WEBVTT 00:00:00.270 --> 00:00:06.950 Je nám řečeno, že trojúhelník ABC má obvod 'P' a poloměr kružnice vepsané 'r'. 00:00:07.140 --> 00:00:11.492 Chtějí, abychom pomocí 'P' a 'r' zjistili obsah trojúhelníku ABC. 00:00:11.650 --> 00:00:14.835 Víme, že obvod je jen součet stran trojúhelníka 00:00:14.955 --> 00:00:18.149 nebo jak dlouhý plot by musel kolem trojúhelníka být. 00:00:18.309 --> 00:00:21.000 Pojďme si připomenout, co je poloměr kružnice vepsané. 00:00:21.165 --> 00:00:28.439 Když vezmeme osy každého z těchto úhlů… 00:00:28.560 --> 00:00:30.611 … takže tuto osu úhlu 00:00:30.778 --> 00:00:32.988 a tuto osu úhlu, 00:00:33.205 --> 00:00:35.223 tak tento úhel bude shodný s tímto úhlem 00:00:35.641 --> 00:00:38.185 a tento úhel bude shodný s tímto úhlem. 00:00:38.413 --> 00:00:42.110 Pak i tento úhel bude shodný s tímto úhlem. 00:00:42.343 --> 00:00:46.715 Bod, v němž se všechny osy úhlů protínají, 00:00:46.923 --> 00:00:49.810 je náš střed kružnice vepsané, 00:00:49.960 --> 00:00:53.030 který je stejně vzdálený od všech třech stran 00:00:53.160 --> 00:00:56.801 a této vzdálenosti říkáme poloměr kružnice vepsané. 00:00:56.980 --> 00:00:58.947 Takže nakreslím poloměr kružnice vepsané. 00:00:59.120 --> 00:01:02.367 Hledáte-li vzdálenost mezi bodem a přímkou, musíte spustit kolmici, 00:01:02.470 --> 00:01:04.894 tedy tato vzdálenost je poloměr kružnice vepsané, 00:01:05.010 --> 00:01:08.193 tato vzdálenost je poloměr kružnice vepsané 00:01:08.375 --> 00:01:11.693 a tato vzdálenost je také poloměr kružnice vepsané. 00:01:11.833 --> 00:01:14.380 Jestli chcete, můžete nakreslit kružnici vepsanou 00:01:14.533 --> 00:01:16.907 se středem ve středu kružnice vepsané 00:01:17.030 --> 00:01:20.440 a s poloměrem 'r', která bude vypadat asi takto. 00:01:20.580 --> 00:01:22.883 Vlastně ji pro tuto úlohu nemusíme kreslit, 00:01:22.970 --> 00:01:25.160 můžete nakreslit kružnici, která vypadá takto, 00:01:25.250 --> 00:01:27.559 a pak bychom jí říkali kružnice vepsaná. 00:01:27.770 --> 00:01:30.250 Pojďme se zamyslet nad tím, jak zjistíme obsah, 00:01:30.402 --> 00:01:32.800 právě s použitím poloměru kružnice vepsané. 00:01:32.900 --> 00:01:36.500 Hustá věc na poloměru kružnice vepsané je, že vypadá jako výška. 00:01:36.650 --> 00:01:39.250 Vypadá jako výška tohoto pravoúhlého trojúhelníku, 00:01:39.400 --> 00:01:40.576 trojúhelníku A… 00:01:40.689 --> 00:01:42.368 … označme si střed. 00:01:42.511 --> 00:01:44.356 Pojmenujme jej 'I', jako incentrum. 00:01:44.728 --> 00:01:45.885 Takže 'r'… 00:01:46.060 --> 00:01:49.300 Tohle 'r' je výška trojúhelníku AIC, 00:01:49.439 --> 00:01:52.530 tohle 'r' je výška trojúhelníku BIC 00:01:52.666 --> 00:01:58.767 a tohle 'r', které jsme si neoznačili, je výška trojúhelníku AIB. 00:01:59.100 --> 00:02:02.800 Mohli bychom zjistit obsah každého z těchto pravoúhlých trojúhelníků 00:02:02.950 --> 00:02:04.880 s použitím 'r' a jejich základen. 