WEBVTT

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00:16:48.000 --> 00:16:50.000
【字幕組】Eureka與Bazinga聯合制作

00:16:50.000 --> 00:16:52.000
【翻譯】summerwind【時間軸】凡神

00:16:52.000 --> 00:16:54.000
【校對】Bowie Vegetable Trazom

00:00:00.710 --> 00:00:02.370
我提過好幾次

00:00:02.380 --> 00:00:05.260
這個大寫的U

00:00:05.270 --> 00:00:07.540
就是係統的熱力學能

00:00:07.550 --> 00:00:10.200
而且係統的什麽能量都包含在裏頭

00:00:10.200 --> 00:00:12.550
它包括分子的動能

00:00:12.550 --> 00:00:13.910
如果分子在震動

00:00:13.910 --> 00:00:15.700
它就包括勢能

00:00:15.700 --> 00:00:19.660
它還包括化學鍵能

00:00:19.660 --> 00:00:21.470
它也包括每個想要亂動的

00:00:21.470 --> 00:00:22.530
電子的勢能

00:00:22.540 --> 00:00:24.160
不過 對我們而言

00:00:24.170 --> 00:00:26.570
特別是如果我們在學入門級的

00:00:26.580 --> 00:00:29.610
化學、物理 或者熱力學課程時

00:00:29.610 --> 00:00:30.900
我們就假定

00:00:30.910 --> 00:00:32.300
討論的係統是

00:00:32.310 --> 00:00:33.560
理想氣體係統

00:00:33.560 --> 00:00:34.210
甚至更進一步

00:00:34.220 --> 00:00:38.570
氣體是單分子理想氣體

00:00:38.570 --> 00:00:40.110
所以係統中的所有東西

00:00:40.120 --> 00:00:42.520
都是單獨的原子

00:00:42.530 --> 00:00:44.080
因此這時

00:00:44.080 --> 00:00:45.800
係統中唯一的能量

00:00:45.800 --> 00:00:47.230
就是每個粒子的

00:00:47.240 --> 00:00:49.270
動能

00:00:49.280 --> 00:00:50.780
所以我這集要做的是…

00:00:50.790 --> 00:00:51.980
可能會有點難算

00:00:51.990 --> 00:00:53.600
但是我覺得堅持到最後

00:00:53.600 --> 00:00:55.600
就會發現很值得

00:00:55.610 --> 00:00:57.490
我這集要說明

00:00:57.500 --> 00:00:59.700
定壓 定容 或定溫係統中

00:00:59.710 --> 00:01:02.730
熱力學能的多少

00:01:02.740 --> 00:01:05.570
所以我要把壓力 體積 或者溫度

00:01:05.570 --> 00:01:07.230
和熱力學能聯係起來

00:01:07.240 --> 00:01:10.330
注意啦 目前的課程中

00:01:10.340 --> 00:01:12.830
我只講過熱力學能的增量

00:01:12.840 --> 00:01:13.710
我們可以把它和

00:01:13.720 --> 00:01:16.320
係統吸收或放出的熱量聯係起來

00:01:16.330 --> 00:01:18.750
還有環境對係統做的功

00:01:18.760 --> 00:01:20.200
或者係統對環境做的功 但是現在

00:01:20.200 --> 00:01:22.010
假設在有功或熱量的變化之前

00:01:22.020 --> 00:01:24.030
我們怎麽才能知道一個係統中

00:01:24.040 --> 00:01:25.080
熱力學能的大小？

00:01:25.090 --> 00:01:26.620
爲了算出它

00:01:26.630 --> 00:01:29.710
我們來做一個小的思維實驗

00:01:29.720 --> 00:01:33.680
我會在這裡化簡一下

00:01:33.680 --> 00:01:36.440
不過我覺得你可以接受

00:01:36.450 --> 00:01:37.700
還可能挺喜歡

00:01:37.710 --> 00:01:38.940
比方說

