0:00:09.103,0:00:11.146
Co mają wspólnego Euklides,

0:00:11.146,0:00:12.746
dwudziestoletni Einstein

0:00:12.746,0:00:16.397
i amerykański prezydent James Garfield?

0:00:16.397,0:00:20.956
Wszyscy wymyślili eleganckie dowody[br]na słynne twierdzenie Pitagorasa,

0:00:20.956,0:00:23.206
które mówi, że w trójkącie prostokątnym

0:00:23.206,0:00:27.086
suma kwadratów długości[br]jednego i drugiego boku

0:00:27.086,0:00:30.086
równa się kwadratowi długości przekątnej.

0:00:30.086,0:00:34.717
Innymi słowy: a² + b² = c².

0:00:34.717,0:00:38.297
To jedna z fundamentalnych zasad geometrii

0:00:38.297,0:00:40.536
o praktycznym zastosowaniu,

0:00:40.536,0:00:45.697
jak budowanie stabilnych budynków[br]czy określanie współrzędnych GPS.

0:00:45.697,0:00:48.683
Twierdzenie nosi imię Pitagorasa,

0:00:48.683,0:00:52.758
greckiego filozofa i matematyka[br]żyjącego w VI wieku p.n.e.,

0:00:52.758,0:00:56.157
ale było znane tysiące lat wcześniej.

0:00:56.157,0:01:02.186
Babilońska tablica z około 1800 r. p.n.e.[br]przedstawia piętnaście liczb,

0:01:02.186,0:01:04.037
które spełniają to twierdzenie.

0:01:04.037,0:01:07.558
Według niektórych historyków[br]mierniczy ze starożytnego Egiptu

0:01:07.558,0:01:13.698
używali liczb 3, 4 i 5[br]do tworzenia kątów prostych.

0:01:13.698,0:01:18.180
Mieli oni rozciągać linę,[br]podzieloną na 12 równych części,

0:01:18.180,0:01:23.229
żeby stworzyć trójkąt[br]o bokach długości 3, 4 i 5.

0:01:23.229,0:01:25.939
Zgodnie z odwrotnością[br]twierdzenia Pitagorasa

0:01:25.939,0:01:28.480
tak można zbudować trójkąt prostokątny,

0:01:28.480,0:01:30.639
a więc i kąt prosty.

0:01:30.639,0:01:33.420
Według najwcześniejszych[br]hinduskich tekstów matematycznych,

0:01:33.420,0:01:36.770
powstałych między 800 a 600 r. p.n.e.,

0:01:36.770,0:01:40.847
lina rozciągnięta[br]wzdłuż przekątnej kwadratu

0:01:40.847,0:01:44.728
tworzy kolejny kwadrat [br]dwa razy większy od pierwszego.

0:01:44.728,0:01:49.700
Ten związek można uzyskać[br]z twierdzenia Pitagorasa.

0:01:49.700,0:01:52.241
Ale skąd wiadomo,[br]że twierdzenie jest prawdziwe

0:01:52.241,0:01:54.851
dla każdego płaskiego[br]trójkąta prostokątnego

0:01:54.851,0:01:58.611
a nie tylko dla tych,[br]które znali mierniczy?

0:01:58.611,0:01:59.951
Bo możemy to udowodnić.

0:01:59.951,0:02:02.896
Dowody wykorzystują istniejące[br]matematyczne zasady i logikę,

0:02:02.896,0:02:07.419
żeby pokazać, że twierdzenie[br]musi być zawsze prawdziwe.

0:02:07.419,0:02:11.137
Jeden z klasycznych dowodów,[br]często przypisywany samemu Pitagorasowi,

0:02:11.137,0:02:14.011
używa strategii nazywanej przegrupowaniem.

0:02:14.011,0:02:19.650
Weźmy cztery identyczne trójkąty [br]prostokątne o długościach boków: a i b

0:02:19.650,0:02:22.132
oraz przekątnej równej c.

0:02:22.132,0:02:26.174
Ułóżmy je tak, żeby przekątne[br]utworzyły przechylony kwadrat.

