Co mają wspólnego Euklides,
dwudziestoletni Einstein
i amerykański prezydent James Garfield?
Wszyscy wymyślili eleganckie dowody na słynne twierdzenie Pitagorasa,
które mówi, że w trójkącie prostokątnym
suma kwadratów długości jednego i drugiego boku
równa się kwadratowi długości przekątnej.
Innymi słowy: a² + b² = c².
To jedna z fundamentalnych zasad geometrii
o praktycznym zastosowaniu,
jak budowanie stabilnych budynków czy określanie współrzędnych GPS.
Twierdzenie nosi imię Pitagorasa,
greckiego filozofa i matematyka żyjącego w VI wieku p.n.e.,
ale było znane tysiące lat wcześniej.
Babilońska tablica z około 1800 r. p.n.e. przedstawia piętnaście liczb,
które spełniają to twierdzenie.
Według niektórych historyków mierniczy ze starożytnego Egiptu
używali liczb 3, 4 i 5 do tworzenia kątów prostych.
Mieli oni rozciągać linę, podzieloną na 12 równych części,
żeby stworzyć trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5.
Zgodnie z odwrotnością twierdzenia Pitagorasa
tak można zbudować trójkąt prostokątny,
a więc i kąt prosty.
Według najwcześniejszych hinduskich tekstów matematycznych,
powstałych między 800 a 600 r. p.n.e.,
lina rozciągnięta wzdłuż przekątnej kwadratu
tworzy kolejny kwadrat dwa razy większy od pierwszego.
Ten związek można uzyskać z twierdzenia Pitagorasa.
Ale skąd wiadomo, że twierdzenie jest prawdziwe
dla każdego płaskiego trójkąta prostokątnego
a nie tylko dla tych, które znali mierniczy?
Bo możemy to udowodnić.
Dowody wykorzystują istniejące matematyczne zasady i logikę,
żeby pokazać, że twierdzenie musi być zawsze prawdziwe.
Jeden z klasycznych dowodów, często przypisywany samemu Pitagorasowi,
używa strategii nazywanej przegrupowaniem.
Weźmy cztery identyczne trójkąty prostokątne o długościach boków: a i b
oraz przekątnej równej c.
Ułóżmy je tak, żeby przekątne utworzyły przechylony kwadrat.
Powierzchnia tego kwadratu to c².
Teraz ułóżmy trójkąty w dwa prostokąty,
zostawiając mniejsze kwadraty po bokach.
Powierzchnie tych kwadratów są równe a² and b².
Oto klucz.
Całkowita powierzchnia figury pozostała bez zmian,
tak jak pola trójkątów.
Więc pusta powierzchnia pierwszej c²
musi być równa pustej powierzchni w drugim kwadracie,
a² + b².
Kolejny dowód pochodzi od innego greckiego matematyka Euklidesa.
Natrafił na niego prawie 2000 lat później
dwudziestoletni Einstein.
Ten dowód dzieli jeden trójkąt prostokątny na dwa inne
i opiera się na zasadzie,
że jeśli odpowiadające sobie kąty dwóch trójkątów są takie same,
to taki sam jest też stosunek długości ich boków.
Więc dla tych trzech podobnych trójkątów
możemy zapisać stosunek między bokami.
Teraz przestawmy wyrażenia.
Na koniec dodajmy dwa równania i uprośćmy je, żeby uzyskać
ab² + ac² = bc²
albo a² + b² = c².
A teraz użyjmy teselacji,
powtarzalnego geometrycznego wzoru, który jest bardziej wizualnym dowodem.
Rozumiecie, jak to działa?
Zatrzymajcie wideo, jeśli potrzebujecie czasu do namysłu.
Oto odpowiedź.
Ciemnoszary kwadrat to a²,
a jasnoszary - b².
Ten zakreślony na niebiesko to c².
Każdy zakreślony na niebiesko kwadrat zawiera fragmenty dokładnie jednego
ciemno- i jasnoszarego kwadratu,
co potwierdza twierdzenie Pitagorasa.
Jeśli naprawdę chcecie się przekonać,
zbudujcie talerz obrotowy z trzema sześcianami tej samej głębokości
połączonymi trójkątem prostokątnym.
Po napełnieniu największego sześcianu wodą i zakręceniu talerzem
woda z dużego sześcianu idealnie zapełni dwa mniejsze.
Na twierdzenie Pitagorasa jest ponad 350 dowodów i ciągle dochodzą kolejne,
od genialnych po najprostsze.
Czy dodacie nowy dowód?