00:02:05.040 --> 00:02:07.956 Možná, kdybychom sečetli obsahy všech těch trojúhelníků, 00:02:08.096 --> 00:02:11.310 dostali bychom něco i s pomocí obvodu a poloměru kružnice vepsané. 00:02:11.400 --> 00:02:12.570 Pojďme to vyzkoušet. 00:02:12.750 --> 00:02:18.740 Takže obsah celého trojúhelníku ABC se bude rovnat… 00:02:18.837 --> 00:02:19.930 … napíšu to barevně… 00:02:20.030 --> 00:02:23.948 … tohle se bude rovnat obsahu trojúhelníku AIC, 00:02:24.084 --> 00:02:27.468 takže tomu, co tu šrafuji světle fialovou… 00:02:27.933 --> 00:02:32.492 … bude to rovno obsahu AIC, 00:02:32.810 --> 00:02:38.030 plus obsahu trojúhelníku BIC, což je tento trojúhelník. 00:02:38.310 --> 00:02:40.950 Ukážu vám to jinou barvou. Modrou jsem už použil, 00:02:41.926 --> 00:02:44.164 takže to nakreslím oranžově. 00:02:44.480 --> 00:02:50.346 Plus obsahu trojúhelníku BIC, což je tento obsah, 00:02:51.497 --> 00:02:57.227 takže plus obsahu trojúhelníku BIC a konečně také plus obsah… 00:02:57.530 --> 00:03:02.264 Nakreslím to touto růžovou barvou… 00:03:02.404 --> 00:03:11.308 ...plus obsahu trojúhelníku AIB. 00:03:11.451 --> 00:03:15.235 Sečtete-li obsahy těchto tří trojúhelníku, dostanete obsah tohoto většího. 00:03:15.416 --> 00:03:21.400 Obsah trojúhelníku AIC se bude rovnat polovina základny krát výška, 00:03:21.567 --> 00:03:27.480 takže to bude polovina základny, strany AC, 00:03:27.600 --> 00:03:31.099 krát tahle výška, což je prostě 'r'… 00:03:31.289 --> 00:03:32.300 … krát 'r'. 00:03:32.470 --> 00:03:33.990 To je obsah trojúhelníku AIC, 00:03:34.234 --> 00:03:42.471 a pak obsah trojúhelníku BIC bude polovina základny, což je BC, 00:03:42.937 --> 00:03:44.719 krát výška, což je 'r'. 00:03:45.462 --> 00:03:46.576 A pak plus… 00:03:46.949 --> 00:03:48.459 ... obsah trojúhelníku AIB… 00:03:48.619 --> 00:03:51.032 … to bude polovina základny, 00:03:51.219 --> 00:03:55.076 což je délka strany AB, 00:03:55.266 --> 00:03:59.867 krát výška, což je zase 'r'. 00:04:00.055 --> 00:04:03.732 Ze všech těchto výrazů můžeme vytknout polovinu 'r' 00:04:03.930 --> 00:04:15.767 a dostanete půl 'r' krát AC plus BC plus AB. 00:04:16.221 --> 00:04:17.820 Myslím, že víte, kam tím mířím. 00:04:18.050 --> 00:04:19.856 … plus… to je jiná růžová… 00:04:20.200 --> 00:04:24.518 … plus AB. 00:04:24.840 --> 00:04:32.974 Co je AC plus BC plus AB? 00:04:33.190 --> 00:04:39.160 To bude obvod trojúhelníku, protože když vezmete součet stran, 00:04:39.298 --> 00:04:42.134 tak dostanete obvod 'P'. Vypadá to, že máme hotovo. 00:04:42.320 --> 00:04:53.525 Obsah našeho trojúhelníku ABC se rovná polovina 'r' krát obvod, 00:04:53.685 --> 00:04:54.730 což je docela pěkné. 00:04:54.880 --> 00:04:59.793 Jedna polovina krát poloměr kružnice vepsané krát obvod trojúhelníku. 00:04:59.943 --> 00:05:07.445 Někdy můžeme vidět napsané, že se to rovná 'r' krát 'P' lomeno dvěma. 