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Proof: U=(3/2)PV or U=(3/2)nRT

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    我提過好幾次
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    這個大寫的U
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    就是係統的熱力學能
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    更多課程盡在網易公開課頻道 http://open.163.com/
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    而且係統的什麽能量都包含在裏頭
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    它包括分子的動能
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    如果分子在震動
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    它就包括勢能
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    它還包括化學鍵能
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    它也包括每個想要亂動的
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    電子的勢能
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    加入網易翻譯小組 請發郵件至 163open@vip.163.com
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    不過 對我們而言
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    特別是如果我們在學入門級的
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    化學、物理 或者熱力學課程時
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    我們就假定
  • 0:31 - 0:32
    討論的係統是
  • 0:32 - 0:34
    理想氣體係統
  • 0:34 - 0:34
    甚至更進一步
  • 0:34 - 0:39
    氣體是單分子理想氣體
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    所以係統中的所有東西
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    都是單獨的原子
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    因此這時
  • 0:44 - 0:46
    係統中唯一的能量
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    就是每個粒子的
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    動能
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    所以我這集要做的是…
  • 0:51 - 0:52
    可能會有點難算
  • 0:52 - 0:54
    但是我覺得堅持到最後
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    就會發現很值得
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    我這集要說明
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    定壓 定容 或定溫係統中
  • 1:00 - 1:03
    熱力學能的多少
  • 1:03 - 1:06
    所以我要把壓力 體積 或者溫度
  • 1:06 - 1:07
    和熱力學能聯係起來
  • 1:07 - 1:10
    注意啦 目前的課程中
  • 1:10 - 1:13
    我只講過熱力學能的增量
  • 1:13 - 1:14
    我們可以把它和
  • 1:14 - 1:16
    係統吸收或放出的熱量聯係起來
  • 1:16 - 1:19
    還有環境對係統做的功
  • 1:19 - 1:20
    或者係統對環境做的功 但是現在
  • 1:20 - 1:22
    假設在有功或熱量的變化之前
  • 1:22 - 1:24
    我們怎麽才能知道一個係統中
  • 1:24 - 1:25
    熱力學能的大小？
  • 1:25 - 1:27
    爲了算出它
  • 1:27 - 1:30
    我們來做一個小的思維實驗
  • 1:30 - 1:34