00:01:38.950 --> 00:01:40.770
我畫一個

00:01:40.780 --> 00:01:42.020
一個正方體

00:01:42.030 --> 00:01:42.940
有種感覺告訴我

00:01:42.950 --> 00:01:45.830
我好像已經在物理課中做過

00:01:45.830 --> 00:01:47.050
這個近似證明了

00:01:47.060 --> 00:01:47.540
雖然 我覺得我

00:01:47.550 --> 00:01:49.480
沒有確切把它和熱力學能聯係起來

00:01:49.480 --> 00:01:51.040
不過我會搞定的

00:01:51.050 --> 00:01:54.400
假設係統就是這個正方體

00:01:55.710 --> 00:01:58.250
然後正方體的每個邊長

00:01:58.260 --> 00:02:00.230
都是x

00:02:00.240 --> 00:02:04.350
所以它長x 寬x 高x

00:02:04.360 --> 00:02:07.510
所以它的體積就是x的3次方

00:02:07.520 --> 00:02:09.870
假設係統中有n個粒子

00:02:09.870 --> 00:02:12.310
大寫的N

00:02:12.310 --> 00:02:14.820
我也可以寫成小寫的n mol

00:02:14.820 --> 00:02:16.300
但是我們簡單點來

00:02:16.300 --> 00:02:17.440
有N個粒子

00:02:19.280 --> 00:02:23.790
它們自由運動

00:02:23.790 --> 00:02:24.700
接下來

00:02:24.700 --> 00:02:26.980
我馬上要做一步簡化

00:02:26.990 --> 00:02:28.380
但是我認爲這樣做很合理

00:02:28.390 --> 00:02:30.820
所以在正常係統中 每個粒子

00:02:30.830 --> 00:02:31.780
我之前已經說過了

00:02:31.790 --> 00:02:34.040
它們朝著各個方向碰撞

00:02:34.050 --> 00:02:36.050
任意地朝著四面八方碰撞

00:02:36.060 --> 00:02:37.160
然後…

00:02:37.160 --> 00:02:39.380
當它們撞擊容器壁的時候

00:02:39.390 --> 00:02:41.390
就産生了壓力

00:02:41.390 --> 00:02:43.160
它們也經常相互碰撞

00:02:43.170 --> 00:02:43.860
等等 等等

00:02:43.860 --> 00:02:45.100
四面八方

00:02:45.100 --> 00:02:48.330
現在 爲了簡化數學計算

00:02:48.340 --> 00:02:49.460
這樣就可以

00:02:49.470 --> 00:02:51.360
很快算出來

00:02:51.370 --> 00:02:52.860
我要做一個假設

00:02:52.860 --> 00:02:54.410
我假設

00:02:54.420 --> 00:02:56.940
1/3的粒子都會…

00:02:56.950 --> 00:02:59.970
好吧 1/3的粒子

00:02:59.980 --> 00:03:01.950
都沿著軸線運動

00:03:01.950 --> 00:03:03.280
所以1/3的粒子

00:03:03.290 --> 00:03:05.990
都沿著這個方向移動

00:03:06.000 --> 00:03:09.610
我覺得可以說是 從左到右

00:03:09.620 --> 00:03:17.250
而1/3的粒子上下運動

00:03:17.250 --> 00:03:19.050
然後1/3的粒子

00:03:19.060 --> 00:03:22.120
前後運動

00:03:22.130 --> 00:03:24.570
我們知道這並不是事實

00:03:24.570 --> 00:03:26.260
但是它會使計算非常簡便

00:03:26.270 --> 00:03:29.850
如果你真的想要做向四面八方的

00:03:29.850 --> 00:03:31.980
所有粒子的熱力學統計

00:03:31.990 --> 00:03:33.220
其實你最後也會

00:03:33.230 --> 00:03:34.080
會得到同樣的結果

00:03:34.090 --> 00:03:35.140
這麽說

00:03:35.150 --> 00:03:36.640
我覺得這是個非常大膽的簡化

