Inradius Perimeter and Area

삼각형 ABC는 p의 둘레를 가지고 있고 내접원의 반지름이 r입니다

그리고 p와 r에 근거하여 ABC의 넓이를 구해야 합니다

둘레는 삼각형의 세 변의 합이죠

즉 삼각형을 빙 두르게 된다면 얼마나 긴 길이를 얻게 될것인지의 개념입니다

그리고 내접원의 반지름이 뭔지 다시 되새겨봅시다

세 꼭지점의 각의 이등분선을 생각해봅시다

여기 보이는 이 각들에 대해서

이렇게 여기에 각의 이등분선이 있죠

여기 또 각의 이등분선이 있구요

이 각은 옆에 있는 각과 같은 크기이고

이 각 또한 옆에 있는 각과 같은 크기이고

이 각도 마찬가지겠죠

그리고 이 각의 이등분선들이 만나는 점을

여기 보이는 이 점을 내심이라고 합니다

그리고 모든 변에 대해 같은 거리만큼 떨어져있죠

변에서부터 떨어져있는 거리를 내접원의 반지름이라고 합니다

내접원의 반지름을 그려볼게요

꼭지점과 변의 사이 거리를 찾은 후에는

직각 표시를 해줍시다

즉 여기 보이는 이 거리가 바로 내접원의 반지름입니다

이 거리도 내접원의 반지름이고

이 거리 또한 내접원의 반지름입니다

그리고 내심에 중심을 두고 내접원 하나를 그려봅시다

반지름을 r로 두면 내접원은 대략 이런 모양이 될 겁니다

이 문제를 풀기 위해서 굳이 원을 그려야할 필요는 없습니다만

이런 모양의 원을 그릴 수 있습니다

우리는 이것을 내접원이라고 부르죠

자, 이제 어떻게 넓이를 구할지에 대해 생각해봅시다

특히 이 내접원의 반지름을 가지고서요

내접원의 반지름에 대한 재미있는 사실 하나는

여기 보이는 이 삼각형의 높이처럼 보인다는 거에요

삼각형 A, 그리고 내심을 뜻하는 기호 I를 써서 I로 중심을 표시합시다

여기 보이는 r이 바로 삼각형 AIC의 높이가 되는거죠

이 r은 삼각형 BIC의 높이가 되는거구요

우리가 표기하지 않았지만 이 r도 마찬가지로

여기보이는 이 r도 삼각형 AIB의 높이입니다

따라서 이 삼각형들의 높이 r과 밑변을 이용해서 각각 넓이를 구할 수 있겠죠

그리고 그 삼각형들의 넓이를 모두 더한다면

삼각형의 둘레와 내접원의 반지름에 근거하여 뭔가를 얻어낼 수 있을지도 모릅니다

자, 이렇게 해봅시다

ABC의 넓이 즉 전체 삼각형의 넓이는

-이것을 색칠해서 표시할게요

전체 삼각형의 넓이는 AIC의 넓이

여기 이 자주색으로 색칠하고 있는게 AIC의 넓이를 뜻합니다

AIC의 넓이 더하기 바로 여기 있는 BIC의 넓이

이미 파란색을 썼으니 다른 색으로 색칠해볼게요

오렌지색으로 해보겠습니다

더하기 BIC의 넓이 그러니까 바로 여기 있는 넓이를 뜻하구요

즉 BIC의 넓이를 더하고 그리고 마지막으로

이번엔 핑크색으로 표시해보겠습니다

더하기 AIB의 넓이, 바로 이게 AIB의 넓이를 뜻합니다

세 삼각형들의 넓이를 더하면

큰 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다

자, AIC의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이 될것입니다

2분의 1 곱하기 밑변 즉 AC를 말하는거죠

곱하기 높이 즉 바로 여기에 보이는 높이를 말합니다

즉 r을 곱하는거죠

이게 바로 AIC의 넓이입니다

그리고 BIC의 넓이는 2분의 1 곱하기 밑변 즉 BC

곱하기 높이 즉 r

그리고 여기 보이는 AIB의 넓이 또한

2분의 1 곱하기 밑변 즉 AB

AB 곱하기 높이, 즉 또다시 r을 곱하는거죠

그런 후에 우리는 r의 2분의 1(절반)을 앞으로 끌어낼 수 있죠

그러면 남는 것은 AC 더하기 BC 더하기 AB입니다

아마 이쯤되면 어떻게 진행될지 보이시겠죠

다른 핑크색 색깔을 사용해서, 더하기 AB

자, AC 더하기 BC 더하기 AB가 뭘까요

그것은 둘레 p가 될 것입니다 세 변들을 더한 값이죠

이게 바로 둘레 p고 이미 구한 것 같군요

ABC의 넓이는 2분의 1 곱하기 r 곱하기 둘레입니다

꽤 정리된 결과같군요

2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 삼각형의 둘레

아니면 이렇게 쓸 수도 있습니다: r 곱하기 s분의 p

아, 정정할게요 2분의 p

그리고 여기 보이는 둘레 나누기 2는

둘레의 절반(semi-perimeter)이라고 불립니다 주로 s로 표기하죠

따라서 넓이는 r 곱하기 s라고 표기하기도 합니다

둘레를 2로 나눈 것을 둘레의 절반(semi-perimeter)이라고 표기하는 것

저는 개인적으로 이 방법을 더 선호하는데요

왜냐하면 p가 둘레라는 것을 기억해낼 수 있기 때문입니다

이것은 꽤 유용하죠 왜냐면 당연하게도 내접원의 반지름과 둘레가 주어진다면

삼각형의 넓이를 구할 수 있고

삼각형의 넓이와 둘레가 주어지면

내접원의 반지름을 구할 수 있기 때문이죠

이 변수들 중 두 개만 주어져도 나머지 하나를 구할 수 있다는 겁니다

예를 들어 여기에 삼각형이 있습니다

직각 삼각형 중에 가장 대표적인 사례죠

변의 길이가 3, 4, 5인 삼각형이 있다고 하면

우리는 이게 직각삼각형이라는걸 알고 있습니다

피타고라스 정리에 의해 증명해낼 수 있죠

그리고 이 삼각형의 내접원의 반지름을 묻는다면

우리는 손쉽게 넓이를 구할 수 있죠

직각 삼각형이기때문에 3의 제곱 더하기 4의 제곱은 5의 제곱과 같구요

따라서 넓이는 3 곱하기 4 곱하기 2분의 1이 될겁니다

3 곱하기 4 곱하기 2분의 1은 6이죠

그리고 둘레는 3 더하기 4, 즉 7 그리고 여기에 5를 더하면 12입니다

그래서 넓이를 구했고 여기에 적어볼게요

넓이는 2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 둘레와 같습니다

즉 12가 2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 둘레구요

아, 정정하겠습니다 6이네요

넓이 6이 2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 12네요

여기에서 2분의 1 곱하기 12는 6이네요

6은 6r과 같고 각 변을 6으로 나누면 r은 1입니다

따라서 이 삼각형에 대한 내접원의 반지름을 그려보자면

여기에 각의 이등분선들을 그려볼게요

직각 삼각형은 내접원의 반지름 1을 가지고 있습니다

이 3-4-5 직각 삼각형은 내접원의 반지름 1을 가지고 있습니다

따라서 이 거리는 이 거리와 같고, 이 거리 또한 이 거리와 같습니다