    我會在這裡化簡一下
  • 1:34 - 1:36
    不過我覺得你可以接受
  • 1:36 - 1:38
    還可能挺喜歡
  • 1:38 - 1:39
    比方說
  • 1:39 - 1:41
    我畫一個
  • 1:41 - 1:42
    一個正方體
  • 1:42 - 1:43
    有種感覺告訴我
  • 1:43 - 1:46
    我好像已經在物理課中做過
  • 1:46 - 1:47
    這個近似證明了
  • 1:47 - 1:48
    雖然 我覺得我
  • 1:48 - 1:49
    沒有確切把它和熱力學能聯係起來
  • 1:49 - 1:51
    不過我會搞定的
  • 1:51 - 1:54
    假設係統就是這個正方體
  • 1:56 - 1:58
    然後正方體的每個邊長
  • 1:58 - 2:00
    都是x
  • 2:00 - 2:04
    所以它長x 寬x 高x
  • 2:04 - 2:08
    所以它的體積就是x的3次方
  • 2:08 - 2:10
    假設係統中有n個粒子
  • 2:10 - 2:12
    大寫的N
  • 2:12 - 2:15
    我也可以寫成小寫的n mol
  • 2:15 - 2:16
    但是我們簡單點來
  • 2:16 - 2:17
    有N個粒子
  • 2:19 - 2:24
    它們自由運動
  • 2:24 - 2:25
    接下來
  • 2:25 - 2:27
    我馬上要做一步簡化
  • 2:27 - 2:28
    但是我認爲這樣做很合理
  • 2:28 - 2:31
    所以在正常係統中 每個粒子
  • 2:31 - 2:32
    我之前已經說過了
  • 2:32 - 2:34
    它們朝著各個方向碰撞
  • 2:34 - 2:36
    任意地朝著四面八方碰撞
  • 2:36 - 2:37
    然後…
  • 2:37 - 2:39
    當它們撞擊容器壁的時候
  • 2:39 - 2:41
    就産生了壓力
  • 2:41 - 2:43
    它們也經常相互碰撞
  • 2:43 - 2:44
    等等 等等
  • 2:44 - 2:45
    四面八方
  • 2:45 - 2:48
    現在 爲了簡化數學計算
  • 2:48 - 2:49
    這樣就可以
  • 2:49 - 2:51
    很快算出來
  • 2:51 - 2:53
    我要做一個假設
  • 2:53 - 2:54
    我假設
  • 2:54 - 2:57
    1/3的粒子都會…
  • 2:57 - 3:00
    好吧 1/3的粒子
  • 3:00 - 3:02
    都沿著軸線運動
  • 3:02 - 3:03
    所以1/3的粒子
  • 3:03 - 3:06
    都沿著這個方向移動
  • 3:06 - 3:10
    我覺得可以說是 從左到右
  • 3:10 - 3:17
    而1/3的粒子上下運動
  • 3:17 - 3:19
    然後1/3的粒子
  • 3:19 - 3:22
    前後運動
  • 3:22 - 3:25
    我們知道這並不是事實
  • 3:25 - 3:26
    但是它會使計算非常簡便
  • 3:26 - 3:30
    如果你真的想要做向四面八方的
  • 3:30 - 3:32
    所有粒子的熱力學統計
  • 3:32 - 3:33
    其實你最後也會
  • 3:33 - 3:34
    會得到同樣的結果
  • 3:34 - 3:35
    這麽說
  • 3:35 - 3:37
    我覺得這是個非常大膽的簡化
  • 3:37 - 3:39
    我們遇到
  • 3:39 - 3:42
    這樣的係統的機率
  • 3:42 - 3:43
    無限小
  • 3:43 - 3:45
    我們一會兒會講到熵
  • 3:45 - 3:46
    以及這機率非常小的原因
  • 3:46 - 3:48
    但是我們的係統可以被這樣簡化
  • 3:48 - 3:50
    這個係統可以産生壓力
  • 3:50 - 3:51
    它使計算簡化了不少
  • 3:51 - 3:53
    利用前面的條件 開始分析係統吧
  • 3:53 - 3:56
    從側面觀察
  • 3:56 - 3:59
    從這邊觀察
  • 3:59 - 4:03
    我們先來看一個粒子
  • 4:03 - 4:05
    或許我應該用綠色的
  • 4:05 - 4:07
    比如有一個粒子
  • 4:07 - 4:16
    它質量是m 速度爲v
  • 4:16 - 4:22
    這是係統中N個粒子之一
  • 4:22 - 4:24
    我想要知道的是這個粒子
  • 4:24 - 4:30
    對這個容器壁施加的壓力是多少？
  • 4:30 - 4:34
    我們知道壁的面積 對嘛？
  • 4:34 - 4:37
    壁的面積是x乘以x
  • 4:37 - 4:40
    所以是x2
  • 4:40 - 4:43
    這個粒子所施加的力是多少？
  • 4:43 - 4:45
    這樣想
  • 4:45 - 4:46
    它向前運動
  • 4:46 - 4:48
    或者說向右運動
  • 4:48 - 4:49
    當它的動量改變的時候
