Opseg i površina kruga 03

Lijep pozdrav.

Rješavamo 12. zadatak
iz Zbirke Dakić-Elezović koji glasi:

kvadratu je upisan i opisan krug.

Koliki je omjer površina tih dvaju krugova?

kroz unutarnji puta unutarnji je 2 puta 1 je 2.

Dakle, prvo je upisan …

Kvadrat je lik, četverokut koji ima
sve jednake stranice a, a, a, a.

Prvo mu je upisan krug.

Dakle, krug je unutra.

Središte kruga je ovdje
gdje se sijeku dijagonale,

a upisan znači da dodiruje naš kvadrat.

Dakle, naš krug dodirivat će kvadrat
iznutra u polovištima stranica.

Opisan znači da izvana dodiruje ove vanjske vrhove.

Evo ga. Imamo dva kruga.

Pitanje je bilo koliki je omjer
površina upisanog i opisanog kruga.

Dakle, ovako: broj 1 je upisani.

Njime ćemo označavati sve što se tiče
ovog upisanog kruga,

a brojem 2 opisanog. To je ovaj okolo, o − okolo.

Pazite, nemamo nijedan podatak
i vi se najviše bojite ovakvih zadataka.

No ako kaže da je zadan kvadrat,
što je kod kvadrata najbitnije?

Pomoću koje njegove veličine, ako je znamo,
možemo izračunati sve ostale?

To je a duljina stranice.

Kada kaže da je zadan kvadrat,

onda na neki način možemo pretpostaviti
da je zadana duljina stranice a.

Iako to ne kaže,
sad ćemo sve izražavati preko duljine stranice a.

Idemo prvo ovako.

Upisani krug.
Trebamo mu izračunati površinu.

Površina kruga je r^2pi.

E sad, koliki je r polumjer?

r je ovo, ovo, ovo.

Možete li uočiti da je polumjer,

koji je udaljenost od središta do
bilo koje točke na kružnici,

najbolje gledati ovdje,

točno u ovoj točki gdje se dodiruju krug i ova stranica?

I vidimo da stranica a i ovo,

da je ona zapravo točno dva polumjera, odnosno r1 je a/2.

U redu?

I sada lako mogu izračunati površinu prvog,

unutarnjeg kruga r^2pi.

Dakle, reći ćemo r1^2pi.

Umjesto r1 pišem a/2.

Kad kvadriram, opet:

kad je razlomak na kvadrat,
trebamo ga staviti u zagradu.

To je a^2. 2^2 je 4. (a^2/4)*pi.

Koliki je polumjer ovog drugog, vanjskog,
odnosno opisanog kruga?

Gdje se diraju kružnica,
znači ta vanjska kružnica, i kvadrat?

Diraju se u ovim točkama.

Pogledajte sad ovo.

Evo ovaj dio označit ću crvenom bojom.

Ovo ovdje zapravo su dva polumjera.

Dakle, ovo je r.

Ovo sve zajedno je 2r.

A što je to 2r? Tako je.

2r je … r je svojstvo kruga.

Što je to kvadratu?

To je dijagonala kvadrata.

Tako je. To je dijagonala kvadrata.

A koja je formula za dijagonalu kvadrata?

Pazite, možemo izvesti.
Ja ću vam sad odmah reći.

Pogledajte, ako izdvojim
ovaj pravokutan trokut sa stranicama a, a,

to su katete i d mu je hipotenuza,

lako se dobije da je dijagonala a*korijen iz 2,

mada je to formula koju smijete imati sa sobom.

Dakle, 2r2 je a* korijen iz 2.

Kada dijelim s 2, jer želim r2,
r2 je a* korijen iz 2/2.

To smo odmah mogli dobiti i tako da kažemo

da je zapravo polumjer vanjske,
opisane kružnice pola dijagonale.

Znači, ovo je dijagonala kroz 2.

I sad to ubacujemo u formulu za površinu, P2.

Dakle, (a korijen iz 2 / 2)^2 * pi.

Sve kvadriramo. a na kvadrat je a^2.

Korijen iz 2^2 je 2 jer se korijen i kvadrat krate,

ali mi ih ne kratimo ovdje, već samo u glavi.

2^2 je 4 * pi. 2 i 4 mogu kratiti.

Dakle, to je to.

Kad nas pita kolika je razlika nečega,
oduzimamo te dvije veličine.

Kad nas pita koliki je omjer,

kao što nas ovdje pita
omjer upisanog i opisanog kruga,

te rezultate dijelimo.

Ovdje ću nastaviti.

Dakle, P1 (a^2/4)*pi,

a P2 je (a^2/2)*pi.

Što se krati? pi i pi.

Dobili smo dvojni razlomak.

Svaki drugi možemo kratiti.

a^2 i a^2, pa dobijemo 1, 1.

4 i 2. 4 i 2 kratimo s 2. 2/2 je 1. 4/2 je 2.

Koji je to omjer?

P1/P2, a može se reći i P1 podijeljeno s P2.

Vanjski puta vanjski je 1

kroz unutarnji puta unutarnji je 2 puta 1 je 2.

Dakle, 1/2 ili 1 : 2.

To je omjer površina
unutarnjeg kruga prema vanjskom krugu,

tj. upisanog prema opisanom krugu nekom kvadratu.

U sljedećem videu riješit ćemo zadatak:

ako su a =12 cm i b =16 cm

duljine kateta nekog pravokutnog trokuta,

trebate izračunati opseg
upisane i opisane kružnice tom trokutu.

Hvala što ste gledali i ovaj video.

Nadam se da ćete ovaj zadatak
pokušati riješiti sami,

a tek zatim pogledati
kako sam ga ja riješio.