1
00:00:00,701 --> 00:00:01,581
Lijep pozdrav.

2
00:00:01,691 --> 00:00:05,394
Rješavamo 12. zadatak
iz Zbirke Dakić-Elezović koji glasi:

3
00:00:05,394 --> 00:00:09,997
kvadratu je upisan i opisan krug.

4
00:00:09,997 --> 00:00:11,527
Koliki je omjer površina tih dvaju krugova?

5
00:00:11,527 --> 00:00:13,057
kroz unutarnji puta unutarnji je 2 puta 1 je 2.

6
00:00:13,057 --> 00:00:14,588
Dakle, prvo je upisan …

7
00:00:14,588 --> 00:00:19,848
Kvadrat je lik, četverokut koji ima
sve jednake stranice a, a, a, a.

8
00:00:19,848 --> 00:00:21,348
Prvo mu je upisan krug.

9
00:00:21,348 --> 00:00:22,908
Dakle, krug je unutra.

10
00:00:22,908 --> 00:00:27,678
Središte kruga je ovdje
gdje se sijeku dijagonale,

11
00:00:27,678 --> 00:00:32,218
a upisan znači da dodiruje naš kvadrat.

12
00:00:32,218 --> 00:00:39,068
Dakle, naš krug dodirivat će kvadrat
iznutra u polovištima stranica.

13
00:00:39,068 --> 00:00:44,008
Opisan znači da izvana dodiruje ove vanjske vrhove.

14
00:00:44,008 --> 00:00:49,588
Evo ga. Imamo dva kruga.

15
00:00:51,110 --> 00:00:57,610
Pitanje je bilo koliki je omjer
površina upisanog i opisanog kruga.

16
00:00:57,610 --> 00:01:00,500
Dakle, ovako: broj 1 je upisani.

17
00:01:00,500 --> 00:01:03,960
Njime ćemo označavati sve što se tiče
ovog upisanog kruga,

18
00:01:03,960 --> 00:01:08,830
a brojem 2 opisanog. To je ovaj okolo, o − okolo.

19
00:01:09,050 --> 00:01:13,610
Pazite, nemamo nijedan podatak
i vi se najviše bojite ovakvih zadataka.

20
00:01:13,610 --> 00:01:19,510
No ako kaže da je zadan kvadrat,
što je kod kvadrata najbitnije?

21
00:01:19,510 --> 00:01:24,000
Pomoću koje njegove veličine, ako je znamo,
možemo izračunati sve ostale?

22
00:01:24,000 --> 00:01:26,260
To je a duljina stranice.

23
00:01:26,260 --> 00:01:27,720
Kada kaže da je zadan kvadrat,

24
00:01:27,720 --> 00:01:32,450
onda na neki način možemo pretpostaviti
da je zadana duljina stranice a.

25
00:01:32,500 --> 00:01:36,500
Iako to ne kaže,
sad ćemo sve izražavati preko duljine stranice a.

26
00:01:36,527 --> 00:01:37,727
Idemo prvo ovako.

27
00:01:37,727 --> 00:01:41,137
Upisani krug.
Trebamo mu izračunati površinu.

28
00:01:41,137 --> 00:01:43,297
Površina kruga je r^2pi.

29
00:01:43,297 --> 00:01:46,937
E sad, koliki je r polumjer?

30
00:01:46,937 --> 00:01:50,217
r je ovo, ovo, ovo.

31
00:01:50,217 --> 00:01:52,037
Možete li uočiti da je polumjer,

32
00:01:52,037 --> 00:01:54,897
koji je udaljenost od središta do
bilo koje točke na kružnici,

33
00:01:54,897 --> 00:01:56,517
najbolje gledati ovdje,

34
00:01:56,517 --> 00:02:00,517
točno u ovoj točki gdje se dodiruju krug i ova stranica?

35
00:02:00,522 --> 00:02:03,242
I vidimo da stranica a i ovo,

36
00:02:03,242 --> 00:02:09,842
da je ona zapravo točno dva polumjera, odnosno r1 je a/2.

37
00:02:09,842 --> 00:02:12,965
U redu?

38
00:02:12,965 --> 00:02:15,528
I sada lako mogu izračunati površinu prvog,

39
00:02:15,528 --> 00:02:19,212
unutarnjeg kruga r^2pi.

40
00:02:19,212 --> 00:02:21,682
Dakle, reći ćemo r1^2pi.

41
00:02:21,682 --> 00:02:25,292
Umjesto r1 pišem a/2.

42
00:02:25,292 --> 00:02:27,182
Kad kvadriram, opet:

43
00:02:27,182 --> 00:02:31,112
kad je razlomak na kvadrat,
trebamo ga staviti u zagradu.

44
00:02:31,112 --> 00:02:37,862
To je a^2. 2^2 je 4. (a^2/4)*pi.

45
00:02:37,862 --> 00:02:45,351
Koliki je polumjer ovog drugog, vanjskog,
odnosno opisanog kruga?

46
00:02:45,351 --> 00:02:51,660
Gdje se diraju kružnica,
znači ta vanjska kružnica, i kvadrat?

47
00:02:51,660 --> 00:02:53,972
Diraju se u ovim točkama.

48
00:02:53,972 --> 00:02:56,082
Pogledajte sad ovo.

49
00:02:56,082 --> 00:03:00,652
Evo ovaj dio označit ću crvenom bojom.

50
00:03:01,785 --> 00:03:04,865
Ovo ovdje zapravo su dva polumjera.