  • 4:49 - 4:51
    就施加了力
  • 4:51 - 4:54
    我這裡小複習一下動力學
  • 4:54 - 4:56
    我們知道力等於
  • 4:56 - 4:59
    質量乘加速度
  • 4:59 - 5:02
    我們知道加速度等於…
  • 5:02 - 5:05
    也就是等於質量乘以
  • 5:05 - 5:10
    速度的變化比上時間的變化
  • 5:10 - 5:11
    當然
  • 5:11 - 5:12
    我知道它被整理成
  • 5:12 - 5:14
    它等於――
  • 5:14 - 5:15
    質量是常量
  • 5:15 - 5:17
    我們要改變的量不影響質量
  • 5:17 - 5:19
    所以是Δ
  • 5:19 - 5:20
    我們可以把它放到變化量裏面去
  • 5:20 - 5:24
    所以是Δmv除以ΔT
  • 5:24 - 5:27
    那麽就是動量的變化 對嘛？
  • 5:27 - 5:28
    所以它等於
  • 5:28 - 5:31
    動量的變化除以時間的變化
  • 5:31 - 5:33
    這是力的另一種表達
  • 5:33 - 5:35
    所以這個粒子的動量變化
  • 5:35 - 5:36
    是多少？
  • 5:36 - 5:38
    它會撞擊容器壁
  • 5:38 - 5:40
    現在 在這個方向
  • 5:40 - 5:40
    它有一些動量
  • 5:40 - 5:43
    它的動量等於mv
  • 5:43 - 5:45
    它會撞擊這個容器壁
  • 5:45 - 5:47
    然後直接彈回來
  • 5:47 - 5:49
    所以它的動量是多少？
  • 5:49 - 5:51
    它的質量和速度
  • 5:51 - 5:52
    大小不變
  • 5:52 - 5:54
    我們假設它是完全彈性衝擊
  • 5:54 - 5:56
    沒有熱量或其他損失
  • 5:56 - 5:58
    但是速度的方向改變了
  • 5:58 - 6:01
    新的動量就是-mv
  • 6:01 - 6:04
    因爲速度的方向改變了
  • 6:04 - 6:08
    現在 如果我開始動量是mv
  • 6:08 - 6:10
    然後彈回來的動量是-mv
  • 6:10 - 6:12
    動量的變化是多少？
  • 6:12 - 6:15
    動量的變化
  • 6:15 - 6:17
    在彈回來之後 就等於…
  • 6:17 - 6:19
    等於它們的差
  • 6:19 - 6:22
    也就是2mv
  • 6:22 - 6:24
    嗯 這還得不到力
  • 6:24 - 6:25
    我需要知道
  • 6:25 - 6:32
    每單位時間動量的變化
  • 6:32 - 6:34
    碰撞多久發生一次？
  • 6:34 - 6:35
    頻率是多少？
  • 6:35 - 6:39
    每次運動到這裡都會碰撞
  • 6:39 - 6:40
    每次都會撞擊容器壁
  • 6:40 - 6:42
    然後粒子會回到這裡來
  • 6:42 - 6:42
    撞擊那個容器壁
  • 6:42 - 6:45
    然後回來再撞擊
  • 6:45 - 6:47
    所以這就是它發生的頻率
  • 6:47 - 6:49
    那麽兩次碰撞之間
  • 6:49 - 6:52
    我們需要等多久？
  • 6:52 - 6:55
    粒子一次要運動x距離
  • 6:55 - 6:57
    它會碰撞
  • 6:57 - 6:58
    然後運動x距離到左邊
  • 6:58 - 7:00
    距離是x
  • 7:00 - 7:02
    我換個不同的顏色
  • 7:02 - 7:05
    這裡的距離是x
  • 7:05 - 7:07
    它需要運動x距離再回來
  • 7:07 - 7:09
    然後再運動x距離 回來
  • 7:09 - 7:11
    所以 它需要移動2x
  • 7:11 - 7:14
    移動2x的距離需要多久？
  • 7:14 - 7:17
    時間 ΔT
  • 7:17 - 7:19
    就等於 我們知道
  • 7:19 - 7:23
    距離等於速率乘以時間
  • 7:23 - 7:28
    如果距離除以速率
  • 7:28 - 7:30
    就得到了所需時間
  • 7:30 - 7:34
    這是基本運動方程
  • 7:34 - 7:35
    那ΔT
  • 7:35 - 7:37
    移動的距離是一個來回
  • 7:37 - 7:40
    所以是2x 除以
  • 7:40 - 7:41
    速率是多少？
  • 7:41 - 7:43
    速率就是速度的大小
  • 7:43 - 7:47
    除以v
  • 7:47 - 7:48
    出來咯
  • 7:48 - 7:50
    這就是我們的ΔT
  • 7:50 - 7:59
    因此單位時間的動量變化
  • 7:59 - 8:05
    等於2倍入射動量
  • 8:05 - 8:08
    因爲以同樣的速率彈回來了
  • 8:08 - 8:08
    不過是負的動量
  • 8:08 - 8:10
    那麽這就是動量的變化
