1
00:00:00,000 --> 00:00:07,010
삼각형 ABC는 p의 둘레를 가지고 있고 내접원의 반지름이 r입니다

2
00:00:07,140 --> 00:00:11,640
그리고 p와 r에 근거하여 ABC의 넓이를 구해야 합니다

3
00:00:11,720 --> 00:00:15,080
둘레는 삼각형의 세 변의 합이죠

4
00:00:15,200 --> 00:00:18,270
즉 삼각형을 빙 두르게 된다면 얼마나 긴 길이를 얻게 될것인지의 개념입니다

5
00:00:18,430 --> 00:00:21,170
그리고 내접원의 반지름이 뭔지 다시 되새겨봅시다

6
00:00:21,290 --> 00:00:26,940
세 꼭지점의 각의 이등분선을 생각해봅시다

7
00:00:27,050 --> 00:00:28,700
여기 보이는 이 각들에 대해서

8
00:00:28,840 --> 00:00:31,140
이렇게 여기에 각의 이등분선이 있죠

9
00:00:31,250 --> 00:00:33,330
여기 또 각의 이등분선이 있구요

10
00:00:33,460 --> 00:00:35,840
이 각은 옆에 있는 각과 같은 크기이고

11
00:00:35,950 --> 00:00:38,590
이 각 또한 옆에 있는 각과 같은 크기이고

12
00:00:38,710 --> 00:00:42,310
이 각도 마찬가지겠죠

13
00:00:42,430 --> 00:00:47,030
그리고 이 각의 이등분선들이 만나는 점을

14
00:00:47,130 --> 00:00:50,050
여기 보이는 이 점을 내심이라고 합니다

15
00:00:50,150 --> 00:00:53,210
그리고 모든 변에 대해 같은 거리만큼 떨어져있죠

16
00:00:53,320 --> 00:00:57,280
변에서부터 떨어져있는 거리를 내접원의 반지름이라고 합니다

17
00:00:57,400 --> 00:00:59,460
내접원의 반지름을 그려볼게요

18
00:00:59,570 --> 00:01:01,250
꼭지점과 변의 사이 거리를 찾은 후에는

19
00:01:01,360 --> 00:01:02,530
직각 표시를 해줍시다

20
00:01:02,640 --> 00:01:05,170
즉 여기 보이는 이 거리가 바로 내접원의 반지름입니다

21
00:01:05,300 --> 00:01:08,440
이 거리도 내접원의 반지름이고

22
00:01:08,560 --> 00:01:11,920
이 거리 또한 내접원의 반지름입니다

23
00:01:12,050 --> 00:01:16,910
그리고 내심에 중심을 두고 내접원 하나를 그려봅시다

24
00:01:17,030 --> 00:01:20,690
반지름을 r로 두면 내접원은 대략 이런 모양이 될 겁니다

25
00:01:20,820 --> 00:01:23,180
이 문제를 풀기 위해서 굳이 원을 그려야할 필요는 없습니다만

26
00:01:23,320 --> 00:01:25,400
이런 모양의 원을 그릴 수 있습니다

27
00:01:25,520 --> 00:01:27,890
우리는 이것을 내접원이라고 부르죠

28
00:01:28,010 --> 00:01:30,400
자, 이제 어떻게 넓이를 구할지에 대해 생각해봅시다

29
00:01:30,520 --> 00:01:32,840
특히 이 내접원의 반지름을 가지고서요

30
00:01:32,970 --> 00:01:36,500
내접원의 반지름에 대한 재미있는 사실 하나는

31
00:01:36,650 --> 00:01:39,370
여기 보이는 이 삼각형의 높이처럼 보인다는 거에요

32
00:01:39,480 --> 00:01:44,570
삼각형 A, 그리고 내심을 뜻하는 기호 I를 써서 I로 중심을 표시합시다

33
00:01:44,780 --> 00:01:49,410
여기 보이는 r이 바로 삼각형 AIC의 높이가 되는거죠

34
00:01:49,520 --> 00:01:52,770
이 r은 삼각형 BIC의 높이가 되는거구요

35
00:01:52,890 --> 00:01:54,860
우리가 표기하지 않았지만 이 r도 마찬가지로

36
00:01:54,980 --> 00:01:59,240
여기보이는 이 r도 삼각형 AIB의 높이입니다

37
00:01:59,350 --> 00:02:04,670
따라서 이 삼각형들의 높이 r과 밑변을 이용해서 각각 넓이를 구할 수 있겠죠

38
