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【字幕組】Eureka與Bazinga聯合制作
【翻譯】summerwind【時間軸】凡神
【校對】Bowie Vegetable Trazom
我提過好幾次
這個大寫的U
就是係統的熱力學能
而且係統的什麽能量都包含在裏頭
它包括分子的動能
如果分子在震動
它就包括勢能
它還包括化學鍵能
它也包括每個想要亂動的
電子的勢能
不過 對我們而言
特別是如果我們在學入門級的
化學、物理 或者熱力學課程時
我們就假定
討論的係統是
理想氣體係統
甚至更進一步
氣體是單分子理想氣體
所以係統中的所有東西
都是單獨的原子
因此這時
係統中唯一的能量
就是每個粒子的
動能
所以我這集要做的是…
可能會有點難算
但是我覺得堅持到最後
就會發現很值得
我這集要說明
定壓 定容 或定溫係統中
熱力學能的多少
所以我要把壓力 體積 或者溫度
和熱力學能聯係起來
注意啦 目前的課程中
我只講過熱力學能的增量
我們可以把它和
係統吸收或放出的熱量聯係起來
還有環境對係統做的功
或者係統對環境做的功 但是現在
假設在有功或熱量的變化之前
我們怎麽才能知道一個係統中
熱力學能的大小？
爲了算出它
我們來做一個小的思維實驗
我會在這裡化簡一下
不過我覺得你可以接受
還可能挺喜歡
比方說
我畫一個
一個正方體
有種感覺告訴我
我好像已經在物理課中做過
這個近似證明了
雖然 我覺得我
沒有確切把它和熱力學能聯係起來
不過我會搞定的
假設係統就是這個正方體
然後正方體的每個邊長
都是x
所以它長x 寬x 高x
所以它的體積就是x的3次方
假設係統中有n個粒子
大寫的N
我也可以寫成小寫的n mol
但是我們簡單點來
有N個粒子
它們自由運動
接下來
我馬上要做一步簡化
但是我認爲這樣做很合理
所以在正常係統中 每個粒子
我之前已經說過了
它們朝著各個方向碰撞
任意地朝著四面八方碰撞
然後…
當它們撞擊容器壁的時候
就産生了壓力
它們也經常相互碰撞
等等 等等
四面八方
現在 爲了簡化數學計算
這樣就可以
很快算出來
我要做一個假設
我假設
1/3的粒子都會…
好吧 1/3的粒子
都沿著軸線運動
所以1/3的粒子
都沿著這個方向移動
我覺得可以說是 從左到右
而1/3的粒子上下運動
然後1/3的粒子
前後運動
我們知道這並不是事實
但是它會使計算非常簡便
如果你真的想要做向四面八方的
所有粒子的熱力學統計
其實你最後也會
會得到同樣的結果
這麽說
我覺得這是個非常大膽的簡化
我們遇到
這樣的係統的機率
無限小
我們一會兒會講到熵
以及這機率非常小的原因
但是我們的係統可以被這樣簡化
這個係統可以産生壓力
它使計算簡化了不少
利用前面的條件 開始分析係統吧
從側面觀察
從這邊觀察
我們先來看一個粒子
或許我應該用綠色的
比如有一個粒子
它質量是m 速度爲v
這是係統中N個粒子之一
我想要知道的是這個粒子
對這個容器壁施加的壓力是多少？
我們知道壁的面積 對嘛？
壁的面積是x乘以x
所以是x2
這個粒子所施加的力是多少？
這樣想
它向前運動
或者說向右運動
當它的動量改變的時候
就施加了力
我這裡小複習一下動力學
我們知道力等於
質量乘加速度
我們知道加速度等於…
也就是等於質量乘以
速度的變化比上時間的變化
當然
我知道它被整理成
它等於――
質量是常量
我們要改變的量不影響質量
所以是Δ
我們可以把它放到變化量裏面去
所以是Δmv除以ΔT
那麽就是動量的變化 對嘛？
所以它等於
動量的變化除以時間的變化
這是力的另一種表達
所以這個粒子的動量變化
是多少？
它會撞擊容器壁
現在 在這個方向
它有一些動量
它的動量等於mv
它會撞擊這個容器壁
然後直接彈回來
所以它的動量是多少？
它的質量和速度
大小不變
我們假設它是完全彈性衝擊
沒有熱量或其他損失
但是速度的方向改變了
新的動量就是-mv
因爲速度的方向改變了
現在 如果我開始動量是mv
然後彈回來的動量是-mv
動量的變化是多少？
動量的變化
在彈回來之後 就等於…
等於它們的差
也就是2mv
嗯 這還得不到力
我需要知道
每單位時間動量的變化
碰撞多久發生一次？
頻率是多少？
每次運動到這裡都會碰撞
每次都會撞擊容器壁
然後粒子會回到這裡來
撞擊那個容器壁
然後回來再撞擊
所以這就是它發生的頻率
那麽兩次碰撞之間
我們需要等多久？
粒子一次要運動x距離
它會碰撞
然後運動x距離到左邊
距離是x
我換個不同的顏色
這裡的距離是x
它需要運動x距離再回來
然後再運動x距離 回來
所以 它需要移動2x
移動2x的距離需要多久？
時間 ΔT
就等於 我們知道
距離等於速率乘以時間
如果距離除以速率
就得到了所需時間
這是基本運動方程
那ΔT
移動的距離是一個來回
所以是2x 除以
速率是多少？
速率就是速度的大小
除以v
出來咯
這就是我們的ΔT
因此單位時間的動量變化
等於2倍入射動量
因爲以同樣的速率彈回來了
