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Chain rule example

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    -所以我们现在有f(x)
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    等于x 的平方根的自然对数。
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    我们想在这个视频里做的是
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    求f的导数
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    关键点在于这里的f
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    可以被看作两个函数的复合
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    接着我们可将之画出，这是一番怎样的景象呢？
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    如果你往我们的函数f输入x
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    你将做的第一件事是什么呢
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    好的，你求出了它的平方根
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    所以我们从一些自变量x开始，你将之输入
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    你做的第一件事是求其平方根
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    你将求其平方根
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    接着你将做什么呢
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    你找到了它的平方根接着
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    你要求它的自然对数
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    所以你接着求它的自然对数
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    所以你可将之视作把它输入进
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    另一个函数，以求它的自然对数
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    我将做些小方块
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    以展示你输入的内容
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    接着你创造了什么呢
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    好了，你创造出了x的平方根的自然对数
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    x的平方根的自然对数
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    这将等于f(x)
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    所以你可以将f(x)视作整体
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    我猜你可能会说
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    这种函数的组合就在这
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    f(x), 本质上是两个函数的复合
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    你往一个函数中输入自变量x
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    得到输出结果后将之输入另一个函数
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    所以你在这可以有个函数u
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    其等于输入自变量的平方根
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    所以u(x)等于x的平方根
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    接着你取它的输出值
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    再将之输入另一个我们将之称作v的函数
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    那么v是什么呢
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    我们将取输入量的自然对数
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    在这种情况下，f将等于
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    我将其图解一下，v正在求输入值的自然对数
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    输入值即为x的平方根
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    所以整体输出值将为x的平方根的自然对数
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    如果我们将v(x)写作输入值
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    我们将说，这就是自然对数
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    x的自然对数
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    并且如你所见，f(x)
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    和我之前用其他颜色标注出的
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    将等于，f(x)将等于
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    x的平方根的自然对数
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    所以就是将x的自然平方根输入v，换言之是v(u(x))
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    这就是这个排版可告诉你的
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    好，现在我将找出这里的导数
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    那么链式法则在这将变得非常有用
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    接着链式法则告诉我们f'(x)
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    将等于
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    你可以将它看做基于内在函数的统一展现的“外在”函数
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    所以这将等于v'(u(x))
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    v(u(x))
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    乘上内部函数基于x的导数
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    所以这将是u'(x)
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    所以我们将如何得出这些东西？
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    我们知道如何求出u(x)的导数
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    和v(x)的导数，这里是u'(x),将等于
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    请记住，x的平方根等于x的1/2次幂，所以我们可以使用幂定律
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    将1/2取出所以我们在这得到1/2x
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    从它的指数中减去1
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    所以1/2减去1将等于-1/2
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    接着v(x)是多少呢？抱歉，是v'(x)
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    自然对数的导数是1/x，我们在另一个视频中展示了
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    所以我们知道u'(x)的值，
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    v'(x)的值，但v'(u'(x))的值是多少呢
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    好的v'(u'(x))，无论我们在哪看见x,
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    我们将之替换，让我将它写得整洁点
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    我们用u'(x)将之替换，所以v'(u'(x))
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    将等于
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    将等于1/u(x)
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    1/u(x),将等于
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    将等于
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    1除以x的平方根
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    1除以x的平方根
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    这就是这个式子想表达的，我们将其求出来了
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    它就是1/x的平方根，
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    接着这东西，u'(x)我们求出是
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    1/2乘x的-1/2次幂
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    我可以将之改写为1/2乘1除以x的1/2次幂。它
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    和1/2乘1除以x的平方根是相同的
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    或者我可将之写作1/2乘x的平方根
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    所以事情将怎样发展呢？
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    所以这将等于，用绿色写出
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    v'(u(x))等于1/x的平方根
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    乘上u'(x)等于
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    1除以2倍x的平方根，现在它将等于多少呢
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    这将等于
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    在这个点上仅剩代数的问题了
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    1除以，2倍x的平方根乘上x的平方根，就等于x
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    所以我们将之简写成1/2x
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    希望你理解了
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    我故意将之画出来
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    所以你将在认识这些函数的过程中得到该解法的肌肉记忆
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    并接着会更加理解
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    你可能在你的微积分课或你的微积分课本中见到的链式法则的表达
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    随着你做越多的练习，你将能够处理它
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    实质上，你根本不需要像这样将之完全写出
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    你将说，好的，我有个复合式
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    这是x的平方根的自然对数
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    这是v(u(x))
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    所以我想做的是求出该基于内在函数式的外在函数式的导数
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    所以某值的自然对数的导数
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    是基于某值，是1除以某值
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    所以这是1除以某值
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    某值的自然对数的导数
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    是基于某值，是1除以某值
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    所以这就是我们在这做的
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    另一种思考方式是，x的自然对数是？
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    那个是1/x，但不是x的平方根
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    这是1/x的平方根
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    所以这是1/x的平方根
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    所以你将求出基于内在函数的外在函数的导数
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    接着你将内在函数式的导数式相乘
  • 6:42 - 6:43
    我们做完了
Title:
Chain rule example
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:45

Chinese, Simplified subtitles

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