00:02:04,780 --> 00:02:08,140
그리고 그 삼각형들의 넓이를 모두 더한다면

39
00:02:08,280 --> 00:02:11,310
삼각형의 둘레와 내접원의 반지름에 근거하여 뭔가를 얻어낼 수 있을지도 모릅니다

40
00:02:11,400 --> 00:02:12,990
자, 이렇게 해봅시다

41
00:02:13,120 --> 00:02:18,880
ABC의 넓이 즉 전체 삼각형의 넓이는

42
00:02:18,990 --> 00:02:19,920
-이것을 색칠해서 표시할게요

43
00:02:20,030 --> 00:02:24,160
전체 삼각형의 넓이는 AIC의 넓이

44
00:02:24,280 --> 00:02:32,960
여기 이 자주색으로 색칠하고 있는게 AIC의 넓이를 뜻합니다

45
00:02:33,070 --> 00:02:38,520
AIC의 넓이 더하기 바로 여기 있는 BIC의 넓이

46
00:02:38,640 --> 00:02:42,040
이미 파란색을 썼으니 다른 색으로 색칠해볼게요

47
00:02:42,160 --> 00:02:44,530
오렌지색으로 해보겠습니다

48
00:02:44,680 --> 00:02:51,700
더하기 BIC의 넓이 그러니까 바로 여기 있는 넓이를 뜻하구요

49
00:02:51,820 --> 00:02:57,410
즉 BIC의 넓이를 더하고 그리고 마지막으로

50
00:02:57,530 --> 00:03:02,510
이번엔 핑크색으로 표시해보겠습니다

51
00:03:02,640 --> 00:03:11,560
더하기 AIB의 넓이, 바로 이게 AIB의 넓이를 뜻합니다

52
00:03:11,690 --> 00:03:13,290
세 삼각형들의 넓이를 더하면

53
00:03:13,430 --> 00:03:15,540
큰 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다

54
00:03:15,670 --> 00:03:21,720
자, AIC의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이 될것입니다

55
00:03:21,840 --> 00:03:27,480
2분의 1 곱하기 밑변 즉 AC를 말하는거죠

56
00:03:27,600 --> 00:03:30,000
곱하기 높이 즉 바로 여기에 보이는 높이를 말합니다

57
00:03:30,110 --> 00:03:32,520
즉 r을 곱하는거죠

58
00:03:32,630 --> 00:03:34,380
이게 바로 AIC의 넓이입니다

59
00:03:34,530 --> 00:03:43,000
그리고 BIC의 넓이는 2분의 1 곱하기 밑변 즉 BC

60
00:03:43,110 --> 00:03:45,650
곱하기 높이 즉 r

61
00:03:45,770 --> 00:03:49,960
그리고 여기 보이는 AIB의 넓이 또한

62
00:03:50,060 --> 00:03:54,430
2분의 1 곱하기 밑변 즉 AB

63
00:03:54,560 --> 00:04:00,200
AB 곱하기 높이, 즉 또다시 r을 곱하는거죠

64
00:04:00,350 --> 00:04:03,900
그런 후에 우리는 r의 2분의 1(절반)을 앞으로 끌어낼 수 있죠

65
00:04:04,020 --> 00:04:16,410
그러면 남는 것은 AC 더하기 BC 더하기 AB입니다

66
00:04:16,500 --> 00:04:17,990
아마 이쯤되면 어떻게 진행될지 보이시겠죠

67
00:04:18,110 --> 00:04:24,720
다른 핑크색 색깔을 사용해서, 더하기 AB

68
00:04:24,840 --> 00:04:33,080
자, AC 더하기 BC 더하기 AB가 뭘까요

69
00:04:33,190 --> 00:04:39,250
그것은 둘레 p가 될 것입니다 세 변들을 더한 값이죠

70
00:04:39,360 --> 00:04:42,200
이게 바로 둘레 p고 이미 구한 것 같군요

71
00:04:42,320 --> 00:04:53,790
ABC의 넓이는 2분의 1 곱하기 r 곱하기 둘레입니다

72
00:04:53,900 --> 00:04:54,770
꽤 정리된 결과같군요

73
00:04:54,880 --> 00:04:59,950
2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 삼각형의 둘레

