ปริศนาสะพานเคอนิกส์แบร์กพลิกโฉมโลกคณิตศาสตร์ได้อย่างไร - แดน แวน เดอ วีเรน (Dan Van der Vieren)

ชมบทเรียนฉบับเต็ม: http://ed.ted.com/lessons/how-the-konigsberg-bridge-problem-changed-mathematics-dan-van-der-vieren

คุณคงลำบากแน่ถ้าจะมองหาเมืองยุคกลาง เคอนิกส์แบร์ก บนแผนที่ยุคใหม่ แต่จุดหนึ่งที่น่าสนใจในภูมิศาสตร์ของมัน ได้ทำให้มันกลายเป็นหนึ่งในเมืองที่โด่งดังที่สุดแห่งวงการคณิตศาสตร์
แดน แวน เดอ วีเรน ได้อธิบายถึงความพยายามในการไขปริศนาสะพานทั้งเจ็ดแห่ง ช่วยให้นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์ สรรค์สร้างคณิตศาสตร์สาขาใหม่ได้อย่างไร

บทเรียนโดย Dan Van der Vieren แอนิเมชันโดย Artrake Studio

คุณคงลำบากแน่ หากจะมองหา
เคอนิกส์แบร์กบนแผนที่ยุคใหม่

แต่จุดหนึ่งที่น่าสนใจ
ในภูมิศาสตร์ของมัน

ได้ทำให้มันเป็นหนึ่งในเมืองที่มี
ชื่อเสียงที่สุดในโลกคณิตศาสตร์

เมืองเยอรมันยุคกลาง
ตั้งอยู่บนสองฝั่งแม่น้ำพรีเกิล

ณ ใจกลางมีเกาะขนาดใหญ่
สองเกาะ

เกาะทั้งสองนี้เชื่อมต่อถึงกัน
และยังเชื่อมต่อกับฝั่งแม่น้ำ

ด้วยสะพานทั้งเจ็ด

นักคณิตศาสตร์ คาร์ล ก็อตลีบพ์ อีเลอ
ผู้ต่อมาเป็นนายกเทศมนตรีเมืองใกล้ ๆ

หมกมุ่นอยู่กับเกาะและสะพานเหล่านี้

เขาคิดย้อนทวนถึงปัญหาอยู่ข้อเดียว

ต้องใช้เส้นทางไหนดีจึงจะ
ข้ามสะพานได้ครบทั้งเจ็ด

โดยที่ไม่ข้ามซ้ำสะพานเดิม

ลองหยุดคิดกันดูสักครู่

7

6

5

4

3

2

1

ยอมแพ้แล้วหรือ

ก็น่าอยู่หรอก

เพราะมันเป็นไปไม่ได้

แต่ความเพียรอธิบายสาเหตุ ทำให้
นักคณิตศาสตร์คนดัง ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์

