0:00:00.000,0:00:07.010
삼각형 ABC는 p의 둘레를 가지고 있고 내접원의 반지름이 r입니다

0:00:07.140,0:00:11.640
그리고 p와 r에 근거하여 ABC의 넓이를 구해야 합니다

0:00:11.720,0:00:15.080
둘레는 삼각형의 세 변의 합이죠

0:00:15.200,0:00:18.270
즉 삼각형을 빙 두르게 된다면 얼마나 긴 길이를 얻게 될것인지의 개념입니다

0:00:18.430,0:00:21.170
그리고 내접원의 반지름이 뭔지 다시 되새겨봅시다

0:00:21.290,0:00:26.940
세 꼭지점의 각의 이등분선을 생각해봅시다

0:00:27.050,0:00:28.700
여기 보이는 이 각들에 대해서

0:00:28.840,0:00:31.140
이렇게 여기에 각의 이등분선이 있죠

0:00:31.250,0:00:33.330
여기 또 각의 이등분선이 있구요

0:00:33.460,0:00:35.840
이 각은 옆에 있는 각과 같은 크기이고

0:00:35.950,0:00:38.590
이 각 또한 옆에 있는 각과 같은 크기이고

0:00:38.710,0:00:42.310
이 각도 마찬가지겠죠

0:00:42.430,0:00:47.030
그리고 이 각의 이등분선들이 만나는 점을

0:00:47.130,0:00:50.050
여기 보이는 이 점을 내심이라고 합니다

0:00:50.150,0:00:53.210
그리고 모든 변에 대해 같은 거리만큼 떨어져있죠

0:00:53.320,0:00:57.280
변에서부터 떨어져있는 거리를 내접원의 반지름이라고 합니다

0:00:57.400,0:00:59.460
내접원의 반지름을 그려볼게요

0:00:59.570,0:01:01.250
꼭지점과 변의 사이 거리를 찾은 후에는

0:01:01.360,0:01:02.530
직각 표시를 해줍시다

0:01:02.640,0:01:05.170
즉 여기 보이는 이 거리가 바로 내접원의 반지름입니다

0:01:05.300,0:01:08.440
이 거리도 내접원의 반지름이고

0:01:08.560,0:01:11.920
이 거리 또한 내접원의 반지름입니다

0:01:12.050,0:01:16.910
그리고 내심에 중심을 두고 내접원 하나를 그려봅시다

0:01:17.030,0:01:20.690
반지름을 r로 두면 내접원은 대략 이런 모양이 될 겁니다

0:01:20.820,0:01:23.180
이 문제를 풀기 위해서 굳이 원을 그려야할 필요는 없습니다만

0:01:23.320,0:01:25.400
이런 모양의 원을 그릴 수 있습니다

0:01:25.520,0:01:27.890
우리는 이것을 내접원이라고 부르죠

0:01:28.010,0:01:30.400
자, 이제 어떻게 넓이를 구할지에 대해 생각해봅시다

0:01:30.520,0:01:32.840
특히 이 내접원의 반지름을 가지고서요

0:01:32.970,0:01:36.500
내접원의 반지름에 대한 재미있는 사실 하나는

0:01:36.650,0:01:39.370
여기 보이는 이 삼각형의 높이처럼 보인다는 거에요

0:01:39.480,0:01:44.570
삼각형 A, 그리고 내심을 뜻하는 기호 I를 써서 I로 중심을 표시합시다

0:01:44.780,0:01:49.410
여기 보이는 r이 바로 삼각형 AIC의 높이가 되는거죠

0:01:49.520,0:01:52.770
이 r은 삼각형 BIC의 높이가 되는거구요

0:01:52.890,0:01:54.860
우리가 표기하지 않았지만 이 r도 마찬가지로

0:01:54.980,0:01:59.240
여기보이는 이 r도 삼각형 AIB의 높이입니다

0:01:59.350,0:02:04.670
따라서 이 삼각형들의 높이 r과 밑변을 이용해서 각각 넓이를 구할 수 있겠죠