  • 8:10 - 8:12
    然後 時間的變化是這個值
  • 8:12 - 8:15
    它就是粒子在兩邊之間
  • 8:15 - 8:17
    來回一次的距離
  • 8:17 - 8:18
    除以速度
  • 8:18 - 8:23
    所以就是 2x/v
  • 8:23 - 8:29
    就等於2mv乘以它的倒數…
  • 8:29 - 8:31
    分數性質
  • 8:31 - 8:33
    就是v/2x
  • 8:33 - 8:34
    等於什麽？
  • 8:34 - 8:36
    2被約掉了
  • 8:36 - 8:41
    所以就等於mv2/x
  • 8:41 - 8:43
    有趣吧
  • 8:43 - 8:45
    我們已經來到有意思的部分了
  • 8:45 - 8:47
    但是如果你還覺得還不夠
  • 8:47 - 8:48
    那麽等我一下
  • 8:48 - 8:52
    這是一個粒子所施加的力
  • 8:52 - 8:53
    這是…
  • 8:53 - 9:02
    一個粒子施加在一面容器壁上的力
  • 9:02 - 9:04
    面積是多少？
  • 9:04 - 9:12
    我們在意的是壓力
  • 9:12 - 9:14
    我們寫在上面了
  • 9:14 - 9:17
    壓力等於單位面積上的力
  • 9:17 - 9:24
    這是粒子所施加的力
  • 9:24 - 9:28
    也就是mv2/x
  • 9:28 - 9:30
    除以容器壁的面積
  • 9:30 - 9:31
    壁面積是多少？
  • 9:31 - 9:35
    壁的面積 每個邊長都是x
  • 9:35 - 9:38
    所以如果是這個壁面 是x乘以x
  • 9:38 - 9:39
    是x2
  • 9:39 - 9:43
    所以除以容器壁的面積x2
  • 9:43 - 9:44
    它等於什麽？
  • 9:44 - 9:52
    等於mv2/x3
  • 9:52 - 9:53
    你可以說
  • 9:53 - 9:55
    這是乘以1/x2
  • 9:55 - 9:56
    這一堆變成x3
  • 9:56 - 9:57
    這就是分數的性質
  • 9:57 - 9:59
    有意思的部分來了
  • 9:59 - 10:06
    這一個粒子産生的壓力
  • 10:01 - 10:15
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  • 10:06 - 10:10
    設是這一粒子産生的
  • 10:10 - 10:17
    等於mv2/x3
  • 10:17 - 10:18
    x3是什麽？
  • 10:17 - 10:25
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  • 10:18 - 10:20
    那是容器的容積
  • 10:20 - 10:22
    除以體積
  • 10:22 - 10:27
    我把體積表示成大V 好嘛？
  • 10:27 - 10:28
    看看我們能不能
  • 10:28 - 10:30
    導出有趣的東西來
  • 10:30 - 10:31
    所以它的意義就是
  • 10:31 - 10:34
    這個粒子産生的壓力…
  • 10:34 - 10:36
    嗯 我換個方式
  • 10:36 - 10:39
    這是一個粒子對一面容器壁 對嘛？
  • 10:39 - 10:41
    這是這個容器壁的一個粒子
  • 10:41 - 10:43
    那麽 所有的粒子…
  • 10:43 - 10:46
    在立方體中有N個粒子
  • 10:46 - 10:47
    它們之中有多少
  • 10:47 - 10:49
    會撞擊這個容器壁？
  • 10:49 - 10:50
    有多少會
  • 10:50 - 10:52
    和這個粒子一樣來回撞擊？
  • 10:52 - 10:54
    我說過了
  • 10:54 - 10:55
    1/3的粒子會在這個方向上運動
  • 10:55 - 10:57
    1/3的粒子上下運動
  • 10:57 - 10:59
    1/3的粒子前後移動
  • 10:59 - 11:01
    如果總共有N個粒子
  • 11:01 - 11:04
    N/3個粒子的運動方式
  • 11:04 - 11:06
    和這個粒子的相同
  • 11:06 - 11:10
    這是一個粒子的壓力
  • 11:10 - 11:12
    如果我想知道
  • 11:12 - 11:13
    整個容器壁的壓力
  • 11:13 - 11:15
    那麽壁面上的總壓力
  • 11:15 - 11:18
    是由N/3個粒子引起的
  • 11:18 - 11:20
    其余的粒子沒有撞擊這裡
  • 11:20 - 11:21
    所以我們不用考慮他們
  • 11:21 - 11:26
    所以如果我們要算總壓力
  • 11:26 - 11:29
    我就寫 PW壁的壓力
  • 11:29 - 11:31
    壁的總壓力PW就等於
  • 11:31 - 11:33
    一個粒子産生的壓力
  • 11:33 - 11:36