00:03:36.650 --> 00:03:39.440
我們遇到

00:03:39.450 --> 00:03:41.890
這樣的係統的機率

00:03:41.890 --> 00:03:43.180
無限小

00:03:43.190 --> 00:03:44.630
我們一會兒會講到熵

00:03:44.640 --> 00:03:46.200
以及這機率非常小的原因

00:03:46.210 --> 00:03:48.340
但是我們的係統可以被這樣簡化

00:03:48.350 --> 00:03:49.860
這個係統可以産生壓力

00:03:49.860 --> 00:03:51.210
它使計算簡化了不少

00:03:51.210 --> 00:03:53.400
利用前面的條件 開始分析係統吧

00:03:53.410 --> 00:03:55.940
從側面觀察

00:03:55.950 --> 00:03:59.050
從這邊觀察

00:03:59.060 --> 00:04:03.330
我們先來看一個粒子

00:04:03.330 --> 00:04:05.120
或許我應該用綠色的

00:04:05.140 --> 00:04:06.920
比如有一個粒子

00:04:06.930 --> 00:04:16.290
它質量是m 速度爲v

00:04:16.300 --> 00:04:21.710
這是係統中N個粒子之一

00:04:21.710 --> 00:04:24.140
我想要知道的是這個粒子

00:04:24.140 --> 00:04:30.290
對這個容器壁施加的壓力是多少？

00:04:30.290 --> 00:04:34.340
我們知道壁的面積 對嘛？

00:04:34.350 --> 00:04:36.890
壁的面積是x乘以x

00:04:36.900 --> 00:04:39.740
所以是x2

00:04:39.750 --> 00:04:43.170
這個粒子所施加的力是多少？

00:04:43.180 --> 00:04:45.090
這樣想

00:04:45.100 --> 00:04:46.210
它向前運動

00:04:46.220 --> 00:04:48.010
或者說向右運動

00:04:48.010 --> 00:04:49.230
當它的動量改變的時候

00:04:49.230 --> 00:04:51.000
就施加了力

00:04:51.010 --> 00:04:53.570
我這裡小複習一下動力學

00:04:53.580 --> 00:04:56.400
我們知道力等於

00:04:56.410 --> 00:04:59.040
質量乘加速度

00:04:59.050 --> 00:05:01.510
我們知道加速度等於…

00:05:01.520 --> 00:05:04.780
也就是等於質量乘以

00:05:04.780 --> 00:05:10.290
速度的變化比上時間的變化

00:05:10.290 --> 00:05:11.170
當然

00:05:11.180 --> 00:05:12.390
我知道它被整理成

00:05:12.400 --> 00:05:13.760
它等於――

00:05:13.770 --> 00:05:14.880
質量是常量

00:05:14.890 --> 00:05:17.260
我們要改變的量不影響質量

00:05:17.270 --> 00:05:18.670
所以是Δ

00:05:18.670 --> 00:05:20.170
我們可以把它放到變化量裏面去

00:05:20.170 --> 00:05:23.590
所以是Δmv除以ΔT

00:05:23.600 --> 00:05:26.660
那麽就是動量的變化 對嘛？

00:05:26.670 --> 00:05:27.790
所以它等於

00:05:27.800 --> 00:05:30.980
動量的變化除以時間的變化

00:05:30.990 --> 00:05:32.560
這是力的另一種表達

00:05:32.570 --> 00:05:35.020
所以這個粒子的動量變化

00:05:35.030 --> 00:05:35.790
是多少？

00:05:35.800 --> 00:05:37.900
它會撞擊容器壁

00:05:37.900 --> 00:05:39.500
現在 在這個方向

00:05:39.510 --> 00:05:40.400
它有一些動量

00:05:40.410 --> 00:05:42.980
它的動量等於mv

00:05:42.990 --> 00:05:45.190
它會撞擊這個容器壁

00:05:45.200 --> 00:05:46.830
然後直接彈回來

00:05:46.830 --> 00:05:49.110
所以它的動量是多少？