0:02:04.780,0:02:08.140
그리고 그 삼각형들의 넓이를 모두 더한다면

0:02:08.280,0:02:11.310
삼각형의 둘레와 내접원의 반지름에 근거하여 뭔가를 얻어낼 수 있을지도 모릅니다

0:02:11.400,0:02:12.990
자, 이렇게 해봅시다

0:02:13.120,0:02:18.880
ABC의 넓이 즉 전체 삼각형의 넓이는

0:02:18.990,0:02:19.920
-이것을 색칠해서 표시할게요

0:02:20.030,0:02:24.160
전체 삼각형의 넓이는 AIC의 넓이

0:02:24.280,0:02:32.960
여기 이 자주색으로 색칠하고 있는게 AIC의 넓이를 뜻합니다

0:02:33.070,0:02:38.520
AIC의 넓이 더하기 바로 여기 있는 BIC의 넓이

0:02:38.640,0:02:42.040
이미 파란색을 썼으니 다른 색으로 색칠해볼게요

0:02:42.160,0:02:44.530
오렌지색으로 해보겠습니다

0:02:44.680,0:02:51.700
더하기 BIC의 넓이 그러니까 바로 여기 있는 넓이를 뜻하구요

0:02:51.820,0:02:57.410
즉 BIC의 넓이를 더하고 그리고 마지막으로

0:02:57.530,0:03:02.510
이번엔 핑크색으로 표시해보겠습니다

0:03:02.640,0:03:11.560
더하기 AIB의 넓이, 바로 이게 AIB의 넓이를 뜻합니다

0:03:11.690,0:03:13.290
세 삼각형들의 넓이를 더하면

0:03:13.430,0:03:15.540
큰 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다

0:03:15.670,0:03:21.720
자, AIC의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이 될것입니다

0:03:21.840,0:03:27.480
2분의 1 곱하기 밑변 즉 AC를 말하는거죠

0:03:27.600,0:03:30.000
곱하기 높이 즉 바로 여기에 보이는 높이를 말합니다

0:03:30.110,0:03:32.520
즉 r을 곱하는거죠

0:03:32.630,0:03:34.380
이게 바로 AIC의 넓이입니다

0:03:34.530,0:03:43.000
그리고 BIC의 넓이는 2분의 1 곱하기 밑변 즉 BC

0:03:43.110,0:03:45.650
곱하기 높이 즉 r

0:03:45.770,0:03:49.960
그리고 여기 보이는 AIB의 넓이 또한

0:03:50.060,0:03:54.430
2분의 1 곱하기 밑변 즉 AB

0:03:54.560,0:04:00.200
AB 곱하기 높이, 즉 또다시 r을 곱하는거죠

0:04:00.350,0:04:03.900
그런 후에 우리는 r의 2분의 1(절반)을 앞으로 끌어낼 수 있죠

0:04:04.020,0:04:16.410
그러면 남는 것은 AC 더하기 BC 더하기 AB입니다

0:04:16.500,0:04:17.990
아마 이쯤되면 어떻게 진행될지 보이시겠죠

0:04:18.110,0:04:24.720
다른 핑크색 색깔을 사용해서, 더하기 AB

0:04:24.840,0:04:33.080
자, AC 더하기 BC 더하기 AB가 뭘까요

0:04:33.190,0:04:39.250
그것은 둘레 p가 될 것입니다 세 변들을 더한 값이죠

0:04:39.360,0:04:42.200
이게 바로 둘레 p고 이미 구한 것 같군요

0:04:42.320,0:04:53.790
ABC의 넓이는 2분의 1 곱하기 r 곱하기 둘레입니다

0:04:53.900,0:04:54.770
꽤 정리된 결과같군요

0:04:54.880,0:04:59.950
2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 삼각형의 둘레

