< Return to Video

Na ile sposobów można udowodnić twierdzenie Pitagorasa? - Betty Fei

  • 0:09 - 0:11
    Co mają wspólnego Euklides,
  • 0:11 - 0:13
    dwudziestoletni Einstein
  • 0:13 - 0:16
    i amerykański prezydent James Garfield?
  • 0:16 - 0:21
    Wszyscy wymyślili eleganckie dowody
    na słynne twierdzenie Pitagorasa,
  • 0:21 - 0:23
    które mówi, że w trójkącie prostokątnym
  • 0:23 - 0:27
    suma kwadratów długości
    jednego i drugiego boku
  • 0:27 - 0:30
    równa się kwadratowi długości przekątnej.
  • 0:30 - 0:35
    Innymi słowy: a² + b² = c².
  • 0:35 - 0:38
    To jedna z fundamentalnych zasad geometrii
  • 0:38 - 0:41
    o praktycznym zastosowaniu,
  • 0:41 - 0:46
    jak budowanie stabilnych budynków
    czy określanie współrzędnych GPS.
  • 0:46 - 0:49
    Twierdzenie nosi imię Pitagorasa,
  • 0:49 - 0:53
    greckiego filozofa i matematyka
    żyjącego w VI wieku p.n.e.,
  • 0:53 - 0:56
    ale było znane tysiące lat wcześniej.
  • 0:56 - 1:02
    Babilońska tablica z około 1800 r. p.n.e.
    przedstawia piętnaście liczb,
  • 1:02 - 1:04
    które spełniają to twierdzenie.
  • 1:04 - 1:08
    Według niektórych historyków
    mierniczy ze starożytnego Egiptu
  • 1:08 - 1:14
    używali liczb 3, 4 i 5
    do tworzenia kątów prostych.
  • 1:14 - 1:18
    Mieli oni rozciągać linę,
    podzieloną na 12 równych części,
  • 1:18 - 1:23
    żeby stworzyć trójkąt
    o bokach długości 3, 4 i 5.
  • 1:23 - 1:26
    Zgodnie z odwrotnością
    twierdzenia Pitagorasa
  • 1:26 - 1:28
    tak można zbudować trójkąt prostokątny,
  • 1:28 - 1:31
    a więc i kąt prosty.
  • 1:31 - 1:33
    Według najwcześniejszych
    hinduskich tekstów matematycznych,
  • 1:33 - 1:37
    powstałych między 800 a 600 r. p.n.e.,
  • 1:37 - 1:41
    lina rozciągnięta
    wzdłuż przekątnej kwadratu
  • 1:41 - 1:45
    tworzy kolejny kwadrat
    dwa razy większy od pierwszego.
  • 1:45 - 1:50
    Ten związek można uzyskać
    z twierdzenia Pitagorasa.
  • 1:50 - 1:52
    Ale skąd wiadomo,
    że twierdzenie jest prawdziwe
  • 1:52 - 1:55
    dla każdego płaskiego
    trójkąta prostokątnego
  • 1:55 - 1:59
    a nie tylko dla tych,
    które znali mierniczy?
  • 1:59 - 2:00
    Bo możemy to udowodnić.
  • 2:00 - 2:03
    Dowody wykorzystują istniejące
    matematyczne zasady i logikę,
  • 2:03 - 2:07
    żeby pokazać, że twierdzenie
    musi być zawsze prawdziwe.
  • 2:07 - 2:11
    Jeden z klasycznych dowodów,
    często przypisywany samemu Pitagorasowi,
  • 2:11 - 2:14
    używa strategii nazywanej przegrupowaniem.
  • 2:14 - 2:20
    Weźmy cztery identyczne trójkąty
    prostokątne o długościach boków: a i b
  • 2:20 - 2:22
    oraz przekątnej równej c.
  • 2:22 - 2:26
    Ułóżmy je tak, żeby przekątne
    utworzyły przechylony kwadrat.
  • 2:26 - 2:30
    Powierzchnia tego kwadratu to c².
  • 2:30 - 2:33
    Teraz ułóżmy trójkąty w dwa prostokąty,
  • 2:33 - 2:36
    zostawiając mniejsze kwadraty po bokach.
  • 2:36 - 2:41
    Powierzchnie tych kwadratów
    są równe a² and b².
  • 2:41 - 2:42
    Oto klucz.
  • 2:42 - 2:45
    Całkowita powierzchnia figury
    pozostała bez zmian,
  • 2:45 - 2:48
    tak jak pola trójkątów.
  • 2:48 - 2:51
    Więc pusta powierzchnia pierwszej c²
  • 2:51 - 2:54
    musi być równa pustej
    powierzchni w drugim kwadracie,
  • 2:54 - 2:58
    a² + b².
  • 2:58 - 3:02
    Kolejny dowód pochodzi od innego
    greckiego matematyka Euklidesa.
  • 3:02 - 3:05
    Natrafił na niego prawie 2000 lat później
  • 3:05 - 3:07
    dwudziestoletni Einstein.
  • 3:07 - 3:11
    Ten dowód dzieli jeden
    trójkąt prostokątny na dwa inne
  • 3:11 - 3:13
    i opiera się na zasadzie,
  • 3:13 - 3:16
    że jeśli odpowiadające sobie kąty
    dwóch trójkątów są takie same,
  • 3:16 - 3:19
    to taki sam jest też stosunek
    długości ich boków.
  • 3:19 - 3:21
    Więc dla tych trzech podobnych trójkątów
  • 3:21 - 3:25
    możemy zapisać stosunek między bokami.
  • 3:33 - 3:36
    Teraz przestawmy wyrażenia.
  • 3:39 - 3:44
    Na koniec dodajmy dwa równania
    i uprośćmy je, żeby uzyskać
  • 3:44 - 3:52
    ab² + ac² = bc²
  • 3:52 - 3:58
    albo a² + b² = c².
  • 3:58 - 4:00
    A teraz użyjmy teselacji,
  • 4:00 - 4:04
    powtarzalnego geometrycznego wzoru,
    który jest bardziej wizualnym dowodem.
  • 4:04 - 4:06
    Rozumiecie, jak to działa?
  • 4:06 - 4:08
    Zatrzymajcie wideo,
    jeśli potrzebujecie czasu do namysłu.
  • 4:10 - 4:12
    Oto odpowiedź.
  • 4:12 - 4:14
    Ciemnoszary kwadrat to a²,
  • 4:14 - 4:17
    a jasnoszary - b².
  • 4:17 - 4:19
    Ten zakreślony na niebiesko to c².
  • 4:19 - 4:24
    Każdy zakreślony na niebiesko kwadrat
    zawiera fragmenty dokładnie jednego
  • 4:24 - 4:26
    ciemno- i jasnoszarego kwadratu,
  • 4:26 - 4:29
    co potwierdza twierdzenie Pitagorasa.
  • 4:29 - 4:31
    Jeśli naprawdę chcecie się przekonać,
  • 4:31 - 4:35
    zbudujcie talerz obrotowy z trzema
    sześcianami tej samej głębokości
  • 4:35 - 4:37
    połączonymi trójkątem prostokątnym.
  • 4:37 - 4:41
    Po napełnieniu największego
    sześcianu wodą i zakręceniu talerzem
  • 4:41 - 4:46
    woda z dużego sześcianu
    idealnie zapełni dwa mniejsze.
  • 4:46 - 4:51
    Na twierdzenie Pitagorasa jest ponad
    350 dowodów i ciągle dochodzą kolejne,
  • 4:51 - 4:53
    od genialnych po najprostsze.
  • 4:53 - 4:55
    Czy dodacie nowy dowód?
Title:
Na ile sposobów można udowodnić twierdzenie Pitagorasa? - Betty Fei
Description:

Sprawdź naszą stronę Patreon: https://www.patreon.com/teded

Pełna lekcja: https://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-are-there-to-prove-the-pythagorean-theorem-betty-fei

Co mają wspólnego Euklides, dwudziestoletni Einstein i amerykański prezydent James Garfield? Wszyscy wymyślili eleganckie dowody na słynne twierdzenie Pitagorasa, jedno z fundamentalnych zasad w geometrii,
używane w praktyce do budowania stabilnych budynków czy triangulacji współrzędnych GPS. Betty Fei opisuje trzy najsłynniejsze dowody.

Lekcja: Betty Fei, animacja: Nick Hilditch.

Specjalne podziękowania dla patronów, bez Was to wideo nie byłoby możliwe!
Steph, Jack Ta, Jose Fernandez-Calvo, PnDAA, Marcel Trompeter-Petrovic, Radoslava Vasileva, Sandra Tersluisen, Fabian Amels, Sammie Goh, Mattia Veltri, Quentin Le Menez, Sarabeth Knobel, Yuh Saito, Joris Debonnet, Martin Lõhmus, Patrick leaming, Heather Slater, Muhamad Saiful Hakimi bin Daud, Dr Luca Carpinelli, Janie Jackson, Jeff Hanevich, Christophe Dessalles, Arturo De Leon, Delene McCoy, Eduardo Briceño, Bill Feaver, Ricardo Paredes, Joshua Downing, Jonathan Reshef, David Douglass, Grant Albert, Paul Coupe.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
05:17

Polish subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.