Równania z wartością bezwzględną.

Równania z wartością bezwzględną.

Obliczmy kilka równań, dotyczących wartości bezwzględnej.

I jest to swojego rodzaju powtórzenie, kiedy korzystamy

z wartości bezwzględnej liczby.

Powiedzmy, że mamy wartość bezwzględną dla minus 1.

To co tak naprawdę robicie to podajecie jak daleko

jest ta liczba od 0.

I w tym przypadku minus 1, jeśli narysujemy naszą oś liczbową tutaj

- to jest bardzo źle narysowana oś liczbowa.

Jeśli narysujemy naszą oś liczbową tutaj, to jest 0.

Minus 1 macie w tym miejscu.

Cóż, to jest o 1 oddalone od 0.

Tak więc wartość bezwzględna dla minus 1 jest 1.

A wartość bezwzględna dla 1 jest również 1 odległości od 0.

To również równa się 1.

Tak więc na tym poziomie wartość bezwzględna jest to odległość od zera.

Ale inny sposób, przypuszczam, że może trochę ławiejszy, postrzegania tego, jest taki, że jest to zawsze

dodatnia wersja każdej liczby.

Wartość bezwzględna dla minus 7,346 równa się 7,346.

Mając to w pamięci, zróbmy kilka przykładów

na wartość bezwzględną.

Powiedzmy, że mamy takie równanie... wartość bezwzględna

dla x odjąć 5 równa się 10.

I jeden ze sposóbów w jaki możecie to interpretować, to jest

właściwie powiedzenie, że odległość

pomiędzy x i 5 równa się 10.

Ile jest liczb, które są dokłanie o 10 oddalone od 5?

I już możecie zastanawiać się nad rozwiązaniem dla tego równania,

Ale pokażę wam jak rozwiązać to stopniowo.

teraz to będzie prawdziwe dla dwóch sytuacji.

Albo x odjąć 5 równa się 10.

Jeśli to określa nam 10 dodatnie, wtedy, jeśli bierzemy

wartość bezwzględną dla tej liczby

otrzymujemy 10 dodatnie.

Albo x odjąć 5 może równać się minus 10.

Jeśłi x odjąć 5 równa się minus 10, kiedy bierzemy

wartość bezwzględną dla tej liczby, otrzymamy również 10.

Tak więc x odjąć 5 może być również równe minus 10.

Obie te wartości będą odpowiednie dla tego równania.

Teraz, aby to obliczyć, dodaje się 5 do obu

stron tego równania.

Otrzymujecie x równa się 15.

Aby to rozwiązać, dodajecie 5 do obu stron tego równania.

x równa się minus 5.

Tak więc nasze rozwiązaniem będą dwa x które

są właściwe dla tego równania.

x może być 15.

15 odjąć 5 jest 10, bierzemy wartość bezwzględną,

otrzymujecie 10, albo x może być minus 5.

Minus 5 odjąć 5 daje nam minus 10.

Bierzecie wartość bezwzględną, otrzymujecie 10.

Zobaczcie, obie te liczby są dokładnie oddalone o 10

od liczby 5.

Zróbmy jeszcze jeden przykład.

Obliczmy kolejny.

mamy wartość bezwzględna z x dodać

2 równa się 6.

Co nam to mówi?

To mówi nam, że albo x dodać 2, ten fragment wewnątrz

znaku wartości bezwzględnej, równa się 6,

albo ten fragment wewnątrz znaku wartości bezwzględnej, x

dodać 2, może być minus 6.

Jeśli cały ten fragment obliczamy jako minus 6, bierzemy

wartość bezwzględną, otrzymalibyście 6.

Tak więc, albo x dodać 2 może równać się minus 6.

I wtedy jeśli odejmujecie 2 od obu stron

tego równania, otrzymacie x może równać się 4.

Jeśłi odejmujecie 2 od obu stron tego równania,

otrzymacie x może równać się minus 8.

Tak więc to są te dwa rozwiązania dla tego równania.

I możecie zachować to w pamięci, że

wartość bezwzględna, możecie to zapamiętać jako odległość,

możecie przepisać ten przykład jako wartość bezwzględna dla x odjąć

minus 2 równa się 6.

I moje pytanie jest, jaki jest x tak aby równał się dokładnie o 6

oddalony od minus 2?

Pamiętajcie, do tej pory powiedzieliśmy jakie są x które są

oddalone o dokładnie 10 od 5.

Jakakolwiek liczba jaką odejmujecie od 5,

to są one obie oddalone o 10 od 5.

Pytanie jest, które są oddalone o 6

od minus 2?

I to będzie 4 albo minus 8.

Możecie sprawdzić te liczby dla siebie.

Zróbmy jeszcze jeden przykład.

Kolejny obliczymy na fioletowo.

powiedzmy, że mamy wartość bezwzględną 4x -

zmienię trochę ten przykład.

4x odjąć 1.

Wartość bezwzględna z 4x odjąć 1 równa się - właściwie,

zachowam to - równa się 19.

Dokładnie jak w poprzednich przykładach, 4x odjąć 1może

równać się 19

Albo 4x odjąć 1 może równać się minus 19.

Ponieważ, kiedy bierzemy wartość bezwzględną,

otrzymaujecie zawsze 19.

Albo 4x odjąć 1 może równać się minus 19.

Następnie rozwiązujecie te dwa równania.

Dodajecie 1 do obu stron równania - możemy obliczyć je

równolegle.

Dodajecie 1 do obu stron tego równania, otrzymujecie 4x równa się 20.

Dodajecie 1 do obu stron tego równania, otrzymujecie 4x równa się

minus 18.

Dzielicie obie strony przez 4, i otrzymujecie x równa się 5.

Dzielicie obie strony tego równania przez 4, otrzymujecie x równa się

minus 18/4, co daje nam minus 9/2.

