Definite Integrals (area under a curve) (part III)

More on why the antiderivative and the area under a curve are essentially the same thing.

Wilkommen,

Ich fahre nun fort, hoffentlich Ihnen einen Einblick dazu geben,

wie man ein unbestimmtes Integral löst und auch warum man

sie in diese Art und Weise löst.

Und ich denke, dass dies oft in einigen Lehrbüchern fehlt.

Aber wie auch immer, sei dies den Abstand und lassen Sie mich

Ihnen eine Formel für die Entfernung geben, nur zum Spaß.

Ach, mein Handy klingelt.

Ich mache die Lautstärke geringer, weil Sie wichtiger sind.

Also, lassen Sie uns sagen, dass die Entfernung s--diesmal ich werde

Schreiben Sie es als eine Funktion--lassen Sie uns sagen, die Entfernung ist gesagt--

Es begann auf fünf, also lassen Sie uns sagen, es ist 2t--sagen wir dies

ist wirklich eine kubische Funktion.

Sie sind nicht nur beschleunigen, Ihre Rate der Beschleunigung

steigt.

Ich glaube, eigentlich, die Rate der Beschleunigung, wenn ich nicht bin

verwechselt, ist eigentlich als Ruck bezeichnet, aber ich hätte

Wikipedia, die.

Nehmen Sie ihre 2t die dritte plus 5.

Und angenommen, ich wollte wissen, wie weit ich zwischen t Reisen

gleich 2 Sekunden und t gleich 5 Sekunden.

Richtig?

Ich Suche nicht die gesamte Strecke ich reiste.

Ich möchte nur wissen, wie weit ich zwischen Zeit gleich 2 Reisen

Sekunden und Zeit gleich 5 Sekunden.

Richtig?

So könnte dies 2 sein und das ist 5.

So ist eine einfache Möglichkeit dazu konnte ich nur diese auswerten

Funktion bei t entspricht 5--lassen Sie mich eine andere Farbe verwendet.

Ich denke, es ist immer unordentlich--ich konnte dies nur auswerten

Funktion bei t gleich 5.

Wenn t 5 5 zur dritten Potenz ist, 125, 250, 255 es ist,

damit das Objekt t 255 Meter gegangen ist gleich 5, richtig?

Und dann, bei Zeit gleich 2, das Objekt ist wie weit gegangen?

2, der dritte ist 8.

16.

Es ist 21 Meter gegangen.

Richtig?

Um herauszufinden, wie weit ich zwischen Zeit gereist ist gleich 2

und Zeit ist gleich 5, ich nur sagen s 5 abzüglich s 2, richtig?

Wie weit ging ich nach 5 Sekunden abzüglich wie weit ich

schon nach 2 Sekunden.

Und das ist nur 255 minus 21 und das ist, was, 234.

234 Meter ist wie weit reiste ich zwischen 2

Sekunden und 5 Sekunden.

Interessant.

Und ich denke, dass Sie anfangen, um ein wenig intuition

Warum wir, dass vorherige unbestimmte Integral in ausgewertet der

Vorheriges Video die Art, wie, die wir es getan haben.

Also lassen Sie uns tatsächlich zeichnen die Ableitung dieser Funktion.

Was ist die Ableitung?

Lassen Sie mich rufen, dass v t, denke ich.

V t ist nur die Ableitung, Recht, weil es die rate

Änderung der Entfernung in Bezug auf Zeit.

ist 3 mal 2 6t kariert und verschwindet die Konstante, richtig?

So ist es nur 6t kariert.

Und das macht Sinn, richtig?

Weil Ihre Geschwindigkeit, wo egal Sie

begann, richtig?

Du wirst die gleiche Geschwindigkeit, wenn Sie begann

von 10 Fuß oder wenn Sie von 2 Meter begonnen.

Ihre Geschwindigkeit ist eigentlich egal, wo Ihr

Ausgangsposition ist.

Also lasst uns diese Grafik.

Sehen?

Sie tatsächlich Lernen ein wenig Physik beim

Sie lernen, Kalkül.

Eigentlich, denke ich, dass es dumm ist, dass sie als gelehrt sind

zwei separate Klassen.

Ich denke, dass Physik und Kalkül nur sollte man

Klasse 2 Stunden Spaß.

Aber ich werde zu einem anderen Zeitpunkt darüber reden.

Also, gehen zurück zu diesem.

Lassen Sie mich die graph.

6T kariert.

Gut, das nur eine Parabel aussehen soll.

Richtig?

Es wird wie folgt aussehen.

Dies ist t.

Dies ist die Geschwindigkeit.

Und nun, wenn wir gerade diese Geschwindigkeitsdiagramm, hatten wenn wir nicht

all dies hier wissen und ich fragte Sie die

gleiche Frage, aber.

Ich sagte, wie weit diese Sache zwischen 2 Reisen

Sekunden und 5 Sekunden?

Richtig?

Gut, könnte ich es die Art und Weise tun, die wir in den früheren gelernt

Video wo ich ein paar kleine Rechtecke, jedes ziehen ein

wirklich klein Breite, und ich multiplizieren es mal seine

Momentane Geschwindigkeit in diesem exakten Moment, richtig?

Und dann ich zusammenfassend all diese Rechtecke--sehen Sie wie schön

Das ist--zusammenfassen ich aller Rechtecke.

