WEBVTT

00:00:00.376 --> 00:00:01.591
-所以我们现在有f(x)

00:00:01.591 --> 00:00:06.043
等于x 的平方根的自然对数。

00:00:06.043 --> 00:00:07.482
我们想在这个视频里做的是

00:00:07.482 --> 00:00:09.805
求f的导数

00:00:09.805 --> 00:00:14.620
关键点在于这里的f

00:00:14.620 --> 00:00:17.526
可以被看作两个函数的复合

00:00:17.526 --> 00:00:20.306
接着我们可将之画出，这是一番怎样的景象呢？

00:00:20.306 --> 00:00:23.372
如果你往我们的函数f输入x

00:00:23.372 --> 00:00:24.777
你将做的第一件事是什么呢

00:00:24.777 --> 00:00:26.403
好的，你求出了它的平方根

00:00:26.403 --> 00:00:30.153
所以我们从一些自变量x开始，你将之输入

00:00:32.758 --> 00:00:35.890
你做的第一件事是求其平方根

00:00:35.890 --> 00:00:42.302
你将求其平方根

00:00:43.181 --> 00:00:44.425
接着你将做什么呢

00:00:44.425 --> 00:00:46.619
你找到了它的平方根接着

00:00:46.619 --> 00:00:48.363
你要求它的自然对数

00:00:48.363 --> 00:00:51.144
所以你接着求它的自然对数

00:00:51.144 --> 00:00:53.118
所以你可将之视作把它输入进

00:00:53.118 --> 00:00:57.769
另一个函数，以求它的自然对数

00:00:57.769 --> 00:00:58.847
我将做些小方块

00:00:58.847 --> 00:01:00.578
以展示你输入的内容

00:01:00.578 --> 00:01:02.062
接着你创造了什么呢

00:01:02.062 --> 00:01:06.935
好了，你创造出了x的平方根的自然对数

00:01:06.935 --> 00:01:10.433
x的平方根的自然对数

00:01:10.433 --> 00:01:12.358
这将等于f(x)

00:01:12.358 --> 00:01:16.275
所以你可以将f(x)视作整体

00:01:18.697 --> 00:01:20.899
我猜你可能会说

00:01:20.899 --> 00:01:23.963
这种函数的组合就在这

00:01:23.963 --> 00:01:29.756
f(x), 本质上是两个函数的复合

00:01:29.756 --> 00:01:31.076
你往一个函数中输入自变量x

00:01:31.076 --> 00:01:34.020
得到输出结果后将之输入另一个函数

00:01:34.020 --> 00:01:36.237
所以你在这可以有个函数u

00:01:36.237 --> 00:01:39.715
其等于输入自变量的平方根

00:01:39.715 --> 00:01:43.515
所以u(x)等于x的平方根

00:01:43.515 --> 00:01:46.015
接着你取它的输出值

00:01:47.103 --> 00:01:49.972
再将之输入另一个我们将之称作v的函数

00:01:49.972 --> 00:01:51.365
那么v是什么呢

00:01:51.365 --> 00:01:53.569
我们将取输入量的自然对数

00:01:53.569 --> 00:01:57.259
在这种情况下，f将等于

00:01:57.259 --> 00:02:00.203
我将其图解一下，v正在求输入值的自然对数

00:02:00.203 --> 00:02:02.108
输入值即为x的平方根

00:02:02.108 --> 00:02:05.028
所以整体输出值将为x的平方根的自然对数

00:02:05.028 --> 00:02:08.198
如果我们将v(x)写作输入值

00:02:08.198 --> 00:02:10.376
我们将说，这就是自然对数

00:02:10.376 --> 00:02:13.209
x的自然对数

00:02:14.070 --> 00:02:16.224
并且如你所见，f(x)

00:02:16.224 --> 00:02:17.979
和我之前用其他颜色标注出的

00:02:17.979 --> 00:02:20.896
将等于，f(x)将等于

00:02:22.006 --> 00:02:24.690
x的平方根的自然对数

00:02:24.690 --> 00:02:28.857
所以就是将x的自然平方根输入v，换言之是v(u(x))

00:02:31.129 --> 00:02:33.971
这就是这个排版可告诉你的

00:02:33.971 --> 00:02:36.024
好，现在我将找出这里的导数

00:02:36.024 --> 00:02:39.333
那么链式法则在这将变得非常有用

00:02:39.333 --> 00:02:43.074
接着链式法则告诉我们f'(x)

00:02:43.074 --> 00:02:46.574
将等于

00:02:47.460 --> 00:02:51.421
你可以将它看做基于内在函数的统一展现的“外在”函数

00:02:51.421 --> 00:02:54.588
所以这将等于v'(u(x))

00:02:55.685 --> 00:02:57.185
v(u(x))

00:02:58.822 --> 00:03:02.753
乘上内部函数基于x的导数

00:03:02.753 --> 00:03:05.836
所以这将是u'(x)