不過是負的動量
那麽這就是動量的變化
然後 時間的變化是這個值
它就是粒子在兩邊之間
來回一次的距離
除以速度
所以就是 2x/v
就等於2mv乘以它的倒數…
分數性質
就是v/2x
等於什麽？
2被約掉了
所以就等於mv2/x
有趣吧
我們已經來到有意思的部分了
但是如果你還覺得還不夠
那麽等我一下
這是一個粒子所施加的力
這是…
一個粒子施加在一面容器壁上的力
面積是多少？
我們在意的是壓力
我們寫在上面了
壓力等於單位面積上的力
這是粒子所施加的力
也就是mv2/x
除以容器壁的面積
壁面積是多少？
壁的面積 每個邊長都是x
所以如果是這個壁面 是x乘以x
是x2
所以除以容器壁的面積x2
它等於什麽？
等於mv2/x3
你可以說
這是乘以1/x2
這一堆變成x3
這就是分數的性質
有意思的部分來了
這一個粒子産生的壓力
設是這一粒子産生的
等於mv2/x3
x3是什麽？
那是容器的容積
除以體積
我把體積表示成大V 好嘛？
看看我們能不能
導出有趣的東西來
所以它的意義就是
這個粒子産生的壓力…
嗯 我換個方式
這是一個粒子對一面容器壁 對嘛？
這是這個容器壁的一個粒子
那麽 所有的粒子…
在立方體中有N個粒子
它們之中有多少
會撞擊這個容器壁？
有多少會
和這個粒子一樣來回撞擊？
我說過了
1/3的粒子會在這個方向上運動
1/3的粒子上下運動
1/3的粒子前後移動
如果總共有N個粒子
N/3個粒子的運動方式
和這個粒子的相同
這是一個粒子的壓力
如果我想知道
整個容器壁的壓力
那麽壁面上的總壓力
是由N/3個粒子引起的
其余的粒子沒有撞擊這裡
所以我們不用考慮他們
所以如果我們要算總壓力
我就寫 PW壁的壓力
壁的總壓力PW就等於
一個粒子産生的壓力
mv2 除以V
乘以 撞擊壁面的
粒子的總數
粒子的總數是N/3
因爲只有1/3的粒子是這個方向的
所以壁面上的總壓力
就等於mv2
除以容器的體積
乘以粒子的總數除以3
看看我們能不能整理一下
所以如果我們把兩邊都乘以…
怎麽辦好呢
如果兩邊同時乘以3V
得到PV乘以3 等於
mv2乘以N
其中N是粒子的總數
再兩邊同時除以N
所以就得到3PV除以…
還是不要了 N留在這裡吧
方程兩邊同時除以2
就得到… 得到什麽？
得到3/2PV等於…
這很有趣
它等於N 也就是總粒子數
乘以mv2/2
記得 我剛剛通過
兩邊除以2得到了這個
我這樣做是有特殊原因的
mv2/2是什麽？
mv2/2是
這個例子開始時
那個粒子的動能
這是動能的表達
動能等於mv2/2
所以這是一個粒子的動能
然後我們把它乘以
總的粒子數
乘以N
所以N乘以一個粒子的動能
就是所有粒子的
動能
當然 我們也可以再作一個假設
我可以說 假設
所有的粒子
運動速度相同 並且質量相等
而實際中
粒子速度應該是不同的
但這是個爲了簡化的假設
那麽 假設它們的速度和質量相同
所以 如果我乘以N…
這部分
是係統的動能
快算好咯
實際上 已經算好啦
我們推出了
係統的動能
等於3/2乘以壓力
再乘以係統的體積
那麽係統的動能是什麽？
它就是熱力學能
因爲我們說過 係統中所有的能量
因爲它是簡單的理想單分子氣體
係統中所有的能量
都以動能的形式存在
所以我們可以說 係統的
係統的熱力學能等於
也就是係統的總動能
它等於 3/2乘以總壓力
乘以總體積
你可能會說 嘿 Sal
你剛剛只算出了這個方向的壓力
那麽 那個方向的壓力
和這個方向的 這個方向的
或者是整個立方體的壓力怎麽算
好吧 立方體內各處的壓力
都相等
所以我們只需要
算出一個方向的壓力
它就是
係統的壓力
所以接下來要怎麽做？
我們知道PV等於nRT
這是理想氣體方程
PV等於nRT
其中這個是氣體的物質的量
這是理想氣體常數
這是溫度 單位是克耳文
所以如果代入這個方程
我們會說 熱力學能
也可以寫成
3/2 乘以物質的量
乘以理想氣體常數
乘以溫度
好啦 我講了這麽多
還算了些數
但是這結果 第一 很有意思
因爲現在你就得到了它們的直接關係
如果已知壓力和體積
你就知道了熱力學能的大小
或者說係統的總動能
或者 如果你知道了溫度
和分子數量
也可以求出
係統的熱力學能大小
有幾個關鍵 我希望
你們能留下印象
如果在理想情況下
溫度不變
也就是ΔT等於0
這個常數也不變
粒子數也不會變
然後熱力學能也就不變
所以如果
熱力學能有變化…
以後的證明會用到這個
我們就可以說…
它等於 3/2nR再乘以…
呐 這是唯一能變的部分
不是粒子數
也不是理想氣體常數…
乘以T的變化
或者 它也可以寫成
3/2乘以ΔPV
我們不知道這兩個哪個是定值
所以必須說是PV的“積”的變化
好啦 這集算數比較多
我很抱歉
但是我希望
它給你了一點這樣的概念
這其實就是所有動能的總和
我們把它和
一些宏觀狀態函數聯係起來了
比如壓力 體積 和時間
接下來 既然我已經做了一集證明
我們以後可以直接用它證明別的
若果真如此 至少你不會抱怨太多
無論如何 下集見咯