74
00:05:00,060 --> 00:05:04,530
아니면 이렇게 쓸 수도 있습니다: r 곱하기 s분의 p

75
00:05:04,640 --> 00:05:07,750
아, 정정할게요 2분의 p

76
00:05:07,850 --> 00:05:10,250
그리고 여기 보이는 둘레 나누기 2는

77
00:05:10,370 --> 00:05:19,370
둘레의 절반(semi-perimeter)이라고 불립니다 주로 s로 표기하죠

78
00:05:19,490 --> 00:05:22,740
따라서 넓이는 r 곱하기 s라고 표기하기도 합니다

79
00:05:22,850 --> 00:05:27,270
둘레를 2로 나눈 것을 둘레의 절반(semi-perimeter)이라고 표기하는 것

80
00:05:27,390 --> 00:05:29,020
저는 개인적으로 이 방법을 더 선호하는데요

81
00:05:29,120 --> 00:05:31,360
왜냐하면 p가 둘레라는 것을 기억해낼 수 있기 때문입니다

82
00:05:31,460 --> 00:05:34,820
이것은 꽤 유용하죠 왜냐면 당연하게도 내접원의 반지름과 둘레가 주어진다면

83
00:05:34,930 --> 00:05:36,760
삼각형의 넓이를 구할 수 있고

84
00:05:36,880 --> 00:05:39,570
삼각형의 넓이와 둘레가 주어지면

85
00:05:39,680 --> 00:05:40,810
내접원의 반지름을 구할 수 있기 때문이죠

86
00:05:40,930 --> 00:05:44,130
이 변수들 중 두 개만 주어져도 나머지 하나를 구할 수 있다는 겁니다

87
00:05:44,260 --> 00:05:47,810
예를 들어 여기에 삼각형이 있습니다

88
00:05:47,920 --> 00:05:50,890
직각 삼각형 중에 가장 대표적인 사례죠

89
00:05:51,030 --> 00:05:55,480
변의 길이가 3, 4, 5인 삼각형이 있다고 하면

90
00:05:55,600 --> 00:05:56,610
우리는 이게 직각삼각형이라는걸 알고 있습니다

91
00:05:56,700 --> 00:05:59,130
피타고라스 정리에 의해 증명해낼 수 있죠

92
00:05:59,250 --> 00:06:03,460
그리고 이 삼각형의 내접원의 반지름을 묻는다면

93
00:06:03,570 --> 00:06:05,670
우리는 손쉽게 넓이를 구할 수 있죠

94
00:06:05,790 --> 00:06:10,020
직각 삼각형이기때문에 3의 제곱 더하기 4의 제곱은 5의 제곱과 같구요

95
00:06:10,140 --> 00:06:16,490
따라서 넓이는 3 곱하기 4 곱하기 2분의 1이 될겁니다

96
00:06:16,610 --> 00:06:18,870
3 곱하기 4 곱하기 2분의 1은 6이죠

97
00:06:18,990 --> 00:06:26,630
그리고 둘레는 3 더하기 4, 즉 7 그리고 여기에 5를 더하면 12입니다

98
00:06:26,750 --> 00:06:31,910
그래서 넓이를 구했고 여기에 적어볼게요

99
00:06:32,030 --> 00:06:37,490
넓이는 2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 둘레와 같습니다

100
00:06:37,610 --> 00:06:44,720
즉 12가 2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 둘레구요

101
00:06:44,840 --> 00:06:48,050
아, 정정하겠습니다 6이네요

102
00:06:48,150 --> 00:06:55,140
넓이 6이 2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 12네요

103
00:06:55,260 --> 00:06:58,110
여기에서 2분의 1 곱하기 12는 6이네요

104
00:06:58,220 --> 00:07:03,620
6은 6r과 같고 각 변을 6으로 나누면 r은 1입니다

105
00:07:03,740 --> 00:07:08,210
따라서 이 삼각형에 대한 내접원의 반지름을 그려보자면

106
00:07:08,340 --> 00:07:13,890
여기에 각의 이등분선들을 그려볼게요

107
00:07:14,030 --> 00:07:17,810
직각 삼각형은 내접원의 반지름 1을 가지고 있습니다

108
00:07:17,920 --> 00:07:21,010
이 3-4-5 직각 삼각형은 내접원의 반지름 1을 가지고 있습니다

109
00:07:21,120 --> 00:07:27,210
따라서 이 거리는 이 거리와 같고, 이 거리 또한 이 거리와 같습니다