00:15,190 --> 00:00:23,040 ergibt 5x minus 2. 4 00:00:23,040 --> 00:00:25,120 Aufs Erste sieht das vielleicht ein bisschen einschüchternd aus. 5 00:00:25,120 --> 00:00:27,220 Auf beiden Seiten der Gleichung haben wir x. 6 00:00:27,220 --> 00:00:28,980 Wir addieren und subtrahieren Zahlen. 7 00:00:28,984 --> 00:00:30,527 Wie löst man dieses Problem? 8 00:00:30,527 --> 00:00:32,450 Wir werden das auf verschiedene Arten machen. 9 00:00:32,450 --> 00:00:34,550 Wichtig ist, dass wir 10 00:00:34,550 --> 00:00:35,450 versuchen, das x zu isolieren. 11 00:00:35,450 --> 00:00:37,750 Sobald das x alleine auf einer Seite der Gleichung steht, hat man x ist gleich irgendwas. 12 00:00:37,750 --> 00:00:39,900 oder irgendwas ist gleich x. 13 00:00:39,900 --> 00:00:41,640 Damit ist man fertig,- Gleichung gelöst. 14 00:00:41,640 --> 00:00:44,050 Man kann tatsächlich zurück gehen um zu überprüfen ob das funktioniert, also 15 00:00:44,050 --> 00:00:46,400 Was wir machen sind nur ein paar Rechenoperationen auf 16 00:00:46,400 --> 00:00:49,375 beiden Seiten der Gleichung, um das x zu isolieren. 17 00:00:49,375 --> 00:00:51,590 Aber wenn wir das machen, möchte ich, dass ihr euch vorstellt 18 00:00:51,590 --> 00:00:52,140 was passiert. 19 00:00:52,140 --> 00:00:54,670 Ich möchte nicht, dass ihr einfach Regeln oder 20 00:00:54,670 --> 00:00:56,240 Schritte zum Lösen von Gleichungen heruntersagt. 21 00:00:56,240 --> 00:00:58,920 Und ich habe vergessen, ob das erlaubt oder nicht erlaubt ist. 22 00:00:58,920 --> 00:01:01,090 Wenn man sich vorstellt was passiert, wird tatsächlich 23 00:01:01,090 --> 00:01:02,780 der Hausverstand sagen, was erlaubt ist. 24 00:01:02,780 --> 00:01:03,880 Also, versuchen wir es uns vorzustellen. 25 00:01:03,880 --> 00:01:06,890 Also wir haben 2x gleich hier auf der linken Seite der Gleichung. 26 00:01:06,890 --> 00:01:10,430 Also das sind buchstäblich x plus x. 27 00:01:10,430 --> 00:01:12,850 und dann haben wir plus 3. 28 00:01:12,850 --> 00:01:14,480 Plus 3, also ich mach's so. 29 00:01:14,480 --> 00:01:18,480 So das ist das gleiche wie plus 1, plus 1, plus 1. 30 00:01:18,480 --> 00:01:19,910 Das ist das Gleiche wie 3. 31 00:01:19,910 --> 00:01:22,260 Ich hätte hier auch 3 Kreise zeichnen können. 32 00:01:22,260 --> 00:01:23,800 Machen wir das in der selben Farbe. 33 00:01:23,800 --> 00:01:25,040 Plus 3. 34 00:01:25,040 --> 00:01:28,670 Und dann ist das gleich 5 x. 35 00:01:28,670 --> 00:01:30,200 Wir machen das in Blau. 36 00:01:30,200 --> 00:01:32,450 Das ist gleich 5x. 37 00:01:32,450 --> 00:01:37,440 Also 1, 2, 3, 4, 5. 38 00:01:37,440 --> 00:01:38,240 Und ich möchte klarstellen: 39 00:01:38,240 --> 00:01:40,110 Ihr müsst das nicht wirklich so aufschreiben, wenn 40 00:01:40,110 --> 00:01:41,140 ihr ein Beispiel löst. 41 00:01:41,140 --> 00:01:43,440 Ihr müsst nur die algebraischen Schritte durchführen. 42 00:01:43,440 --> 00:01:46,010 Aber ich mache das um zu veranschaulichen 43 00:01:46,010 --> 00:01:47,860 was diese Gleichung aussagt. 44 00:01:47,860 --> 00:01:51,060 Die linke Seite ist diese zwei orangen x plus 3. 45 00:01:51,060 --> 00:01:53,540 Die rechte Seite ist 5x minus 2. 