    mv2 除以V
  • 11:36 - 11:38
    乘以 撞擊壁面的
  • 11:38 - 11:39
    粒子的總數
  • 11:39 - 11:45
    粒子的總數是N/3
  • 11:45 - 11:47
    因爲只有1/3的粒子是這個方向的
  • 11:47 - 11:49
    所以壁面上的總壓力
  • 11:49 - 11:51
    就等於mv2
  • 11:51 - 11:52
    除以容器的體積
  • 11:52 - 11:54
    乘以粒子的總數除以3
  • 11:54 - 11:57
    看看我們能不能整理一下
  • 11:57 - 12:01
    所以如果我們把兩邊都乘以…
  • 12:01 - 12:03
    怎麽辦好呢
  • 12:03 - 12:08
    如果兩邊同時乘以3V
  • 12:08 - 12:15
    得到PV乘以3 等於
  • 12:15 - 12:20
    mv2乘以N
  • 12:20 - 12:22
    其中N是粒子的總數
  • 12:22 - 12:23
    再兩邊同時除以N
  • 12:23 - 12:31
    所以就得到3PV除以…
  • 12:31 - 12:34
    還是不要了 N留在這裡吧
  • 12:34 - 12:41
    方程兩邊同時除以2
  • 12:41 - 12:44
    就得到… 得到什麽？
  • 12:44 - 12:48
    得到3/2PV等於…
  • 12:48 - 12:49
    這很有趣
  • 12:49 - 12:53
    它等於N 也就是總粒子數
  • 12:53 - 12:57
    乘以mv2/2
  • 12:57 - 12:59
    記得 我剛剛通過
  • 12:59 - 13:01
    兩邊除以2得到了這個
  • 13:01 - 13:02
    我這樣做是有特殊原因的
  • 13:02 - 13:04
    mv2/2是什麽？
  • 13:04 - 13:09
    mv2/2是
  • 13:09 - 13:10
    這個例子開始時
  • 13:10 - 13:11
    那個粒子的動能
  • 13:11 - 13:13
    這是動能的表達
  • 13:13 - 13:19
    動能等於mv2/2
  • 13:19 - 13:28
    所以這是一個粒子的動能
  • 13:28 - 13:30
    然後我們把它乘以
  • 13:30 - 13:32
    總的粒子數
  • 13:32 - 13:33
    乘以N
  • 13:33 - 13:36
    所以N乘以一個粒子的動能
  • 13:36 - 13:37
    就是所有粒子的
  • 13:37 - 13:37
    動能
  • 13:37 - 13:39
    當然 我們也可以再作一個假設
  • 13:39 - 13:41
    我可以說 假設
  • 13:41 - 13:42
    所有的粒子
  • 13:42 - 13:44
    運動速度相同 並且質量相等
  • 13:44 - 13:45
    而實際中
  • 13:45 - 13:47
    粒子速度應該是不同的
  • 13:47 - 13:49
    但這是個爲了簡化的假設
  • 13:49 - 13:51
    那麽 假設它們的速度和質量相同
  • 13:51 - 13:53
    所以 如果我乘以N…
  • 13:53 - 13:54
    這部分
  • 13:54 - 14:01
    是係統的動能
  • 14:01 - 14:03
    快算好咯
  • 14:03 - 14:04
    實際上 已經算好啦
  • 14:04 - 14:06
    我們推出了
  • 14:06 - 14:08
    係統的動能
  • 14:08 - 14:12
    等於3/2乘以壓力
  • 14:12 - 14:13
    再乘以係統的體積
  • 14:13 - 14:16
    那麽係統的動能是什麽？
  • 14:16 - 14:17
    它就是熱力學能
  • 14:17 - 14:19
    因爲我們說過 係統中所有的能量
  • 14:19 - 14:22
    因爲它是簡單的理想單分子氣體
  • 14:22 - 14:23
    係統中所有的能量
  • 14:23 - 14:24
    都以動能的形式存在
  • 14:24 - 14:28
    所以我們可以說 係統的
  • 14:28 - 14:31
    係統的熱力學能等於
  • 14:31 - 14:33
    也就是係統的總動能
  • 14:33 - 14:37
    它等於 3/2乘以總壓力
  • 14:37 - 14:39
    乘以總體積
  • 14:39 - 14:40
    你可能會說 嘿 Sal
  • 14:40 - 14:42
    你剛剛只算出了這個方向的壓力
  • 14:42 - 14:44
    那麽 那個方向的壓力
  • 14:44 - 14:45
    和這個方向的 這個方向的
  • 14:45 - 14:46
    或者是整個立方體的壓力怎麽算
  • 14:46 - 14:48
    好吧 立方體內各處的壓力
  • 14:48 - 14:48
    都相等
  • 14:48 - 14:50
    所以我們只需要
  • 14:50 - 14:51