00:05:49.110 --> 00:05:50.930
它的質量和速度

00:05:50.940 --> 00:05:52.340
大小不變

00:05:52.350 --> 00:05:54.380
我們假設它是完全彈性衝擊

00:05:54.380 --> 00:05:56.000
沒有熱量或其他損失

00:05:56.010 --> 00:05:58.210
但是速度的方向改變了

00:05:58.220 --> 00:06:01.190
新的動量就是-mv

00:06:01.200 --> 00:06:03.740
因爲速度的方向改變了

00:06:03.750 --> 00:06:07.890
現在 如果我開始動量是mv

00:06:07.900 --> 00:06:10.480
然後彈回來的動量是-mv

00:06:10.480 --> 00:06:12.320
動量的變化是多少？

00:06:12.330 --> 00:06:15.090
動量的變化

00:06:15.090 --> 00:06:17.270
在彈回來之後 就等於…

00:06:17.280 --> 00:06:19.380
等於它們的差

00:06:19.390 --> 00:06:22.470
也就是2mv

00:06:22.470 --> 00:06:24.400
嗯 這還得不到力

00:06:24.410 --> 00:06:24.840
我需要知道

00:06:24.850 --> 00:06:32.150
每單位時間動量的變化

00:06:32.160 --> 00:06:33.900
碰撞多久發生一次？

00:06:33.910 --> 00:06:34.540
頻率是多少？

00:06:34.550 --> 00:06:39.160
每次運動到這裡都會碰撞

00:06:39.160 --> 00:06:40.280
每次都會撞擊容器壁

00:06:40.290 --> 00:06:41.560
然後粒子會回到這裡來

00:06:41.560 --> 00:06:42.470
撞擊那個容器壁

00:06:42.480 --> 00:06:45.210
然後回來再撞擊

00:06:45.220 --> 00:06:47.120
所以這就是它發生的頻率

00:06:47.120 --> 00:06:49.330
那麽兩次碰撞之間

00:06:49.330 --> 00:06:51.890
我們需要等多久？

00:06:51.900 --> 00:06:55.350
粒子一次要運動x距離

00:06:55.360 --> 00:06:56.510
它會碰撞

00:06:56.510 --> 00:06:58.260
然後運動x距離到左邊

00:06:58.270 --> 00:06:59.820
距離是x

00:06:59.830 --> 00:07:01.510
我換個不同的顏色

00:07:01.520 --> 00:07:04.720
這裡的距離是x

00:07:04.730 --> 00:07:07.430
它需要運動x距離再回來

00:07:07.440 --> 00:07:08.870
然後再運動x距離 回來

00:07:08.880 --> 00:07:11.320
所以 它需要移動2x

00:07:11.330 --> 00:07:14.430
移動2x的距離需要多久？

00:07:14.430 --> 00:07:16.890
時間 ΔT

00:07:16.900 --> 00:07:19.330
就等於 我們知道

00:07:19.340 --> 00:07:22.520
距離等於速率乘以時間

00:07:22.520 --> 00:07:28.420
如果距離除以速率

00:07:28.420 --> 00:07:30.390
就得到了所需時間

00:07:30.400 --> 00:07:33.730
這是基本運動方程

00:07:33.740 --> 00:07:34.760
那ΔT

00:07:34.770 --> 00:07:36.960
移動的距離是一個來回

00:07:36.970 --> 00:07:39.670
所以是2x 除以

00:07:39.680 --> 00:07:40.850
速率是多少？

00:07:40.860 --> 00:07:42.560
速率就是速度的大小

00:07:42.560 --> 00:07:47.150
除以v

00:07:47.160 --> 00:07:48.270
出來咯

00:07:48.270 --> 00:07:49.890
這就是我們的ΔT

00:07:49.890 --> 00:07:58.570
因此單位時間的動量變化

00:07:58.570 --> 00:08:04.730
等於2倍入射動量

00:08:04.730 --> 00:08:07.590
因爲以同樣的速率彈回來了