สรรค์สร้างคณิตศาสตร์สาขาใหม่

คาร์ลเขียนจดหมายถึงออยเลอร์
ให้ช่วยไขปริศนา

ครั้งแรกออยเลอร์ละเลยคำถามนี้
เพราะไม่ใช่เรื่องของคณิตศาสตร์

แต่ยิ่งเขาครุ่นคิดถึงมันมากเท่าไร

ก็ยิ่งดูเหมือนว่ามีอะไรสักอย่างอยู่ดี

คำตอบที่เขาค้นพบ
เป็นเรื่องเกี่ยวกับเรขาคณิตชนิดหนึ่ง

ซึ่งยังไม่เคยมีมาก่อน เขาเรียกมันว่า
เรขาคณิตของตำแหน่ง

ปัจจุบันคือทฤษฎีกราฟ

ข้อสังเกตแรกของออยเลอร์

คือเส้นทางที่เลือกระหว่างการเข้าไปใน
เกาะหรือฝั่งแม่น้ำและการออกจากที่นั่น

อันที่จริงแล้วไม่ได้สำคัญนัก

ฉะนั้นจึงสามารถลดรูปแผนที่ให้ง่ายขึ้น
โดยให้แต่ละผืนดินจากทั้งสี่แห่ง

ถูกแทนที่ด้วยจุดเดียว

ซึ่งปัจจุบันเราเรียกว่า โนด

ด้วยเส้น หรือ เอ็ดจ์ เชื่อมระหว่างโนด
เพื่อเป็นตัวแทนของสะพาน

และกราฟที่ง่ายขึ้นนี้ช่วยให้เรา
นับดีกรีของแต่ละโนดได้ง่ายดาย

ดีกรี คือจำนวนสะพานที่แต่ละ
ผืนดินสัมผัส

ทำไมดีกรีจึงสำคัญน่ะหรือ

ก็เพราะตามกฎของคำท้า

เมื่อนักเดินทางไปถึง
ผืนดินหนึ่งด้วยสะพานหนึ่งแล้ว

พวกเขาต้องออกจากผืนดินนั้น
โดยใช้สะพานอื่น

ซึ่งก็คือ สะพานที่เข้าและออก
จากแต่ละโนดในเส้นทางใดก็ได้

แต่ต้องมีเป็นคู่ ๆ ที่แตกต่างกัน

หมายความว่าจำนวนสะพาน
ที่สัมผัสแต่ละผืนดินที่เดินผ่าน

ต้องเป็นจำนวนคู่

มีเพียงข้อยกเว้นที่เป็นไปได้
คือ ตำแหน่งของจุดเริ่มต้น

และจุดที่สิ้นสุดการเดิน

เมื่อมองไปที่กราฟ เป็นที่ชัดแจ้ง
ว่า ทั้งสี่โนด มีดีกรีเป็นจำนวนคี่

ดังนั้น ไม่ว่าจะเลือกเส้นทางใด

เมื่อถึงจุดหนึ่ง จะต้องมีสะพาน
สักแห่งที่ถูกข้ามซ้ำสองครั้ง

ออยเลอร์ได้ใช้บทพิสูจน์นี้
สร้างทฤษฎีทั่วไปขึ้นมา

ซึ่งประยุกต์ใช้กับกราฟที่มี
ตั้งแต่สองโนดขึ้นไปทั้งหมด

เส้นทางออยเลอร์ ซึ่งเดินผ่าน
แต่ละเอ็ดจ์เพียงครั้งเดียว

มีเพียงหนึ่งในสองกรณีต่อไปนี้
เท่านั้นที่เป็นไปได้

กรณีแรก คือ เมื่อมีโนดที่มีดีกรี
จำนวนคี่อยู่สองโนดพอดี

หมายถึงโนดที่เหลือทั้งหมดมี
ดีกรีจำนวนคู่

ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นคือ
หนึ่งในสองโนดที่มีดีกรีจำนวนคี่

และจุดสิ้นสุดคือ
อีกโนดที่มีดีกรีจำนวนคี่

กรณีที่สอง คือ เมื่อโนดทั้งหมด
มีดีกรีเป็นจำนวนคู่

ในกรณีนี้ เส้นทางออยเลอร์จะ
เริ่มต้นและสิ้นสุดในตำแหน่งเดียวกัน

ซึ่งทำให้มันกลายเป็นสิ่งที่เรียกว่า
วงจรออยเลอร์

แล้วเราจะสร้างเส้นทางออยเลอร์
ในเคอนิกส์แบร์กได้อย่างไร

มันง่ายมาก

แค่เอาสะพานไหนก็ได้ออก
ไปสักหนึ่งสะพาน

และปรากฏว่าประวัติศาสตร์
ได้สร้างเส้นทางออยเลอร์ของมันเอง

ในสงครามโลกครั้งที่ 2 กองทัพอากาศ
โซเวียตทำลายสะพานเมืองไปสองแห่ง

ทำให้เส้นทางออยเลอร์
เป็นไปได้อย่างง่ายดาย

ซึ่งถ้าว่ากันตามจริงแล้ว นั่นอาจจะ
ไม่ใช่ความตั้งใจของพวกเขาหรอก

การทิ้งระเบิดครั้งนั้นแทบจะกวาด
เคอนิกส์แบร์กออกจากแผนที่ไปเลย

และได้สร้างใหม่ขึ้นในภายหลัง
เป็นเมืองคาลินินกราดแห่งรัสเซีย

ดังนั้น แม้ว่าอาจไม่มีเคอนิกส์แบร์ก
กับสะพานทั้งเจ็ดอีกต่อไปแล้ว

แต่จะเป็นที่จดจำไปชั่วประวัติศาสตร์
เพียงเพราะปริศนาหนึ่งที่ดูแสนธรรมดา

ซึ่งนำไปสู่การกำเนิด
คณิตศาสตร์สาขาใหม่