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Sabemos que el cuadrilátero ABCD que aparece aquí es un paralelogramo.
Y lo que quiero tratar en este video es la forma general de calcular el área de un paralelogramo.
En el video anterior hablamos acerca de una manera particular para determinar el área de un rombo.
Se puede hacer dividiendo por dos el producto de sus diagonales.
Y el rombo es un paralelogramo, pero no puedes simplemente, en general,
tomar el resultado del producto de las diagonales dividido por dos en cualquier paralelogramo.
Tiene que ser un rombo. Y ahora solo estamos hablando de paralelogramos.
Entonces, qué sabemos acerca de los paralelogramos?
Pues bien, sabemos que sus lados opuestos son paralelos.
Ese lado es paralelo a ese otro y este lado es paralelo a este otro.
Y también sabemos que los lados opuestos son congruentes.
Así que esta longitud es igual a esta otra
Y esta longitud es igual a esta de aquí.
Ahora, si trazamos una diagonal,
voy a trazar una diagonal AC,
podemos dividir nuestro paralelogramo en dos triángulos.
Hemos probado en multiples ocasiones que estos dos triángulos son congruentes.
Y lo podemos hacer de una manera bastante directa.
Podemos ver que obviamente AD es igual a BC.
Tenemos que DC es igual a AB.
Y también que ambos triángulos comparten este tercer lado que aparece aquí.
Ambos comparten AC.
Por lo que podemos decir que el triángulo (voy a escribir esto en amarillo)...
Podemos decir que el triángulo ADC es congruente con el triángulo, queremos que esto quede bien claro,
va a ser congruente con el triángulo ADC.
O sea, comenzamos primero por los cortes dobles en magenta, luego los rosados y entoces fue que llegamos al último.
Por lo que voy a decir CBA, pues mi trayectoria fue magenta, luego rosado y después este último.
O sea, CBA, triángulo CBA.
Y esto es mediante la congruencia Lado Lado Lado (LLL).
Los tres lados, ambos tienen tres lados correspondientes que son congruentes con los del otro.
Por lo que los triángulos son congruentes entre sí.
Y lo que eso nos dice es que las áreas de estos dos triángulos van a ser iguales.
Por lo que si yo quiero calcuar el área, él área del paralelogramo completo ABCD,
esta va a ser igual a la suma del área del triángulo ADC más el área de CBA.
Pero el área de CBA es la misma que el área de ADC,
pues ambas son congruentes por Lado Lado Lado (LLL).
Por tanto esto solo será dos veces el área del triángulo ADC.
Lo cual nos resulta conveniente, pues nosotros sabemos cómo calcular el área de los triángulos.
El área del triángulo es literalmente el producto de la base por la altura dividido por dos.
O sea es la mitad de la base por la altura de este triángulo.
Y nos han dado la base de ADC
Es esta longitud de aquí.
Es DC. Puede verse como la base de todo el paralelogramo.
Y si deseas descubrir la altura,
podemos trazar la altura de esta manera.
Así que esto es una perpendicular. Podemos llamarla altura (h) ahí mismo.
Entonces, si queremos el área total del paralelogramo ABCD,
esta es igual a dos veces la mitad del producto de la base por la altura.
Bueno, una mitad multiplicada por dos es simplemente 1.
Por tanto solo nos queda la base por la altura.
Por lo que es esta altura de aquí multiplicada por b. La base por la altura.
Este es un resultado claro y puede que ustedes hayan supuesto que este sería el caso.
Pero si ustedes desean hallar el área de cualquier paralelogramo
y si pueden determinar la altura,
esto es literalmente, pueden tomar una de las bases, pues los lados opuestos son iguales, y multiplicarla por la altura.
Así que esta es una de las maneras en que puedes calcular el área.
O podrías haber multiplicado. La otra manera de pensar en ello
es como si fuésemos a voltear el paralelogramo, luciría como algo así...
pues si lo rotaramos de esa manera,
parado sobre este lado, de forma que este sería el punto A,
este sería el punto D,
este sería el punto C
y este sería el punto B.
Podrías también hacerlo de esta manera, podrías decir que el área de esto es la base por la altura
O sea, podrías decir que es DC multiplicado por h.
Entonces, podrías decir que esto va a ser igual a la longitud de DC multiplicada por h.
Esta es una manera de hacerlo, esta base multiplicada por esta altura.
O puedes decir que es igual a AD multiplicada por,
voy a nombrar esta altura h2,
tal vez nombre esta h1,
O sea, puedes multiplicar esta base por esta altura
o puedes multiplicar esta base por esta altura que tenemos aquí.
Esta es h2. De cualquiera de las dos formas.
Entonces, si alguien les fuese a dar un paralelogramo,
solo para aclarar,
obviamente tendrías que ser capaz de hallar la altura.
Por lo que si alguien te fuese a dar un paralelogramo como este,
ellos te dirían que es un paralelogramo.
Si ellos te dijeran que esta longitud de aquí es 5,
y si te dijeran que esta distancia es 6,
entonces el área de este paralelogramo sería, literalente, 6 multiplicado por 5.
Yo tracé la altura fuera del paralelogramo.
Podría haberla trazado igualmente aquí e igual sería 6.
Así que el área de este paralelogramo sería 30.