46 00:01:53,540 --> 00:01:56,930 Also minus 2 können wir schreiben als, - lasst mich das 47 00:01:56,930 --> 00:01:58,890 in einer anderen Farbe machen, ich mache es in pink. 48 00:01:58,890 --> 00:02:04,580 Also, minus 2, schreibe ich als minus 1 und minus 1. 49 00:02:04,580 --> 00:02:08,420 Jetzt wollen wir die x auf einer 50 00:02:08,420 --> 00:02:09,450 Seite der Gleichung isolieren. 51 00:02:09,450 --> 00:02:10,870 Also, wie könnten wir das machen? 52 00:02:10,870 --> 00:02:12,670 Es gibt zwei Möglichkeiten. 53 00:02:12,670 --> 00:02:15,250 Wir könnten diese beiden x 54 00:02:15,250 --> 00:02:16,450 auf beiden Seiten der Gleichung abziehen. 55 00:02:16,450 --> 00:02:17,720 Und das würde auch Sinn machen. 56 00:02:17,720 --> 00:02:20,220 Denn dann hättest du 5x minus 2x. 57 00:02:20,220 --> 00:02:22,690 Du hättest eine positive Zahl von x auf der rechten Seite. 58 00:02:22,690 --> 00:02:25,200 Oder du könntest auf beiden Seiten 5x abziehen. 59 00:02:25,200 --> 00:02:26,160 Und das ist das Schöne an Algebra. 60 00:02:26,160 --> 00:02:29,510 So lange du erlaubte Rechenoperationen durchführst, wirst du 61 00:02:29,510 --> 00:02:30,890 auf das richtige Ergebnis kommen. 62 00:02:30,890 --> 00:02:34,320 Also, fangen wir an und subtrahieren 2 x auf beiden 63 00:02:34,320 --> 00:02:35,690 Seiten der Gleichung. 64 00:02:35,690 --> 00:02:38,180 Was ich damit meine ist, wir entfernen 2x 65 00:02:38,180 --> 00:02:39,710 auf der linken Seite. 66 00:02:39,710 --> 00:02:41,980 Und wenn wir auf der linken Seite 2x entfernen, dann müssen wir auch 67 00:02:41,980 --> 00:02:45,240 auf der rechten Seite 2x entfernen. 68 00:02:45,240 --> 00:02:46,069 Einfach so. 69 00:02:46,069 --> 00:02:47,049 Was ergibt das nun. 70 00:02:47,049 --> 00:02:49,872 Wir subtrahieren 2 x. 71 00:02:49,872 --> 00:02:50,972 2x von Links. 72 00:02:50,972 --> 00:02:53,730 Und wir ziehen auch auf der rechten Seite 2x ab. 73 00:02:53,730 --> 00:02:57,290 Also, auf was wird die linke Seite vereinfacht? 74 00:02:57,290 --> 00:02:59,460 Wir haben 2x plus 3 minus 2x. 75 00:02:59,460 --> 00:03:01,340 Die 2x heben sich auf. 76 00:03:01,340 --> 00:03:04,490 Also bleiben nur, - es bleiben nur die 3. 77 00:03:04,490 --> 00:03:05,560 Und du siehst das hier. 78 00:03:05,560 --> 00:03:07,390 Wir haben 2 von diesen x weggenommen. 79 00:03:07,390 --> 00:03:10,840 Wir haben nur noch die plus 1, plus 1, plus 1. 80 00:03:10,842 --> 00:03:15,238 Und dann haben wir auf der rechten Seite 5x minus 2x. 81 00:03:15,238 --> 00:03:16,554 Das haben wir hier. 82 00:03:16,554 --> 00:03:17,900 Wir haben 5x minus 2x. 83 00:03:17,900 --> 00:03:21,590 Du hast nur noch 1, 2, 3 x übrig. 84 00:03:21,590 --> 00:03:23,860 3 ist gleich 3x. 85 00:03:23,860 --> 00:03:26,530 Und dann hast du die minus 2 dort. 86 00:03:26,530 --> 00:03:29,220 Du hast die minus 2. 87 00:03:29,220 --> 00:03:30,770 Also, normalerweise wenn du so ein Beispiel löst, müsstest du 88 00:03:30,770 --> 00:03:32,850 nur nur das schreiben, was wir hier auf der linken Seite schreiben. 89 00:03:32,850 --> 00:03:33,860 Also, was können wir als nächstes machen? 90 00:03:33,860 --> 00:03:35,880 Denkt daran, wir wollen die x isolieren. 