00:08:07.600 --> 00:08:08.480
不過是負的動量

00:08:08.490 --> 00:08:09.630
那麽這就是動量的變化

00:08:09.640 --> 00:08:12.270
然後 時間的變化是這個值

00:08:12.280 --> 00:08:14.940
它就是粒子在兩邊之間

00:08:14.940 --> 00:08:16.590
來回一次的距離

00:08:16.600 --> 00:08:18.460
除以速度

00:08:18.460 --> 00:08:23.340
所以就是 2x/v

00:08:23.350 --> 00:08:29.130
就等於2mv乘以它的倒數…

00:08:29.140 --> 00:08:31.320
分數性質

00:08:31.330 --> 00:08:32.950
就是v/2x

00:08:32.950 --> 00:08:34.040
等於什麽？

00:08:34.040 --> 00:08:35.540
2被約掉了

00:08:35.550 --> 00:08:41.210
所以就等於mv2/x

00:08:41.220 --> 00:08:42.570
有趣吧

00:08:42.580 --> 00:08:45.160
我們已經來到有意思的部分了

00:08:45.160 --> 00:08:46.800
但是如果你還覺得還不夠

00:08:46.800 --> 00:08:48.280
那麽等我一下

00:08:48.290 --> 00:08:52.030
這是一個粒子所施加的力

00:08:52.040 --> 00:08:53.000
這是…

00:08:53.010 --> 00:09:02.290
一個粒子施加在一面容器壁上的力

00:09:02.290 --> 00:09:03.990
面積是多少？

00:09:04.000 --> 00:09:11.630
我們在意的是壓力

00:09:11.640 --> 00:09:13.550
我們寫在上面了

00:09:13.560 --> 00:09:17.440
壓力等於單位面積上的力

00:09:17.450 --> 00:09:24.180
這是粒子所施加的力

00:09:24.180 --> 00:09:27.800
也就是mv2/x

00:09:27.810 --> 00:09:29.850
除以容器壁的面積

00:09:29.850 --> 00:09:31.090
壁面積是多少？

00:09:31.090 --> 00:09:35.360
壁的面積 每個邊長都是x

00:09:35.370 --> 00:09:37.890
所以如果是這個壁面 是x乘以x

00:09:37.900 --> 00:09:38.820
是x2

00:09:38.830 --> 00:09:43.080
所以除以容器壁的面積x2

00:09:43.090 --> 00:09:44.300
它等於什麽？

00:09:44.300 --> 00:09:51.830
等於mv2/x3

00:09:51.840 --> 00:09:53.080
你可以說

00:09:53.080 --> 00:09:54.680
這是乘以1/x2

00:09:54.680 --> 00:09:55.990
這一堆變成x3

00:09:56.000 --> 00:09:57.150
這就是分數的性質

00:09:57.160 --> 00:09:59.000
有意思的部分來了

00:09:59.000 --> 00:10:05.620
這一個粒子産生的壓力

00:10:05.630 --> 00:10:10.210
設是這一粒子産生的

00:10:10.210 --> 00:10:16.770
等於mv2/x3

00:10:16.780 --> 00:10:17.880
x3是什麽？

00:10:17.890 --> 00:10:20.470
那是容器的容積

00:10:20.480 --> 00:10:22.370
除以體積

00:10:22.380 --> 00:10:26.850
我把體積表示成大V 好嘛？

00:10:26.860 --> 00:10:28.350
看看我們能不能

00:10:28.350 --> 00:10:29.640
導出有趣的東西來

00:10:29.640 --> 00:10:30.720
所以它的意義就是

00:10:30.730 --> 00:10:33.910
這個粒子産生的壓力…

00:10:33.910 --> 00:10:36.470
嗯 我換個方式

00:10:36.480 --> 00:10:39.150
這是一個粒子對一面容器壁 對嘛？

00:10:39.160 --> 00:10:40.850
這是這個容器壁的一個粒子

00:10:40.860 --> 00:10:42.600
那麽 所有的粒子…