Und ich werde eine ziemlich gute Annäherung, wie weit

Ich habe zwischen 2 und 5 Sekunden reiste.

Denn denken Sie daran, alle diese Rechtecke Bereich

stellt dar, wie weit ich reiste wenig

Zeitspanne, dt.

Weil Zeit eine konstante Geschwindigkeit Mal ist gleich Entfernung.

Aber wie Sie sehen können sagte mir auch das Gebiet zwischen

t 2 und t 5.

Also, nicht nur ich herausfinden, den Abstand zwischen wie weit ich

reiste von 2 Sekunden auf 5 Sekunden, ich fand auch heraus, die

Bereich unter dieser Kurve von 2 Sekunden auf 5 Sekunden.

Also, interessant genug, wenn ich nur verändert dies aus einer b,

und, im Allgemeinen, wenn Sie möchten, um herauszufinden, die Fläche unter einer

Kurve aus einer b, ist es nur das unbestimmte Integral von einer

b--eigentlich von b nach a.

Die b sollte größer sein.

b ein.

Ich denke ein b, je nachdem, wie Sie es sagen.

Lassen Sie mich schreiben, die in einer anderen Farbe, da ich

denke, ich mache es messier.

Von a bis b der Funktion Geschwindigkeit.

Also, in diesem Fall kariert 6t d t, richtig?

Wenn diese 2 und 5, nicht, ob dies nur a und b.

Und die Art und Weise Sie auswerten, dies ist Sie herauszufinden, die

Stammfunktion dieser Funktion, und dann Sie bewerten

die Stammfunktion an b, und dann ab, dass Sie

subtrahieren Sie es heraus auf ein.

So ist in diesem Fall die Stammfunktion dieser 2t

die dritte und wir an b, und wir ausgewertet an ein.

Tatsächlich, lassen Sie mich an die alten Nummern halten.

Wir es bei 5 und Sie ausgewertet es am 2.

Also wenn Sie es bei 5 bewertet, ist 255.

Wenn Sie es auf 2 bewerten, ist 21.

Also Sie wir hier haben genaue das gleiche tun wenn wir

eigentlich hatte dieses Diagramm.

Also habe ich all dies, nicht zu verwechseln Sie weiter, aber wirklich

nur um Ihnen eine Intuition der Grund ein, warum die

antiderivative ist die Fläche unter der Kurve, und dann zwei,

Warum--lassen Sie uns sagen, dass a, b-- und dann, warum wir bewerten

es auf diese Weise.

Sie können dies in Ihren Büchern finden Sie unter.

Dies ist nur zu sagen, wenn ich, um herauszufinden, die Fläche unter will einer

Kurve von a b f von X, die wir herausfinden

die Stammfunktion.

Dieses Kapital F ist nur die Stammfunktion.

Wir einfach herauszufinden, die Stammfunktion und wir ausgewertet

b und wir zur ausgewertet, und dann wir subtrahieren

der Unterschied.

Und das ist, was wir getan haben hier, oder?

Dies ist, was wir hier Taten intuitiv wenn wir

arbeitete mit Abstand.

Die Ableitung und die Stammfunktion gelten nicht nur

Entfernung und Geschwindigkeit.

Aber ich tat dies, Sie geben eine Intuition warum dies funktioniert

und warum die Stammfunktion ist die Fläche unter einer Kurve.

Lassen Sie mich dies aufzuklären und schreiben Sie nur das letzte, was

Ich schrieb, aber vielleicht ein bisschen sauberer.

Okay.

Also lassen Sie uns sagen, dass f von x mit einem großen, fetten Kapital F entspricht

--tatsächlich, lassen Sie mich dafür eine bessere Art und Weise--lassen Sie mich sagen, dass

die Ableitung von großen Fett F von x ist gleich f von X.

Richtig?

Ich glaube wirklich, dies ist der Fundamentalsatz der

Kalkül, aber ich will nicht, werfen Sie Dinge ohne

wissen, für sicher.

Ich habe sicher zu gehen.

Siehe, ich habe Mathe nicht in eine lange Zeit.

Ich gebe Sie alle, diese basiert auf Intuition, nicht unbedingt

Was ich lese.

So ist die Ableitung von großen F, kleines f, und alles, was, die wir sagen

ist, nehmen wir das Integral der kleinen f von x aus a, b,

DX, handelt es sich große f ist antiderivative, b abzüglich

die Stammfunktion an ein.

In der nächsten Präsentation werde ich dies verwenden.

Dies ist eigentlich recht einfach zu bedienen, sobald Sie wissen, wie

Stammfunktionen zu verwenden.

Und wir haben wirklich nur diese drei Videos geben Sie-- oder

eigentlich ist dies die dritte oder die zweite--nur um Ihnen

Warum dies ist, weil ich denke, das ist wirklich eine intuition

Wichtig Wenn Sie jemals wirklich verwenden Kalkül in Ihre

Leben oder Schreiben eines Computerprogramms oder was auch immer.

Und in den nächsten paar Videos werde ich dies tatsächlich gelten eine

Bündel von Problemen und Sie werden hoffentlich sehen, dass es eine

ziemlich einfach, was tatsächlich zu berechnen.

Ich werde Sie in der nächsten Präsentation sehen.