    算出一個方向的壓力
  • 14:51 - 14:52
    它就是
  • 14:52 - 14:53
    係統的壓力
  • 14:53 - 14:56
    所以接下來要怎麽做？
  • 14:56 - 14:58
    我們知道PV等於nRT
  • 14:58 - 15:00
    這是理想氣體方程
  • 15:00 - 15:05
    PV等於nRT
  • 15:05 - 15:07
    其中這個是氣體的物質的量
  • 15:07 - 15:09
    這是理想氣體常數
  • 15:09 - 15:10
    這是溫度 單位是克耳文
  • 15:10 - 15:12
    所以如果代入這個方程
  • 15:12 - 15:14
    我們會說 熱力學能
  • 15:14 - 15:15
    也可以寫成
  • 15:15 - 15:18
    3/2 乘以物質的量
  • 15:18 - 15:20
    乘以理想氣體常數
  • 15:20 - 15:22
    乘以溫度
  • 15:22 - 15:24
    好啦 我講了這麽多
  • 15:24 - 15:25
    還算了些數
  • 15:25 - 15:28
    但是這結果 第一 很有意思
  • 15:28 - 15:30
    因爲現在你就得到了它們的直接關係
  • 15:30 - 15:32
    如果已知壓力和體積
  • 15:32 - 15:36
    你就知道了熱力學能的大小
  • 15:36 - 15:38
    或者說係統的總動能
  • 15:38 - 15:40
    或者 如果你知道了溫度
  • 15:40 - 15:43
    和分子數量
  • 15:43 - 15:44
    也可以求出
  • 15:44 - 15:46
    係統的熱力學能大小
  • 15:46 - 15:47
    有幾個關鍵 我希望
  • 15:47 - 15:48
    你們能留下印象
  • 15:48 - 15:50
    如果在理想情況下
  • 15:50 - 15:52
    溫度不變
  • 15:52 - 15:56
    也就是ΔT等於0
  • 15:56 - 15:57
    這個常數也不變
  • 15:57 - 15:58
    粒子數也不會變
  • 15:58 - 16:03
    然後熱力學能也就不變
  • 16:03 - 16:06
    所以如果
  • 16:06 - 16:08
    熱力學能有變化…
  • 16:08 - 16:10
    以後的證明會用到這個
  • 16:10 - 16:11
    我們就可以說…
  • 16:11 - 16:16
    它等於 3/2nR再乘以…
  • 16:16 - 16:17
    呐 這是唯一能變的部分
  • 16:17 - 16:18
    不是粒子數
  • 16:18 - 16:20
    也不是理想氣體常數…
  • 16:20 - 16:21
    乘以T的變化
  • 16:21 - 16:24
    或者 它也可以寫成
  • 16:24 - 16:27
    3/2乘以ΔPV
  • 16:27 - 16:29
    我們不知道這兩個哪個是定值
  • 16:29 - 16:30
    所以必須說是PV的“積”的變化
  • 16:30 - 16:32
    好啦 這集算數比較多
  • 16:32 - 16:34
    我很抱歉
  • 16:34 - 16:35
    但是我希望
  • 16:35 - 16:37
    它給你了一點這樣的概念
  • 16:37 - 16:39
    這其實就是所有動能的總和
  • 16:39 - 16:40
    我們把它和
  • 16:40 - 16:42
    一些宏觀狀態函數聯係起來了
  • 16:42 - 16:44
    比如壓力 體積 和時間
  • 16:44 - 16:47
    接下來 既然我已經做了一集證明
  • 16:47 - 16:51
    我們以後可以直接用它證明別的
  • 16:48 - 16:50
    【字幕組】Eureka與Bazinga聯合制作
  • 16:50 - 16:52
    【翻譯】summerwind【時間軸】凡神
  • 16:51 - 16:53
    若果真如此 至少你不會抱怨太多
  • 16:52 - 16:54
    【校對】Bowie Vegetable Trazom
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    無論如何 下集見咯
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Title:
Proof: U=(3/2)PV or U=(3/2)nRT
Description:

Conceptual proof that the internal energy of an ideal gas system is 3/2 PV.
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Video Language:
English
Duration:
16:56
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

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