-
...
-
Sabemos que el cuadrilátero ABCD que aparece aquí es un paralelogramo.
-
Y lo que quiero tratar en este video es la forma general de calcular el área de un paralelogramo.
-
En el video anterior hablamos acerca de una manera particular para determinar el área de un rombo.
-
Se puede hacer dividiendo por dos el producto de sus diagonales.
-
Y el rombo es un paralelogramo, pero no puedes simplemente, en general,
-
tomar el resultado del producto de las diagonales dividido por dos en cualquier paralelogramo.
-
Tiene que ser un rombo. Y ahora solo estamos hablando de paralelogramos.
-
Entonces, qué sabemos acerca de los paralelogramos?
-
Pues bien, sabemos que sus lados opuestos son paralelos.
-
Ese lado es paralelo a ese otro y este lado es paralelo a este otro.
-
Y también sabemos que los lados opuestos son congruentes.
-
Así que esta longitud es igual a esta otra
-
Y esta longitud es igual a esta de aquí.
-
Ahora, si trazamos una diagonal,
-
voy a trazar una diagonal AC,
-
podemos dividir nuestro paralelogramo en dos triángulos.
-
Hemos probado en multiples ocasiones que estos dos triángulos son congruentes.
-
Y lo podemos hacer de una manera bastante directa.
-
Podemos ver que obviamente AD es igual a BC.
-
Tenemos que DC es igual a AB.
-
Y también que ambos triángulos comparten este tercer lado que aparece aquí.
-
Ambos comparten AC.
-
Por lo que podemos decir que el triángulo (voy a escribir esto en amarillo)...
-
Podemos decir que el triángulo ADC es congruente con el triángulo, queremos que esto quede bien claro,
-
va a ser congruente con el triángulo ADC.
-
O sea, comenzamos primero por los cortes dobles en magenta, luego los rosados y entoces fue que llegamos al último.
-
Por lo que voy a decir CBA, pues mi trayectoria fue magenta, luego rosado y después este último.
-
O sea, CBA, triángulo CBA.
-
Y esto es mediante la congruencia Lado Lado Lado (LLL).
-
Los tres lados, ambos tienen tres lados correspondientes que son congruentes con los del otro.
-
Por lo que los triángulos son congruentes entre sí.
-
Y lo que eso nos dice es que las áreas de estos dos triángulos van a ser iguales.
-
Por lo que si yo quiero calcuar el área, él área del paralelogramo completo ABCD,
-
esta va a ser igual a la suma del área del triángulo ADC más el área de CBA.
-
Pero el área de CBA es la misma que el área de ADC,
-
pues ambas son congruentes por Lado Lado Lado (LLL).
-
Por tanto esto solo será dos veces el área del triángulo ADC.
-
Lo cual nos resulta conveniente, pues nosotros sabemos cómo calcular el área de los triángulos.
-
El área del triángulo es literalmente el producto de la base por la altura dividido por dos.
-
O sea es la mitad de la base por la altura de este triángulo.
-
Y nos han dado la base de ADC
-
Es esta longitud de aquí.
-
Es DC. Puede verse como la base de todo el paralelogramo.
-
Y si deseas descubrir la altura,
-
podemos trazar la altura de esta manera.
-
Así que esto es una perpendicular. Podemos llamarla altura (h) ahí mismo.
-
Entonces, si queremos el área total del paralelogramo ABCD,
-
esta es igual a dos veces la mitad del producto de la base por la altura.
-
Bueno, una mitad multiplicada por dos es simplemente 1.
-
Por tanto solo nos queda la base por la altura.
-
Por lo que es esta altura de aquí multiplicada por b. La base por la altura.
-
Este es un resultado claro y puede que ustedes hayan supuesto que este sería el caso.
-
Pero si ustedes desean hallar el área de cualquier paralelogramo
-
y si pueden determinar la altura,
-
esto es literalmente, pueden tomar una de las bases, pues los lados opuestos son iguales, y multiplicarla por la altura.
-
Así que esta es una de las maneras en que puedes calcular el área.
-
O podrías haber multiplicado. La otra manera de pensar en ello
-
es como si fuésemos a voltear el paralelogramo, luciría como algo así...
-
pues si lo rotaramos de esa manera,
-
parado sobre este lado, de forma que este sería el punto A,
-
este sería el punto D,
-
este sería el punto C
-
y este sería el punto B.
-
Podrías también hacerlo de esta manera, podrías decir que el área de esto es la base por la altura
-
O sea, podrías decir que es DC multiplicado por h.
-
Entonces, podrías decir que esto va a ser igual a la longitud de DC multiplicada por h.
-
Esta es una manera de hacerlo, esta base multiplicada por esta altura.
-
O puedes decir que es igual a AD multiplicada por,
-
voy a nombrar esta altura h2,
-
tal vez nombre esta h1,
-
O sea, puedes multiplicar esta base por esta altura
-
o puedes multiplicar esta base por esta altura que tenemos aquí.
-
Esta es h2. De cualquiera de las dos formas.
-
Entonces, si alguien les fuese a dar un paralelogramo,
-
solo para aclarar,
-
obviamente tendrías que ser capaz de hallar la altura.
-
Por lo que si alguien te fuese a dar un paralelogramo como este,
-
ellos te dirían que es un paralelogramo.
-
Si ellos te dijeran que esta longitud de aquí es 5,
-
y si te dijeran que esta distancia es 6,
-
entonces el área de este paralelogramo sería, literalente, 6 multiplicado por 5.
-
Yo tracé la altura fuera del paralelogramo.
-
Podría haberla trazado igualmente aquí e igual sería 6.
-
Así que el área de este paralelogramo sería 30.