0:02:26.174,0:02:29.769
Powierzchnia tego kwadratu to c².

0:02:29.769,0:02:33.192
Teraz ułóżmy trójkąty w dwa prostokąty,

0:02:33.192,0:02:35.992
zostawiając mniejsze kwadraty po bokach.

0:02:35.992,0:02:40.512
Powierzchnie tych kwadratów[br]są równe a² and b².

0:02:40.512,0:02:41.681
Oto klucz.

0:02:41.681,0:02:44.893
Całkowita powierzchnia figury[br]pozostała bez zmian,

0:02:44.893,0:02:48.261
tak jak pola trójkątów.

0:02:48.261,0:02:51.379
Więc pusta powierzchnia pierwszej c²

0:02:51.379,0:02:54.437
musi być równa pustej[br]powierzchni w drugim kwadracie,

0:02:54.437,0:02:58.329
a² + b².

0:02:58.329,0:03:01.923
Kolejny dowód pochodzi od innego[br]greckiego matematyka Euklidesa.

0:03:01.923,0:03:05.153
Natrafił na niego prawie 2000 lat później

0:03:05.153,0:03:07.344
dwudziestoletni Einstein.

0:03:07.344,0:03:10.838
Ten dowód dzieli jeden[br]trójkąt prostokątny na dwa inne

0:03:10.838,0:03:12.633
i opiera się na zasadzie,

0:03:12.633,0:03:16.334
że jeśli odpowiadające sobie kąty [br]dwóch trójkątów są takie same,

0:03:16.334,0:03:19.063
to taki sam jest też stosunek[br]długości ich boków.

0:03:19.063,0:03:21.157
Więc dla tych trzech podobnych trójkątów

0:03:21.157,0:03:25.074
możemy zapisać stosunek między bokami.

0:03:33.474,0:03:35.633
Teraz przestawmy wyrażenia.

0:03:39.333,0:03:43.814
Na koniec dodajmy dwa równania[br]i uprośćmy je, żeby uzyskać

0:03:43.814,0:03:51.644
ab² + ac² = bc²

0:03:51.644,0:03:57.744
albo a² + b² = c².

0:03:57.744,0:04:00.005
A teraz użyjmy teselacji,

0:04:00.005,0:04:03.856
powtarzalnego geometrycznego wzoru,[br]który jest bardziej wizualnym dowodem.

0:04:03.856,0:04:05.515
Rozumiecie, jak to działa?

0:04:05.515,0:04:08.218
Zatrzymajcie wideo,[br]jeśli potrzebujecie czasu do namysłu.

0:04:10.158,0:04:11.505
Oto odpowiedź.

0:04:11.505,0:04:13.975
Ciemnoszary kwadrat to a²,

0:04:13.975,0:04:16.576
a jasnoszary - b².

0:04:16.576,0:04:19.495
Ten zakreślony na niebiesko to c².

0:04:19.495,0:04:23.756
Każdy zakreślony na niebiesko kwadrat[br]zawiera fragmenty dokładnie jednego

0:04:23.756,0:04:25.896
ciemno- i jasnoszarego kwadratu,

0:04:25.896,0:04:28.548
co potwierdza twierdzenie Pitagorasa.

0:04:28.548,0:04:30.877
Jeśli naprawdę chcecie się przekonać,

0:04:30.877,0:04:34.542
zbudujcie talerz obrotowy z trzema [br]sześcianami tej samej głębokości

0:04:34.542,0:04:37.217
połączonymi trójkątem prostokątnym.

0:04:37.217,0:04:40.837
Po napełnieniu największego[br]sześcianu wodą i zakręceniu talerzem

0:04:40.837,0:04:45.536
woda z dużego sześcianu[br]idealnie zapełni dwa mniejsze.

0:04:45.536,0:04:50.984
Na twierdzenie Pitagorasa jest ponad[br]350 dowodów i ciągle dochodzą kolejne,

0:04:50.984,0:04:53.265
od genialnych po najprostsze.

0:04:53.265,0:04:55.229
Czy dodacie nowy dowód?