91 00:03:35,880 --> 00:03:38,560 Gut, wir haben alle unsere x hier auf der rechten Seite. 92 00:03:38,560 --> 00:03:40,830 Wenn wir noch diese Minus 2 hier weg bekommen könnten, weg von der 93 00:03:40,830 --> 00:03:43,310 rechten Seite, dann wären die x hier alleine. 94 00:03:43,310 --> 00:03:44,560 Sie wären isoliert. 95 00:03:44,560 --> 00:03:46,570 Also wie können wir diese Minus 2 hier los werden, wenn wir 96 00:03:46,570 --> 00:03:47,510 uns das hier vorstellen. 97 00:03:47,510 --> 00:03:49,930 Diese Minus 1 und diese Minus 1. 98 00:03:49,930 --> 00:03:53,295 Gut, wir könnten 2 auf beiden Seiten der Gleichung addieren. 99 00:03:53,295 --> 00:03:55,015 Aufpassen, was hier passiert. 100 00:03:55,015 --> 00:03:57,838 Wenn wir also 2 addieren 101 00:03:57,838 --> 00:03:59,169 Plus 1, plus 1. 102 00:03:59,169 --> 00:03:59,770 Also könnte man buchstäblich sehen. 103 00:03:59,770 --> 00:04:00,990 Wir addieren 2. 104 00:04:00,990 --> 00:04:02,990 Und dann geben wir 2 auf der linken Seite dazu. 105 00:04:02,990 --> 00:04:05,320 1 plus, 1 plus. 106 00:04:05,320 --> 00:04:06,590 Was passiert? 107 00:04:06,590 --> 00:04:07,790 Lasst mich das auch hier machen. 108 00:04:07,790 --> 00:04:09,070 Also wir addieren 2. 109 00:04:09,070 --> 00:04:11,770 Wir geben 2 dazu. 110 00:04:11,770 --> 00:04:13,380 Also, was passiert auf der linken Seite? 111 00:04:13,380 --> 00:04:17,672 3 plus 2 ist das gleiche wie 5. 112 00:04:17,672 --> 00:04:22,284 Und das ist das gleiche wie 3x minus 2 plus 2. 113 00:04:22,284 --> 00:04:23,463 Das hebt sich auf. 114 00:04:23,463 --> 00:04:26,550 Und wir haben nur noch 3x. 115 00:04:26,550 --> 00:04:27,880 Und wir sehen das hier. 116 00:04:27,880 --> 00:04:31,390 Wir haben auf der linken Seite 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1. 117 00:04:31,390 --> 00:04:33,120 Wir haben 5 Einsen, oder 5. 118 00:04:33,120 --> 00:04:36,020 Und auf der rechten Seite haben wir 3x, 119 00:04:36,020 --> 00:04:37,040 gleich hier. 120 00:04:37,040 --> 00:04:38,730 Und dann haben wir die Minus 1, Minus 1. 121 00:04:38,730 --> 00:04:41,840 Plus 1, plus 1, die heben sich auf. 122 00:04:41,840 --> 00:04:43,140 Wir kommen auf Null. 123 00:04:43,140 --> 00:04:44,060 Sie heben sich auf. 124 00:04:44,060 --> 00:04:47,500 Also bleibt uns nur noch 5 ist gleich 3x. 125 00:04:47,500 --> 00:04:50,670 Also wir haben 1, 2, 3, 4, 5 ist gleich 3x. 126 00:04:50,670 --> 00:04:53,550 Lasst mich alles weglöschen, was wir weggebracht haben, damit das 127 00:04:53,550 --> 00:04:55,971 ein bisschen sauberer aussieht. 128 00:05:00,125 --> 00:05:02,345 Das haben wir alles weggebracht. 129 00:05:02,740 --> 00:05:04,240 Ich lösche das weg. 130 00:05:04,240 --> 00:05:07,680 Und dann lösche ich das weg. 131 00:05:07,680 --> 00:05:08,640 Bearbeiten. 132 00:05:08,640 --> 00:05:09,300 Löschen. 133 00:05:09,300 --> 00:05:12,810 So, jetzt bleiben nur noch 1, 2, 3, 4, 5. 134 00:05:12,810 --> 00:05:14,230 Eigentlich möchte ich das hierhin verschieben. 135 00:05:19,018 --> 00:05:22,542 Also, ich könnte das einfach hier hin verschieben. 136 00:05:22,620 --> 00:05:26,080 Wir haben jetzt 1, 2, 3, 4, 5. 