00:10:42.600 --> 00:10:45.850
在立方體中有N個粒子

00:10:45.860 --> 00:10:47.190
它們之中有多少

00:10:47.200 --> 00:10:49.350
會撞擊這個容器壁？

00:10:49.360 --> 00:10:49.600
有多少會

00:10:49.600 --> 00:10:52.150
和這個粒子一樣來回撞擊？

00:10:52.150 --> 00:10:53.830
我說過了

00:10:53.840 --> 00:10:55.470
1/3的粒子會在這個方向上運動

00:10:55.480 --> 00:10:56.850
1/3的粒子上下運動

00:10:56.860 --> 00:10:58.880
1/3的粒子前後移動

00:10:58.890 --> 00:11:01.120
如果總共有N個粒子

00:11:01.120 --> 00:11:03.640
N/3個粒子的運動方式

00:11:03.650 --> 00:11:06.400
和這個粒子的相同

00:11:06.410 --> 00:11:10.490
這是一個粒子的壓力

00:11:10.490 --> 00:11:11.520
如果我想知道

00:11:11.520 --> 00:11:13.240
整個容器壁的壓力

00:11:13.250 --> 00:11:15.320
那麽壁面上的總壓力

00:11:15.330 --> 00:11:18.160
是由N/3個粒子引起的

00:11:18.170 --> 00:11:20.040
其余的粒子沒有撞擊這裡

00:11:20.050 --> 00:11:21.120
所以我們不用考慮他們

00:11:21.130 --> 00:11:25.770
所以如果我們要算總壓力

00:11:25.780 --> 00:11:29.120
我就寫 PW壁的壓力

00:11:29.130 --> 00:11:30.670
壁的總壓力PW就等於

00:11:30.680 --> 00:11:33.130
一個粒子産生的壓力

00:11:33.140 --> 00:11:36.240
mv2 除以V

00:11:36.240 --> 00:11:37.900
乘以 撞擊壁面的

00:11:37.910 --> 00:11:39.150
粒子的總數

00:11:39.150 --> 00:11:44.630
粒子的總數是N/3

00:11:44.630 --> 00:11:46.570
因爲只有1/3的粒子是這個方向的

00:11:46.580 --> 00:11:49.200
所以壁面上的總壓力

00:11:49.200 --> 00:11:50.880
就等於mv2

00:11:50.890 --> 00:11:52.290
除以容器的體積

00:11:52.300 --> 00:11:54.210
乘以粒子的總數除以3

00:11:54.210 --> 00:11:56.850
看看我們能不能整理一下

00:11:56.860 --> 00:12:01.480
所以如果我們把兩邊都乘以…

00:12:01.490 --> 00:12:02.830
怎麽辦好呢

00:12:02.840 --> 00:12:07.820
如果兩邊同時乘以3V

00:12:07.830 --> 00:12:14.940
得到PV乘以3 等於

00:12:14.940 --> 00:12:19.840
mv2乘以N

00:12:19.840 --> 00:12:21.970
其中N是粒子的總數

00:12:21.980 --> 00:12:23.440
再兩邊同時除以N

00:12:23.440 --> 00:12:31.030
所以就得到3PV除以…

00:12:31.040 --> 00:12:34.140
還是不要了 N留在這裡吧

00:12:34.150 --> 00:12:40.890
方程兩邊同時除以2

00:12:40.890 --> 00:12:43.610
就得到… 得到什麽？

00:12:43.610 --> 00:12:48.050
得到3/2PV等於…

00:12:48.060 --> 00:12:49.450
這很有趣

00:12:49.460 --> 00:12:52.780
它等於N 也就是總粒子數

00:12:52.790 --> 00:12:57.270
乘以mv2/2

00:12:57.280 --> 00:12:58.740
記得 我剛剛通過

00:12:58.750 --> 00:13:00.830
兩邊除以2得到了這個

00:13:00.830 --> 00:13:02.440
我這樣做是有特殊原因的

00:13:02.440 --> 00:13:04.320
mv2/2是什麽？

00:13:04.330 --> 00:13:08.810
mv2/2是