51
00:03:04,865 --> 00:03:07,245
Dakle, ovo je r.

52
00:03:07,245 --> 00:03:10,045
Ovo sve zajedno je 2r.

53
00:03:10,045 --> 00:03:13,045
A što je to 2r? Tako je.

54
00:03:13,045 --> 00:03:17,645
2r je … r je svojstvo kruga.

55
00:03:19,350 --> 00:03:21,810
Što je to kvadratu?

56
00:03:21,900 --> 00:03:23,860
To je dijagonala kvadrata.

57
00:03:23,860 --> 00:03:26,850
Tako je. To je dijagonala kvadrata.

58
00:03:26,850 --> 00:03:29,140
A koja je formula za dijagonalu kvadrata?

59
00:03:29,140 --> 00:03:31,310
Pazite, možemo izvesti.
Ja ću vam sad odmah reći.

60
00:03:31,310 --> 00:03:36,900
Pogledajte, ako izdvojim
ovaj pravokutan trokut sa stranicama a, a,

61
00:03:36,900 --> 00:03:39,985
to su katete i d mu je hipotenuza,

62
00:03:39,985 --> 00:03:43,675
lako se dobije da je dijagonala a*korijen iz 2,

63
00:03:43,675 --> 00:03:46,135
mada je to formula koju smijete imati sa sobom.

64
00:03:46,135 --> 00:03:49,145
Dakle, 2r2 je a* korijen iz 2.

65
00:03:49,145 --> 00:03:55,625
Kada dijelim s 2, jer želim r2,
r2 je a* korijen iz 2/2.

66
00:03:55,625 --> 00:03:59,230
To smo odmah mogli dobiti i tako da kažemo

67
00:03:59,230 --> 00:04:02,950
da je zapravo polumjer vanjske,
opisane kružnice pola dijagonale.

68
00:04:02,950 --> 00:04:06,340
Znači, ovo je dijagonala kroz 2.

69
00:04:06,374 --> 00:04:10,704
I sad to ubacujemo u formulu za površinu, P2.

70
00:04:10,704 --> 00:04:18,640
Dakle, (a korijen iz 2 / 2)^2 * pi.

71
00:04:18,640 --> 00:04:21,751
Sve kvadriramo. a na kvadrat je a^2.

72
00:04:21,751 --> 00:04:25,291
Korijen iz 2^2 je 2 jer se korijen i kvadrat krate,

73
00:04:25,291 --> 00:04:28,261
ali mi ih ne kratimo ovdje, već samo u glavi.

74
00:04:28,261 --> 00:04:33,961
2^2 je 4 * pi. 2 i 4 mogu kratiti.

75
00:04:33,961 --> 00:04:35,580
Dakle, to je to.

76
00:04:35,580 --> 00:04:40,490
Kad nas pita kolika je razlika nečega,
oduzimamo te dvije veličine.

77
00:04:40,490 --> 00:04:41,898
Kad nas pita koliki je omjer,

78
00:04:41,898 --> 00:04:46,908
kao što nas ovdje pita
omjer upisanog i opisanog kruga,

79
00:04:46,908 --> 00:04:49,172
te rezultate dijelimo.

80
00:04:49,751 --> 00:04:50,731
Ovdje ću nastaviti.

81
00:04:50,731 --> 00:04:56,121
Dakle, P1 (a^2/4)*pi,

82
00:04:56,121 --> 00:05:01,124
a P2 je (a^2/2)*pi.

83
00:05:01,143 --> 00:05:04,233
Što se krati? pi i pi.

84
00:05:04,233 --> 00:05:05,603
Dobili smo dvojni razlomak.

85
00:05:05,603 --> 00:05:07,303
Svaki drugi možemo kratiti.

86
00:05:07,303 --> 00:05:11,114
a^2 i a^2, pa dobijemo 1, 1.

87
00:05:11,334 --> 00:05:19,778
4 i 2. 4 i 2 kratimo s 2. 2/2 je 1. 4/2 je 2.

88
00:05:19,928 --> 00:05:20,778
Koji je to omjer?

89
00:05:20,778 --> 00:05:25,078
P1/P2, a može se reći i P1 podijeljeno s P2.

90
00:05:25,078 --> 00:05:28,758
Vanjski puta vanjski je 1

91
00:05:28,758 --> 00:05:32,148
kroz unutarnji puta unutarnji je 2 puta 1 je 2.

92
00:05:32,148 --> 00:05:36,568
Dakle, 1/2 ili 1 : 2.

93
00:05:36,642 --> 00:05:42,182
To je omjer površina
unutarnjeg kruga prema vanjskom krugu,

94
00:05:42,182 --> 00:05:47,209
tj. upisanog prema opisanom krugu nekom kvadratu.

95
00:05:47,851 --> 00:05:50,451
U sljedećem videu riješit ćemo zadatak:

96
00:05:50,451 --> 00:05:55,011
ako su a =12 cm i b =16 cm


97
00:05:55,011 --> 00:05:57,883
duljine kateta nekog pravokutnog trokuta,

98
00:05:57,883 --> 00:06:03,483
trebate izračunati opseg
upisane i opisane kružnice tom trokutu.

99
00:06:03,610 --> 00:06:05,830
Hvala što ste gledali i ovaj video.

100
00:06:05,830 --> 00:06:08,810
Nadam se da ćete ovaj zadatak
pokušati riješiti sami,

101
00:06:08,810 --> 00:06:11,910
a tek zatim pogledati
kako sam ga ja riješio.