00:05:07.850 --> 00:05:11.895 Tomuto výrazu, obvod děleno dvěma, se někdy říká poloobvod… 00:05:12.593 --> 00:05:15.226 … poloobvod. 00:05:17.010 --> 00:05:19.220 a občas se udává jako 's', 00:05:19.398 --> 00:05:22.100 takže občas uvidíte, že obsah se rovná 'r' krát 's', 00:05:22.504 --> 00:05:27.066 kde 's' je poloobvod, což je obvod děleno dvěma. 00:05:27.226 --> 00:05:31.160 Mně se ten první způsob líbí víc, protože si pamatuji, že 'P' je obvod. 00:05:31.307 --> 00:05:34.820 To je užitečné, když vám někdo zadá poloměr kružnice vepsané a obvod, 00:05:34.970 --> 00:05:36.450 tak můžete zjistit obsah. 00:05:36.582 --> 00:05:39.400 Nebo když vám někdo zadá obsah a obvod trojúhelníku, 00:05:39.480 --> 00:05:40.810 najdete poloměr kružnice vepsané. 00:05:40.867 --> 00:05:44.013 Když znáte dvě z těchto proměnných, můžete vždy vypočítat třetí. 00:05:44.179 --> 00:05:47.810 Například kdyby tohle byl pravoúhlý trojúhelník, 00:05:47.920 --> 00:05:50.675 nejslavnější pravoúhlý trojúhelník, 00:05:50.833 --> 00:05:55.090 který má strany délky 3, 4 a 5, 00:05:55.280 --> 00:05:56.560 víme, že je pravoúhlý, 00:05:56.700 --> 00:05:58.865 což si můžete ověřit pomocí Pythagorovy věty, 00:05:59.040 --> 00:06:03.266 a někdo se zeptá, jaký je poloměr kružnice vepsané, 00:06:03.477 --> 00:06:05.470 tak na obsah můžeme přijít celkem snadno. 00:06:05.640 --> 00:06:06.985 Víme, že je pravoúhlý: 00:06:07.140 --> 00:06:09.624 3 na druhou plus 4 na druhou se rovná 5 na druhou. 00:06:09.817 --> 00:06:16.064 Obsah trojúhelníku se bude rovnat 3 krát 4 krát jedna polovina, 00:06:16.307 --> 00:06:18.669 3 krát 4 krát jedna polovina se rovná 6. 00:06:18.840 --> 00:06:26.180 Obvod se bude rovnat 3 plus 4, což je 7, plus 5, což je 12. 00:06:26.554 --> 00:06:31.081 Máme obsah, takže si to pojďme napsat. 00:06:31.760 --> 00:06:37.126 Obsah se rovná jedna polovina krát poloměr kružnice vepsané krát obvod trojúhelníku. 00:06:37.363 --> 00:06:44.454 Takže máme, že 12 se rovná jedna polovina krát poloměr kružnice vepsané krát obvod. 00:06:45.618 --> 00:06:46.803 Oh, promiňtě. Máme 6. 00:06:47.825 --> 00:06:48.938 Obsah je 6. 00:06:49.437 --> 00:06:54.886 6 se rovná jedna polovina krát poloměr kružnice vepsané krát 12. 00:06:55.014 --> 00:06:58.110 Jedna polovina krát 12 je 6. 00:06:58.220 --> 00:07:00.149 6 se rovná 6 krát 'r', 00:07:00.290 --> 00:07:03.410 vydělíme obě strany rovnice 6 a dostaneme, že 'r' se rovná 1. 00:07:03.608 --> 00:07:07.834 Chcete-li nakreslit poloměr kružnice vepsané, což je docela úhledné, 00:07:08.020 --> 00:07:13.687 tak tady nakreslím nějaké osy úhlů. 00:07:13.859 --> 00:07:17.426 Tento 3-4-5 trojúhelník má poloměr kružice vepsané 1, 00:07:17.596 --> 00:07:21.010 tato vzdálenost se rovná této, která se rovná této vzdálenosti, 00:07:21.120 --> 00:07:25.894 což se rovná 1. 00:07:26.027 --> 00:07:27.229 Docela pěkné.