00:13:08.820 --> 00:13:09.700
這個例子開始時

00:13:09.710 --> 00:13:11.060
那個粒子的動能

00:13:11.060 --> 00:13:12.840
這是動能的表達

00:13:12.840 --> 00:13:18.860
動能等於mv2/2

00:13:18.870 --> 00:13:28.230
所以這是一個粒子的動能

00:13:28.240 --> 00:13:29.810
然後我們把它乘以

00:13:29.810 --> 00:13:32.010
總的粒子數

00:13:32.020 --> 00:13:32.810
乘以N

00:13:32.820 --> 00:13:35.660
所以N乘以一個粒子的動能

00:13:35.660 --> 00:13:36.580
就是所有粒子的

00:13:36.580 --> 00:13:37.460
動能

00:13:37.460 --> 00:13:39.380
當然 我們也可以再作一個假設

00:13:39.380 --> 00:13:40.550
我可以說 假設

00:13:40.560 --> 00:13:41.560
所有的粒子

00:13:41.570 --> 00:13:43.600
運動速度相同 並且質量相等

00:13:43.600 --> 00:13:44.900
而實際中

00:13:44.910 --> 00:13:46.970
粒子速度應該是不同的

00:13:46.970 --> 00:13:49.210
但這是個爲了簡化的假設

00:13:49.210 --> 00:13:51.020
那麽 假設它們的速度和質量相同

00:13:51.030 --> 00:13:52.510
所以 如果我乘以N…

00:13:52.510 --> 00:13:54.280
這部分

00:13:54.290 --> 00:14:00.880
是係統的動能

00:14:00.880 --> 00:14:03.240
快算好咯

00:14:03.240 --> 00:14:04.220
實際上 已經算好啦

00:14:04.220 --> 00:14:05.560
我們推出了

00:14:05.570 --> 00:14:08.000
係統的動能

00:14:08.010 --> 00:14:11.660
等於3/2乘以壓力

00:14:11.670 --> 00:14:13.340
再乘以係統的體積

00:14:13.350 --> 00:14:15.880
那麽係統的動能是什麽？

00:14:15.880 --> 00:14:17.380
它就是熱力學能

00:14:17.390 --> 00:14:19.070
因爲我們說過 係統中所有的能量

00:14:19.080 --> 00:14:21.650
因爲它是簡單的理想單分子氣體

00:14:21.660 --> 00:14:23.340
係統中所有的能量

00:14:23.350 --> 00:14:24.430
都以動能的形式存在

00:14:24.430 --> 00:14:27.910
所以我們可以說 係統的

00:14:27.910 --> 00:14:31.320
係統的熱力學能等於

00:14:31.320 --> 00:14:33.240
也就是係統的總動能

00:14:33.240 --> 00:14:37.260
它等於 3/2乘以總壓力

00:14:37.270 --> 00:14:38.800
乘以總體積

00:14:38.810 --> 00:14:39.810
你可能會說 嘿 Sal

00:14:39.820 --> 00:14:42.280
你剛剛只算出了這個方向的壓力

00:14:42.290 --> 00:14:43.520
那麽 那個方向的壓力

00:14:43.520 --> 00:14:44.600
和這個方向的 這個方向的

00:14:44.610 --> 00:14:45.800
或者是整個立方體的壓力怎麽算

00:14:45.810 --> 00:14:47.500
好吧 立方體內各處的壓力

00:14:47.500 --> 00:14:48.330
都相等

00:14:48.340 --> 00:14:49.640
所以我們只需要

00:14:49.640 --> 00:14:51.160
算出一個方向的壓力

00:14:51.160 --> 00:14:51.930
它就是

00:14:51.940 --> 00:14:53.040
係統的壓力

00:14:53.050 --> 00:14:55.650
所以接下來要怎麽做？

00:14:55.660 --> 00:14:57.860
我們知道PV等於nRT

00:14:57.870 --> 00:15:00.100
這是理想氣體方程

00:15:00.120 --> 00:15:04.810
PV等於nRT