00:03:06.677 --> 00:03:08.896
所以我们将如何得出这些东西？

00:03:08.896 --> 00:03:11.292
我们知道如何求出u(x)的导数

00:03:11.292 --> 00:03:16.237
和v(x)的导数，这里是u'(x),将等于

00:03:16.237 --> 00:03:22.694
请记住，x的平方根等于x的1/2次幂，所以我们可以使用幂定律

00:03:22.694 --> 00:03:26.688
将1/2取出所以我们在这得到1/2x

00:03:26.688 --> 00:03:29.420
从它的指数中减去1

00:03:29.420 --> 00:03:32.606
所以1/2减去1将等于-1/2

00:03:32.606 --> 00:03:36.606
接着v(x)是多少呢？抱歉，是v'(x)

00:03:38.688 --> 00:03:45.025
自然对数的导数是1/x，我们在另一个视频中展示了

00:03:45.025 --> 00:03:48.325
所以我们知道u'(x)的值，

00:03:48.325 --> 00:03:52.942
v'(x)的值，但v'(u'(x))的值是多少呢

00:03:52.942 --> 00:03:56.775
好的v'(u'(x))，无论我们在哪看见x,

00:03:58.379 --> 00:04:00.879
我们将之替换，让我将它写得整洁点

00:04:00.879 --> 00:04:05.365
我们用u'(x)将之替换，所以v'(u'(x))

00:04:05.365 --> 00:04:07.594
将等于

00:04:07.594 --> 00:04:10.854
将等于1/u(x)

00:04:10.854 --> 00:04:13.771
1/u(x),将等于

00:04:15.567 --> 00:04:17.910
将等于

00:04:17.910 --> 00:04:20.276
1除以x的平方根

00:04:20.276 --> 00:04:22.776
1除以x的平方根

00:04:24.556 --> 00:04:29.101
这就是这个式子想表达的，我们将其求出来了

00:04:29.101 --> 00:04:31.303
它就是1/x的平方根，

00:04:31.303 --> 00:04:35.053
接着这东西，u'(x)我们求出是

00:04:36.393 --> 00:04:41.780
1/2乘x的-1/2次幂

00:04:41.780 --> 00:04:46.492
我可以将之改写为1/2乘1除以x的1/2次幂。它

00:04:46.492 --> 00:04:51.159
和1/2乘1除以x的平方根是相同的

00:04:51.159 --> 00:04:55.241
或者我可将之写作1/2乘x的平方根

00:04:55.241 --> 00:04:58.194
所以事情将怎样发展呢？

00:04:58.194 --> 00:05:02.395
所以这将等于，用绿色写出

00:05:02.395 --> 00:05:06.562
v'(u(x))等于1/x的平方根

00:05:07.501 --> 00:05:11.668
乘上u'(x)等于

00:05:13.730 --> 00:05:16.983
1除以2倍x的平方根，现在它将等于多少呢

00:05:16.983 --> 00:05:19.794
这将等于

00:05:19.794 --> 00:05:21.457
在这个点上仅剩代数的问题了

00:05:21.457 --> 00:05:26.472
1除以，2倍x的平方根乘上x的平方根，就等于x

00:05:26.472 --> 00:05:29.096
所以我们将之简写成1/2x

00:05:29.096 --> 00:05:31.170
希望你理解了

00:05:31.170 --> 00:05:32.789
我故意将之画出来

00:05:32.789 --> 00:05:37.748
所以你将在认识这些函数的过程中得到该解法的肌肉记忆

00:05:37.748 --> 00:05:39.499
并接着会更加理解

00:05:39.499 --> 00:05:44.931
你可能在你的微积分课或你的微积分课本中见到的链式法则的表达

00:05:44.931 --> 00:05:47.143
随着你做越多的练习，你将能够处理它

00:05:47.143 --> 00:05:49.994
实质上，你根本不需要像这样将之完全写出

00:05:49.994 --> 00:05:51.504
你将说，好的，我有个复合式

00:05:51.504 --> 00:05:55.041
这是x的平方根的自然对数

00:05:55.041 --> 00:05:56.708
这是v(u(x))

00:05:57.824 --> 00:06:03.942
所以我想做的是求出该基于内在函数式的外在函数式的导数

00:06:03.942 --> 00:06:07.301
所以某值的自然对数的导数

00:06:07.301 --> 00:06:11.929
是基于某值，是1除以某值

00:06:11.929 --> 00:06:14.287
所以这是1除以某值

00:06:14.287 --> 00:06:16.184
某值的自然对数的导数

00:06:16.184 --> 00:06:19.624
是基于某值，是1除以某值

00:06:19.624 --> 00:06:21.182
所以这就是我们在这做的

00:06:21.182 --> 00:06:24.160
另一种思考方式是，x的自然对数是？

00:06:24.160 --> 00:06:27.571
那个是1/x，但不是x的平方根

00:06:27.571 --> 00:06:28.822
这是1/x的平方根

00:06:28.822 --> 00:06:31.442
所以这是1/x的平方根

00:06:31.442 --> 00:06:35.158
所以你将求出基于内在函数的外在函数的导数

00:06:35.158 --> 00:06:40.897
接着你将内在函数式的导数式相乘

00:06:41.849 --> 00:06:43.182
我们做完了