137 00:05:26,080 --> 00:05:28,610 Das sind die Zwei, die wir hier addiert haben ist gleich 3x. 138 00:05:28,610 --> 00:05:29,750 Die hier haben sich aufgehoben. 139 00:05:29,750 --> 00:05:31,360 Deshalb haben wir hier nichts. 140 00:05:31,360 --> 00:05:34,310 Jetzt, um das zu lösen, dividieren wir beide Seiten 141 00:05:34,310 --> 00:05:35,950 der Gleichung durch 3. 142 00:05:35,950 --> 00:05:37,170 Und das lässt sich ein bisschen schwer 143 00:05:37,170 --> 00:05:39,210 veranschaulichen. 144 00:05:39,210 --> 00:05:43,050 Aber, wenn wir wenn wir hier beide Seiten durch 3 dividieren, was bekommen wir? 145 00:05:43,050 --> 00:05:44,480 Wir dividieren die linke Seite durch 3. 146 00:05:44,480 --> 00:05:45,810 Wir dividieren die rechte Seite durch 3. 147 00:05:45,810 --> 00:05:48,560 Der Grund warum wir durch 3 dividieren ist, weil die x 148 00:05:48,560 --> 00:05:51,460 mit 3 multipliziert wurden. 149 00:05:51,460 --> 00:05:53,650 3 ist der Koeffizient von x. 150 00:05:53,650 --> 00:05:55,630 Cooles Wort, es bezeichnet aber nur die Zahl 151 00:05:55,630 --> 00:05:57,360 mit der die Variable multipliziert wird. 152 00:05:57,360 --> 00:06:00,110 Die Zahl, die wir als Lösung suchen, die Variable für die wir eine Lösung suchen. 153 00:06:00,110 --> 00:06:02,140 Also, diese 3 heben sich auf. 154 00:06:02,140 --> 00:06:05,520 Die rechte Seite der Gleichung ist einfach nur x. 155 00:06:05,520 --> 00:06:08,260 Die linke Seite der Gleichung ist 5/3. 156 00:06:08,260 --> 00:06:10,780 Also 5/3, wir könnten sagen x ist gleich 5/3. 157 00:06:10,780 --> 00:06:13,030 Und das ist anders als alles was wir bis jetzt hatten. 158 00:06:13,030 --> 00:06:15,790 Ich habe jetzt das x auf der rechten Seite, den Wert 159 00:06:15,790 --> 00:06:16,710 auf der linken Seite. 160 00:06:16,710 --> 00:06:17,720 Das ist überhaupt kein Problem. 161 00:06:17,720 --> 00:06:21,800 Das ist genau das Gleiche; 5/3 ist gleich x ist 162 00:06:21,800 --> 00:06:24,680 genau das Gleiche wie x ist gleich 5/3. 163 00:06:24,680 --> 00:06:26,280 Genau das Gleiche. 164 00:06:26,280 --> 00:06:27,080 Genau das Gleiche. 165 00:06:27,080 --> 00:06:29,140 Diese Schreibweise ist üblicher, aber das 166 00:06:29,140 --> 00:06:31,510 ist genau das Gleiche. 167 00:06:31,510 --> 00:06:35,090 Jetzt, wenn wir das als gemischte Zahl schreiben wollen, wenn wir 168 00:06:35,090 --> 00:06:37,760 das als gemischte Zahl schreiben wollen, 3 geht in 5 ein 169 00:06:37,760 --> 00:06:39,480 Mal, 2 Rest. 170 00:06:39,480 --> 00:06:42,610 Also ist das 1 2/3. 171 00:06:42,610 --> 00:06:44,680 Also ist das 1 2/3. 172 00:06:44,680 --> 00:06:49,410 Also, wir können schreiben x ist gleich 1 2/3. 173 00:06:49,410 --> 00:06:51,580 Und ich überlasse es euch, wieder rück-einzusetzten 174 00:06:51,580 --> 00:06:52,990 in die ursprüngliche Gleichung. 175 00:06:52,990 --> 00:06:54,650 Um zu sehen das es stimmt. 176 00:06:54,650 --> 00:06:57,260 Nun, um das hier zu veranschaulichen, wie haben wir 1 177 00:06:57,260 --> 00:06:58,390 2/3 bekommen, überlegen wir kurz. 178 00:06:58,390 --> 00:07:00,790 Statt 1, mache ich hier Kreise, 179 00:07:00,790 --> 00:07:03,510 Ich mache Kreise. 