00:15:04.820 --> 00:15:06.510
其中這個是氣體的物質的量

00:15:06.510 --> 00:15:08.580
這是理想氣體常數

00:15:08.590 --> 00:15:10.200
這是溫度 單位是克耳文

00:15:10.200 --> 00:15:12.380
所以如果代入這個方程

00:15:12.390 --> 00:15:13.780
我們會說 熱力學能

00:15:13.790 --> 00:15:14.760
也可以寫成

00:15:14.770 --> 00:15:18.290
3/2 乘以物質的量

00:15:18.300 --> 00:15:19.600
乘以理想氣體常數

00:15:19.610 --> 00:15:21.600
乘以溫度

00:15:21.600 --> 00:15:23.620
好啦 我講了這麽多

00:15:23.620 --> 00:15:24.560
還算了些數

00:15:24.570 --> 00:15:27.720
但是這結果 第一 很有意思

00:15:27.720 --> 00:15:29.940
因爲現在你就得到了它們的直接關係

00:15:29.950 --> 00:15:31.870
如果已知壓力和體積

00:15:31.880 --> 00:15:36.380
你就知道了熱力學能的大小

00:15:36.380 --> 00:15:38.440
或者說係統的總動能

00:15:38.450 --> 00:15:40.460
或者 如果你知道了溫度

00:15:40.470 --> 00:15:42.770
和分子數量

00:15:42.780 --> 00:15:43.500
也可以求出

00:15:43.510 --> 00:15:45.700
係統的熱力學能大小

00:15:45.710 --> 00:15:47.380
有幾個關鍵 我希望

00:15:47.380 --> 00:15:48.170
你們能留下印象

00:15:48.180 --> 00:15:50.310
如果在理想情況下

00:15:50.320 --> 00:15:52.200
溫度不變

00:15:52.200 --> 00:15:55.670
也就是ΔT等於0

00:15:55.670 --> 00:15:57.140
這個常數也不變

00:15:57.140 --> 00:15:58.430
粒子數也不會變

00:15:58.430 --> 00:16:02.880
然後熱力學能也就不變

00:16:02.880 --> 00:16:05.910
所以如果

00:16:05.920 --> 00:16:07.510
熱力學能有變化…

00:16:07.520 --> 00:16:10.070
以後的證明會用到這個

00:16:10.070 --> 00:16:11.080
我們就可以說…

00:16:11.080 --> 00:16:16.190
它等於 3/2nR再乘以…

00:16:16.200 --> 00:16:17.110
呐 這是唯一能變的部分

00:16:17.120 --> 00:16:18.280
不是粒子數

00:16:18.290 --> 00:16:19.590
也不是理想氣體常數…

00:16:19.600 --> 00:16:21.310
乘以T的變化

00:16:21.320 --> 00:16:24.190
或者 它也可以寫成

00:16:24.200 --> 00:16:26.860
3/2乘以ΔPV

00:16:26.860 --> 00:16:28.570
我們不知道這兩個哪個是定值

00:16:28.570 --> 00:16:30.340
所以必須說是PV的“積”的變化

00:16:30.340 --> 00:16:32.410
好啦 這集算數比較多

00:16:32.420 --> 00:16:34.100
我很抱歉

00:16:34.110 --> 00:16:34.790
但是我希望

00:16:34.800 --> 00:16:37.000
它給你了一點這樣的概念

00:16:37.010 --> 00:16:39.450
這其實就是所有動能的總和

00:16:39.460 --> 00:16:40.220
我們把它和

00:16:40.230 --> 00:16:42.080
一些宏觀狀態函數聯係起來了

00:16:42.090 --> 00:16:44.050
比如壓力 體積 和時間

00:16:44.060 --> 00:16:47.050
接下來 既然我已經做了一集證明

00:16:47.060 --> 00:16:50.890
我們以後可以直接用它證明別的

00:16:50.890 --> 00:16:53.040
若果真如此 至少你不會抱怨太多

00:16:53.050 --> 00:16:54.470
無論如何 下集見咯