Tak więc obie te wartości są właściwe dla tego równania.

Wypróbujmy je.

Minus 9/2 razy 4.

To będzie minus 18.

Minus 18 odjąć 1 daje nam minus 19.

Bierzemy wartość bezwzględną, otrzymujecie 19.

Stawiacie 5 tutaj, 4 razy 5 równa się 20.

Minus 1 daje nam 19.

Bierzemy wartość bezwzględną.

I jeszcze raz otrzymujecie 19.

Przedstawmy to graficznie, tak dla zabawy.

Powiedzmy, że mamy y równa się wartość

bezwzględna z x dodać 3.

To jest funkcja, albo graf, z

wartością bezwzględną.

Weźmy pod uwagę dwie możliwości.

jedna to taka, gdzie rzecz wewnątrz wartości bezwzględnej

jest dodatni.

Mamy dwie możliwości gdzie x dodać 3 - zapiszę to tutaj -

x dodać 3 jest większe niż 0.

I potem mamy możliwość gdzie x dodać 3 jest mniejsze niż 0.

Kiedy x dodać 3 jest większe niż 0, ten wykres, albo ta prosta -

albo nie musimy w ogóle jej nazywać - ta funkcja, jest

tym samym co y równa się x dodać 3.

Jeśłi to tutaj jest większe niż 0, wtedy

znak wartości bezwzględnej jest bez znaczenia.

Tak więc wtedy to tutaj jest tym samym co y

równa się x dodać 3.

Ale kiedy x dodać 3 jest większe od 0?

Cóż, jeśłi odejmujecie 3 od obu stron tego równania, otrzymujecie x

jest większe niż minus 3.

Tak więc kiedy x jest większe niż minus 3, ten wykres

wygląda jak y równa się x dodać 3.

teraz, kiedy x dodać 3 jest mniejsze niż 0.

Kiedy sytuacja gdzie to - wewnątrz

znaku wartości bezwzględnej - jest ujemne, w tej sytuacji

równanie będzie y równa się

minus z x dodać 3.

jak ja mogę to powiedzieć?

Cóż, zobaczcie, jeśli to będzie liczba ujemna, jeśli x

dodać 3 będzie liczbą ujemną - to co

wyjdzie nam tutaj - jeśłi to będzie liczba ujemna,

wtedy kiedy bierzemy wartość bezwzględną liczby ujemnej

otrzymujecie liczbę dodatnią.

To jest jak mnożenie przez minus 1.

Jak wiecie, biorąc wartość bezwzględną liczby ujemnej

to jest jak mnożenie przez minus 1

ponieważ otrzymacie zawsze wartość dodatnią.

I to będzie ta sytuacja.

x dodać 3 jest mniejsze niż 0.

jeśłi odejmujemy 3 od każdej z obu stron, kiedy x jest mniejsze niż

minus 3.

Kiedy x jest mniejsze niż minus 3, wykres

będzie wyglądał tak.

Kiedy x jest większe niż minus 3, wykres będzie

wyglądał w ten sposób.

Zobaczmy w jaki sposób będzie wyglądał

ten wykres całościowo.

Narysuję moje osie.

To jest oś x, to jest oś y.

Teraz przemnożę to, tak że mamy mx

dodać b.

To równa się minus x odjąć 3.

Obliczmy jak ten wykres

ogólnie by wyglądał.

Minus x odjąć 3.

Punkt przecięcia z osią y jest minus 3, tak więc 1, 2, 3.

A minus x oznacza, że pochylenia jest w dół, ma

nachylenia 1.

Tak więc on wyglądąłby w ten sposób.

Punkt przecięcia z osią x byłby w punkcie x równa się -.

Jeśłi powiecie y równa się 0, to byłoby właściwe dla x

równa się minus 3.

Tak więc jeśli to przechodzi przez tę linię,

ten punkt w tym miejscu.

I wykres, gdybyśmy nie mieli tego ograniczenia

w tym miejscu, wyglądałby w ten sposób.

Tak by było, gdybyśmy nie byli ograniczeni do pewnego przedziału

na osi x.

Teraz, ten wykres, jak on wygląda?

Zobaczmy.

Punkt przecięcia z osią y jest w punkcie 3.

W ten sposób.

A gdzie jest punkt przecięcia z osią x?

Kiedy y równa się 0, x równa się minus 3.

Tak więc to również przechodzi przez ten punkt w tym miejscu, i to ma

nachylenie 1.

To wyglądałoby w ten sposób.

Tak właśnie ten wykres wygląda.

Teraz, to co obliczyliśmy jest wartością bezwzględną

funkcji, to wygląda jak ten fioletowy wykres kiedy x jest mniejsze niż

minus 3.

Tak więc, kiedy x jest mniejsze niż minus 3 - to jest x równa się

minus 3 w tym miejscu - kiedy x jest mniejsze niż minus 3

to wygląda jak ten fioletowy wykres.

W tym miejscu.

To jest kiedy x jest mniejsze niż minus 3.

Ale kiedy x jest większe niż minus 3, wygląda

jak ten zielony wykres.

Wygląda to w ten sposób.

Tak więc tek wykres wygląda jak dziwne v.

kiedy x jest większe niż minus 3, to jest dodatnie.

Tak więc mamy wykres - kiedy mamy dodatnie nachylenie.

Ale kiedy x jest mniejsze niż minus 3, otrzymujemy wartość ujemną

funkcji, jeśłi chcecie to zrobić

w ten sposób, to mamy nachylenie ujemne.

W ten sposób otrzymujemy swego rodzaju funkcję w kaształcie v,

ten wykres v, który wskazuje wartość bezwzględną

funkcji.

Wyglądałby w ten sposób.

Wyglądąłby w ten sposób.