0:05:00.060,0:05:04.530
아니면 이렇게 쓸 수도 있습니다: r 곱하기 s분의 p

0:05:04.640,0:05:07.750
아, 정정할게요 2분의 p

0:05:07.850,0:05:10.250
그리고 여기 보이는 둘레 나누기 2는

0:05:10.370,0:05:19.370
둘레의 절반(semi-perimeter)이라고 불립니다 주로 s로 표기하죠

0:05:19.490,0:05:22.740
따라서 넓이는 r 곱하기 s라고 표기하기도 합니다

0:05:22.850,0:05:27.270
둘레를 2로 나눈 것을 둘레의 절반(semi-perimeter)이라고 표기하는 것

0:05:27.390,0:05:29.020
저는 개인적으로 이 방법을 더 선호하는데요

0:05:29.120,0:05:31.360
왜냐하면 p가 둘레라는 것을 기억해낼 수 있기 때문입니다

0:05:31.460,0:05:34.820
이것은 꽤 유용하죠 왜냐면 당연하게도 내접원의 반지름과 둘레가 주어진다면

0:05:34.930,0:05:36.760
삼각형의 넓이를 구할 수 있고

0:05:36.880,0:05:39.570
삼각형의 넓이와 둘레가 주어지면

0:05:39.680,0:05:40.810
내접원의 반지름을 구할 수 있기 때문이죠

0:05:40.930,0:05:44.130
이 변수들 중 두 개만 주어져도 나머지 하나를 구할 수 있다는 겁니다

0:05:44.260,0:05:47.810
예를 들어 여기에 삼각형이 있습니다

0:05:47.920,0:05:50.890
직각 삼각형 중에 가장 대표적인 사례죠

0:05:51.030,0:05:55.480
변의 길이가 3, 4, 5인 삼각형이 있다고 하면

0:05:55.600,0:05:56.610
우리는 이게 직각삼각형이라는걸 알고 있습니다

0:05:56.700,0:05:59.130
피타고라스 정리에 의해 증명해낼 수 있죠

0:05:59.250,0:06:03.460
그리고 이 삼각형의 내접원의 반지름을 묻는다면

0:06:03.570,0:06:05.670
우리는 손쉽게 넓이를 구할 수 있죠

0:06:05.790,0:06:10.020
직각 삼각형이기때문에 3의 제곱 더하기 4의 제곱은 5의 제곱과 같구요

0:06:10.140,0:06:16.490
따라서 넓이는 3 곱하기 4 곱하기 2분의 1이 될겁니다

0:06:16.610,0:06:18.870
3 곱하기 4 곱하기 2분의 1은 6이죠

0:06:18.990,0:06:26.630
그리고 둘레는 3 더하기 4, 즉 7 그리고 여기에 5를 더하면 12입니다

0:06:26.750,0:06:31.910
그래서 넓이를 구했고 여기에 적어볼게요

0:06:32.030,0:06:37.490
넓이는 2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 둘레와 같습니다

0:06:37.610,0:06:44.720
즉 12가 2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 둘레구요

0:06:44.840,0:06:48.050
아, 정정하겠습니다 6이네요

0:06:48.150,0:06:55.140
넓이 6이 2분의 1 곱하기 내접원의 반지름 곱하기 12네요

0:06:55.260,0:06:58.110
여기에서 2분의 1 곱하기 12는 6이네요

0:06:58.220,0:07:03.620
6은 6r과 같고 각 변을 6으로 나누면 r은 1입니다

0:07:03.740,0:07:08.210
따라서 이 삼각형에 대한 내접원의 반지름을 그려보자면

0:07:08.340,0:07:13.890
여기에 각의 이등분선들을 그려볼게요

0:07:14.030,0:07:17.810
직각 삼각형은 내접원의 반지름 1을 가지고 있습니다

0:07:17.920,0:07:21.010
이 3-4-5 직각 삼각형은 내접원의 반지름 1을 가지고 있습니다

0:07:21.120,0:07:27.210
따라서 이 거리는 이 거리와 같고, 이 거리 또한 이 거리와 같습니다