-
Je nám řečeno, že trojúhelník ABC má
obvod 'P' a poloměr kružnice vepsané 'r'.
-
Chtějí, abychom pomocí 'P' a 'r'
zjistili obsah trojúhelníku ABC.
-
Víme, že obvod je jen
součet stran trojúhelníka
-
nebo jak dlouhý plot by musel
kolem trojúhelníka být.
-
Pojďme si připomenout,
co je poloměr kružnice vepsané.
-
Když vezmeme osy každého z těchto úhlů…
-
… takže tuto osu úhlu
-
a tuto osu úhlu,
-
tak tento úhel bude shodný s tímto úhlem
-
a tento úhel bude shodný s tímto úhlem.
-
Pak i tento úhel bude
shodný s tímto úhlem.
-
Bod, v němž se všechny osy úhlů protínají,
-
je náš střed kružnice vepsané,
-
který je stejně vzdálený
od všech třech stran
-
a této vzdálenosti říkáme
poloměr kružnice vepsané.
-
Takže nakreslím poloměr
kružnice vepsané.
-
Hledáte-li vzdálenost mezi bodem
a přímkou, musíte spustit kolmici,
-
tedy tato vzdálenost je
poloměr kružnice vepsané,
-
tato vzdálenost je
poloměr kružnice vepsané
-
a tato vzdálenost je také
poloměr kružnice vepsané.
-
Jestli chcete, můžete
nakreslit kružnici vepsanou
-
se středem ve středu
kružnice vepsané
-
a s poloměrem 'r',
která bude vypadat asi takto.
-
Vlastně ji pro tuto úlohu
nemusíme kreslit,
-
můžete nakreslit kružnici,
která vypadá takto,
-
a pak bychom jí
říkali kružnice vepsaná.
-
Pojďme se zamyslet nad tím,
jak zjistíme obsah,
-
právě s použitím
poloměru kružnice vepsané.
-
Hustá věc na poloměru kružnice vepsané je,
že vypadá jako výška.
-
Vypadá jako výška tohoto
pravoúhlého trojúhelníku,
-
trojúhelníku A…
-
… označme si střed.
-
Pojmenujme jej 'I', jako incentrum.
-
Takže 'r'…
-
Tohle 'r' je výška trojúhelníku AIC,
-
tohle 'r' je výška trojúhelníku BIC
-
a tohle 'r', které jsme si neoznačili,
je výška trojúhelníku AIB.
-
Mohli bychom zjistit obsah každého
z těchto pravoúhlých trojúhelníků
-
s použitím 'r' a jejich základen.
-
Možná, kdybychom sečetli
obsahy všech těch trojúhelníků,
-
dostali bychom něco i s pomocí
obvodu a poloměru kružnice vepsané.
-
Pojďme to vyzkoušet.
-
Takže obsah celého trojúhelníku ABC
se bude rovnat…
-
… napíšu to barevně…
-
… tohle se bude rovnat
obsahu trojúhelníku AIC,
-
takže tomu,
co tu šrafuji světle fialovou…
-
… bude to rovno obsahu AIC,
-
plus obsahu trojúhelníku BIC,
což je tento trojúhelník.
-
Ukážu vám to jinou barvou.
Modrou jsem už použil,
-
takže to nakreslím oranžově.
-
Plus obsahu trojúhelníku BIC,
což je tento obsah,
-
takže plus obsahu trojúhelníku BIC
a konečně také plus obsah…
-
Nakreslím to touto růžovou barvou…
-
...plus obsahu trojúhelníku AIB.
-
Sečtete-li obsahy těchto tří trojúhelníku,
dostanete obsah tohoto většího.
-
Obsah trojúhelníku AIC se bude rovnat
polovina základny krát výška,
-
takže to bude polovina základny,
strany AC,
-
krát tahle výška,
což je prostě 'r'…
-
… krát 'r'.
-
To je obsah trojúhelníku AIC,
-
a pak obsah trojúhelníku BIC
bude polovina základny, což je BC,
-
krát výška, což je 'r'.
-
A pak plus…
-
... obsah trojúhelníku AIB…
-
… to bude polovina základny,
-
což je délka strany AB,
-
krát výška, což je zase 'r'.
-
Ze všech těchto výrazů
můžeme vytknout polovinu 'r'
-
a dostanete
půl 'r' krát AC plus BC plus AB.
-
Myslím, že víte, kam tím mířím.
-
… plus… to je jiná růžová…
-
… plus AB.
-
Co je AC plus BC plus AB?
-
To bude obvod trojúhelníku,
protože když vezmete součet stran,
-
tak dostanete obvod 'P'.
Vypadá to, že máme hotovo.
-
Obsah našeho trojúhelníku ABC
se rovná polovina 'r' krát obvod,
-
což je docela pěkné.
-
Jedna polovina krát poloměr kružnice
vepsané krát obvod trojúhelníku.
-
Někdy můžeme vidět napsané,
že se to rovná 'r' krát 'P' lomeno dvěma.
-
Tomuto výrazu, obvod děleno dvěma,
se někdy říká poloobvod…
-
… poloobvod.
-
a občas se udává jako 's',
-
takže občas uvidíte,
že obsah se rovná 'r' krát 's',
-
kde 's' je poloobvod,
což je obvod děleno dvěma.
-
Mně se ten první způsob líbí víc,
protože si pamatuji, že 'P' je obvod.
-
To je užitečné, když vám někdo zadá
poloměr kružnice vepsané a obvod,
-
tak můžete zjistit obsah.
-
Nebo když vám někdo zadá
obsah a obvod trojúhelníku,
-
najdete poloměr kružnice vepsané.
-
Když znáte dvě z těchto proměnných,
můžete vždy vypočítat třetí.
-
Například kdyby tohle
byl pravoúhlý trojúhelník,
-
nejslavnější pravoúhlý trojúhelník,
-
který má strany délky 3, 4 a 5,
-
víme, že je pravoúhlý,
-
což si můžete ověřit
pomocí Pythagorovy věty,
-
a někdo se zeptá,
jaký je poloměr kružnice vepsané,
-
tak na obsah můžeme
přijít celkem snadno.
-
Víme, že je pravoúhlý:
-
3 na druhou plus 4 na druhou
se rovná 5 na druhou.
-
Obsah trojúhelníku se bude rovnat
3 krát 4 krát jedna polovina,
-
3 krát 4 krát jedna polovina se rovná 6.
-
Obvod se bude rovnat 3 plus 4,
což je 7, plus 5, což je 12.
-
Máme obsah, takže si to pojďme napsat.
-
Obsah se rovná jedna polovina krát poloměr
kružnice vepsané krát obvod trojúhelníku.
-
Takže máme, že 12 se rovná jedna polovina
krát poloměr kružnice vepsané krát obvod.
-
Oh, promiňtě. Máme 6.
-
Obsah je 6.
-
6 se rovná jedna polovina krát
poloměr kružnice vepsané krát 12.
-
Jedna polovina krát 12 je 6.
-
6 se rovná 6 krát 'r',
-
vydělíme obě strany rovnice 6
a dostaneme, že 'r' se rovná 1.
-
Chcete-li nakreslit poloměr kružnice
vepsané, což je docela úhledné,
-
tak tady nakreslím nějaké osy úhlů.
-
Tento 3-4-5 trojúhelník má
poloměr kružice vepsané 1,
-
tato vzdálenost se rovná této,
která se rovná této vzdálenosti,
-
což se rovná 1.
-
Docela pěkné.
Khan Academy