180 00:07:03,510 --> 00:07:05,950 Eigentlich noch besser, ich mache Quadrate. 181 00:07:05,950 --> 00:07:08,460 Also ich habe 5 Quadrate auf der linken Seite. 182 00:07:08,460 --> 00:07:11,570 Ich mache es mit der gleichen gelben Farbe hier. 183 00:07:11,570 --> 00:07:19,560 Also, ich habe 1, 2, 3, 4, 5. 184 00:07:19,560 --> 00:07:23,172 Und das ist das gleiche wie 3x. 185 00:07:23,172 --> 00:07:25,570 x plus x plus x. 186 00:07:25,570 --> 00:07:29,350 Jetzt dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 3. 187 00:07:29,350 --> 00:07:32,150 Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch 3. 188 00:07:32,150 --> 00:07:33,380 Eigentlich ist das das, was wir hier gemacht haben, 189 00:07:33,380 --> 00:07:34,850 wir haben beide Seiten durch 3 dividiert. 190 00:07:34,850 --> 00:07:36,870 Also auf der rechten Seite geht das ganz 191 00:07:36,870 --> 00:07:37,480 einfach. 192 00:07:37,480 --> 00:07:40,760 Du willst diese 3 x in 3 Guppen teilen. 193 00:07:40,760 --> 00:07:43,040 Das sind 1, 2, 3 Gruppen. 194 00:07:43,040 --> 00:07:43,700 1, 2, 3 195 00:07:43,700 --> 00:07:45,700 Jetzt, wie kann ich 5 durch drei teilen? in gleiche Teile 196 00:07:45,707 --> 00:07:48,157 Und das müssen gleiche Gruppen sein. 197 00:07:48,167 --> 00:07:49,929 Und die Antwort gibt uns das vor. 198 00:07:49,929 --> 00:07:51,582 Jede Gruppe wird 1 2/3 haben. 199 00:07:51,582 --> 00:07:53,430 Also, 1 2/3. 200 00:07:53,430 --> 00:07:55,960 Also, es sind 2/3 von dem nächsten hier. 201 00:07:55,960 --> 00:07:58,530 Und dann haben wir 1 2/3. 202 00:07:58,530 --> 00:07:59,740 Also, das ist 1/3. 203 00:07:59,740 --> 00:08:01,480 Wir brauchen also noch eines. 204 00:08:01,480 --> 00:08:04,270 und noch ein ganzes, also das ist 1 1/3 205 00:08:04,270 --> 00:08:05,770 Wir brauchen also noch einmal 1/3, das wird genau 206 00:08:05,770 --> 00:08:07,870 hier sein. 207 00:08:07,870 --> 00:08:10,390 und dann bleiben noch 2/3 und 1 Ganzes übrig. 208 00:08:10,390 --> 00:08:12,450 Also haben wir das in 3 Gruppen geteilt. 209 00:08:12,450 --> 00:08:13,250 Hier. 210 00:08:13,250 --> 00:08:14,400 Lasst mich das klar darstellen. 211 00:08:14,400 --> 00:08:18,840 Das hier ist 1 und 2/3. 212 00:08:18,840 --> 00:08:20,650 1 2/3. 213 00:08:20,650 --> 00:08:23,420 Und dann das hier ist 1/3. 214 00:08:23,420 --> 00:08:26,140 Das ist noch einmal 1/3, das sind also zusammen 2/3, und dann 215 00:08:26,140 --> 00:08:27,010 das hier ist 1. 216 00:08:27,010 --> 00:08:28,970 Also das ist 1 2/3. 217 00:08:28,970 --> 00:08:32,480 Und schlussendlich das ist 2/3 und das ist 218 00:08:32,480 --> 00:08:34,890 1, also das ist 1 2/3. 219 00:08:34,890 --> 00:08:40,030 Also, wenn du beide Seiten durch 3 dividierst bekommst du 1 2/3. 220 00:08:40,030 --> 00:08:44,430 Jeder Abschnitt, jede Gruppe ist 1 2/3 auf der linken Seite. 221 00:08:44,430 --> 00:08:46,080 Auf der linken Seite, oder 5/3. 222 00:08:46,080 --> 00:08:48,120 Und auf der rechten Seite haben wir nur ein x. 223 00:08:48,120 --> 00:08:49,070 Also, es funktioniert. 224 00:08:49,070 --> 00:08:52,270 Ein bisschen schwieriger das mit Brüchen zu veranschaulichen.