Je nám řečeno, že trojúhelník ABC má obvod 'P' a poloměr kružnice vepsané 'r'.
Chtějí, abychom pomocí 'P' a 'r' zjistili obsah trojúhelníku ABC.
Víme, že obvod je jen součet stran trojúhelníka
nebo jak dlouhý plot by musel kolem trojúhelníka být.
Pojďme si připomenout, co je poloměr kružnice vepsané.
Když vezmeme osy každého z těchto úhlů…
… takže tuto osu úhlu
a tuto osu úhlu,
tak tento úhel bude shodný s tímto úhlem
a tento úhel bude shodný s tímto úhlem.
Pak i tento úhel bude shodný s tímto úhlem.
Bod, v němž se všechny osy úhlů protínají,
je náš střed kružnice vepsané,
který je stejně vzdálený od všech třech stran
a této vzdálenosti říkáme poloměr kružnice vepsané.
Takže nakreslím poloměr kružnice vepsané.
Hledáte-li vzdálenost mezi bodem a přímkou, musíte spustit kolmici,
tedy tato vzdálenost je poloměr kružnice vepsané,
tato vzdálenost je poloměr kružnice vepsané
a tato vzdálenost je také poloměr kružnice vepsané.
Jestli chcete, můžete nakreslit kružnici vepsanou
se středem ve středu kružnice vepsané
a s poloměrem 'r', která bude vypadat asi takto.
Vlastně ji pro tuto úlohu nemusíme kreslit,
můžete nakreslit kružnici, která vypadá takto,
a pak bychom jí říkali kružnice vepsaná.
Pojďme se zamyslet nad tím, jak zjistíme obsah,
právě s použitím poloměru kružnice vepsané.
Hustá věc na poloměru kružnice vepsané je, že vypadá jako výška.
Vypadá jako výška tohoto pravoúhlého trojúhelníku,
trojúhelníku A…
… označme si střed.
Pojmenujme jej 'I', jako incentrum.
Takže 'r'…
Tohle 'r' je výška trojúhelníku AIC,
tohle 'r' je výška trojúhelníku BIC
a tohle 'r', které jsme si neoznačili, je výška trojúhelníku AIB.
Mohli bychom zjistit obsah každého z těchto pravoúhlých trojúhelníků
s použitím 'r' a jejich základen.
Možná, kdybychom sečetli obsahy všech těch trojúhelníků,
dostali bychom něco i s pomocí obvodu a poloměru kružnice vepsané.
Pojďme to vyzkoušet.
Takže obsah celého trojúhelníku ABC se bude rovnat…
… napíšu to barevně…
… tohle se bude rovnat obsahu trojúhelníku AIC,
takže tomu, co tu šrafuji světle fialovou…
… bude to rovno obsahu AIC,
plus obsahu trojúhelníku BIC, což je tento trojúhelník.
Ukážu vám to jinou barvou. Modrou jsem už použil,
takže to nakreslím oranžově.
Plus obsahu trojúhelníku BIC, což je tento obsah,
takže plus obsahu trojúhelníku BIC a konečně také plus obsah…
Nakreslím to touto růžovou barvou…
...plus obsahu trojúhelníku AIB.
Sečtete-li obsahy těchto tří trojúhelníku, dostanete obsah tohoto většího.
Obsah trojúhelníku AIC se bude rovnat polovina základny krát výška,
takže to bude polovina základny, strany AC,
krát tahle výška, což je prostě 'r'…
… krát 'r'.
To je obsah trojúhelníku AIC,
a pak obsah trojúhelníku BIC bude polovina základny, což je BC,
krát výška, což je 'r'.
A pak plus…
... obsah trojúhelníku AIB…
… to bude polovina základny,
což je délka strany AB,
krát výška, což je zase 'r'.
Ze všech těchto výrazů můžeme vytknout polovinu 'r'
a dostanete půl 'r' krát AC plus BC plus AB.
Myslím, že víte, kam tím mířím.
… plus… to je jiná růžová…
… plus AB.
Co je AC plus BC plus AB?
To bude obvod trojúhelníku, protože když vezmete součet stran,
tak dostanete obvod 'P'. Vypadá to, že máme hotovo.
Obsah našeho trojúhelníku ABC se rovná polovina 'r' krát obvod,
což je docela pěkné.
Jedna polovina krát poloměr kružnice vepsané krát obvod trojúhelníku.
Někdy můžeme vidět napsané, že se to rovná 'r' krát 'P' lomeno dvěma.
Tomuto výrazu, obvod děleno dvěma, se někdy říká poloobvod…
… poloobvod.
a občas se udává jako 's',
takže občas uvidíte, že obsah se rovná 'r' krát 's',
kde 's' je poloobvod, což je obvod děleno dvěma.
Mně se ten první způsob líbí víc, protože si pamatuji, že 'P' je obvod.
To je užitečné, když vám někdo zadá poloměr kružnice vepsané a obvod,
tak můžete zjistit obsah.
Nebo když vám někdo zadá obsah a obvod trojúhelníku,
najdete poloměr kružnice vepsané.
Když znáte dvě z těchto proměnných, můžete vždy vypočítat třetí.
Například kdyby tohle byl pravoúhlý trojúhelník,
nejslavnější pravoúhlý trojúhelník,
který má strany délky 3, 4 a 5,
víme, že je pravoúhlý,
což si můžete ověřit pomocí Pythagorovy věty,
a někdo se zeptá, jaký je poloměr kružnice vepsané,
tak na obsah můžeme přijít celkem snadno.
Víme, že je pravoúhlý:
3 na druhou plus 4 na druhou se rovná 5 na druhou.
Obsah trojúhelníku se bude rovnat 3 krát 4 krát jedna polovina,
3 krát 4 krát jedna polovina se rovná 6.
Obvod se bude rovnat 3 plus 4, což je 7, plus 5, což je 12.
Máme obsah, takže si to pojďme napsat.
Obsah se rovná jedna polovina krát poloměr kružnice vepsané krát obvod trojúhelníku.
Takže máme, že 12 se rovná jedna polovina krát poloměr kružnice vepsané krát obvod.
Oh, promiňtě. Máme 6.
Obsah je 6.
6 se rovná jedna polovina krát poloměr kružnice vepsané krát 12.
Jedna polovina krát 12 je 6.
6 se rovná 6 krát 'r',
vydělíme obě strany rovnice 6 a dostaneme, že 'r' se rovná 1.
Chcete-li nakreslit poloměr kružnice vepsané, což je docela úhledné,
tak tady nakreslím nějaké osy úhlů.
Tento 3-4-5 trojúhelník má poloměr kružice vepsané 1,
tato vzdálenost se rovná této, která se rovná této vzdálenosti,
což se rovná 1.
Docela pěkné.