< Return to Video

Как задача о семи мостах Кёнигсберга изменила математику — Дан Ван дер Вирен

  • 0:09 - 0:14
    Найти Кёнигсберг на современных картах
    вряд ли получится,
  • 0:14 - 0:17
    но именно одна его
    картографическая особенность
  • 0:17 - 0:22
    сделала город одним из самых
    известных в математике.
  • 0:22 - 0:26
    Средневековый город располагался
    на обоих берегах реки Прегель.
  • 0:26 - 0:29
    В центре города было два больших острова.
  • 0:29 - 0:33
    Оба острова друг с другом
    и с берегами соединяли
  • 0:33 - 0:36
    семь мостов.
  • 0:36 - 0:41
    Карлу Готтлибу Элеру, математику, ставшему
    впоследствии главой близлежащего города,
  • 0:41 - 0:44
    всё не давали покоя
    эти острова и их мосты.
  • 0:44 - 0:47
    Он всё больше задавался вопросом:
  • 0:47 - 0:51
    «Каким путём можно пройти все семь мостов,
  • 0:51 - 0:55
    но ни по одному из них не пройти дважды?»
  • 0:55 - 0:57
    Подумайте несколько секунд.
  • 0:57 - 0:58
    [7]
  • 0:58 - 0:59
    [6]
  • 0:59 - 1:00
    [5]
  • 1:00 - 1:01
    [4]
  • 1:01 - 1:02
    [3]
  • 1:02 - 1:03
    [2]
  • 1:03 - 1:04
    [1]
  • 1:04 - 1:05
    Сдаётесь?
  • 1:05 - 1:06
    Наверное, сдаётесь.
  • 1:06 - 1:08
    Да, это невозможно.
  • 1:08 - 1:13
    Однако в попытке объяснить почему,
    знаменитый математик Леонард Эйлер
  • 1:13 - 1:16
    изобрёл новое направление в математике.
  • 1:16 - 1:19
    Карл написал Эйлеру письмо
    и попросил помочь с задачей.
  • 1:19 - 1:23
    Эйлер вначале посчитал,
    что вопрос никак не связан с математикой.
  • 1:23 - 1:25
    Но чем дольше он думал над решением,
  • 1:25 - 1:29
    тем больше ему начинало казаться,
    что что-то тут не так.
  • 1:29 - 1:33
    Он нашёл ответ, который лежит
    в плоскости геометрии,
  • 1:33 - 1:38
    в ту пору ещё не существовавшей,
    которую он назвал позиционной геометрией
  • 1:38 - 1:42
    и которая сейчас известна
    под названием теории графов.
  • 1:42 - 1:43
    Первая мысль, осенившая Эйлера,
  • 1:43 - 1:49
    была о том, что маршрут от входа на остров
    или перехода на берег и до выхода оттуда
  • 1:49 - 1:51
    не имеет никакого значения.
  • 1:51 - 1:54
    Поэтому карту можно упрощённо изобразить
    как совокупность четырёх частей города,
  • 1:54 - 1:57
    каждая из которых
    представляет собой точку,
  • 1:57 - 1:59
    которую мы сейчас называем вершиной,
  • 1:59 - 2:04
    с линиями, или рёбрами, между ними,
    представленными мостами.
  • 2:04 - 2:10
    Упрощённый граф позволяет нам легко
    сосчитать рёбра каждой вершины.
  • 2:10 - 2:13
    Это число мостов,
    которые соединяют эту часть города.
  • 2:13 - 2:15
    Но зачем нам рёбра?
  • 2:15 - 2:17
    В соответствии с правилами задачи,
  • 2:17 - 2:21
    если путешественники попадают
    в эту часть города по одному мосту,
  • 2:21 - 2:24
    им надо выйти из неё через другой мост.
  • 2:24 - 2:28
    То есть мосты, ведущие к вершине и от неё
    по любому маршруту,
  • 2:28 - 2:31
    должны сочетаться в различных парах,
  • 2:31 - 2:34
    это означает, что число мостов,
    соединяющих каждую из частей города,
  • 2:34 - 2:36
    должно быть чётным.
  • 2:36 - 2:40
    Единственными исключениями
    могут быть точки начала
  • 2:40 - 2:42
    и конца маршрута.
  • 2:42 - 2:47
    На нашем графе мы видим
    на четырёх вершинах нечётное число ребёр.
  • 2:47 - 2:49
    Поэтому неважно, какой выбран путь,
  • 2:49 - 2:53
    в определённой точке какой-то мост
    придётся пересекать дважды.
  • 2:53 - 2:58
    Эйлер использовал это доказательство,
    чтобы сформулировать общую теорию,
  • 2:58 - 3:02
    которая относится ко всем графам
    с двумя и более вершинами.
  • 3:02 - 3:06
    Путь Эйлера, двигаясь по которому
    можно пройти по мостам только один раз,
  • 3:06 - 3:09
    возможен в одном из двух случаев.
  • 3:09 - 3:14
    Первый: когда есть ровно две вершины,
    имеющие нечётное число рёбер,
  • 3:14 - 3:16
    а остальные должны иметь
    чётное число рёбер.
  • 3:16 - 3:20
    В данном случае начинать двигаться надо
    с одной из нечётных вершин,
  • 3:20 - 3:22
    а заканчивать — на второй вершине.
  • 3:22 - 3:26
    Второй случай — это когда все вершины
    имеют чётное число рёбер.
  • 3:26 - 3:31
    В таком случае путь Эйлера
    начнётся и закончится в одной точке,
  • 3:31 - 3:35
    этот случай принято называть
    Эйлеровым циклом.
  • 3:35 - 3:38
    Так как же создать
    Эйлеров путь в Кёнингсберге?
  • 3:38 - 3:39
    Очень просто.
  • 3:39 - 3:41
    Надо просто убрать один из мостов.
  • 3:41 - 3:46
    И, похоже, история сама создала
    свой собственный Эйлеров путь.
  • 3:46 - 3:50
    Во время Второй мировой войны
    советские ВВС уничтожили два моста,
  • 3:50 - 3:54
    и путь Эйлера стал вполне возможен.
  • 3:54 - 3:57
    Хотя, по правде говоря, в планы лётчиков
    решение задачи не входило.
  • 3:57 - 4:01
    В результате бомбардировок Кёнигсберг
    был почти стёрт с лица земли,
  • 4:01 - 4:05
    а затем город отстроили заново
    и назвали советским Калининградом.
  • 4:05 - 4:09
    И хотя Кёнигсберга и его семи мостов
    больше не существует,
  • 4:09 - 4:13
    он вошёл в историю благодаря задаче,
    которая только кажется простой,
  • 4:13 - 4:18
    но именно её решение привело к появлению
    новой области математики.
Title:
Как задача о семи мостах Кёнигсберга изменила математику — Дан Ван дер Вирен
Description:

Посмотреть урок полностью: http://ed.ted.com/lessons/how-the-konigsberg-bridge-problem-changed-mathematics-dan-van-der-vieren

Найти на современных картах средневековый город Кёнигсберг у вас вряд ли получится, но именно картографическая его особенность способствовала его славе в качестве одного из самых знаменитых городов математики. Дан Ван дер Вирен объяснит нам, как сложный поиск решения задачи о семи мостах привёл знаменитого математика Леонарда Эйлера к изобретению новой области математики.

Урок — Дан Ван дер Вирен, мультипликация — Artrake Studio.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:39

Russian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.