1
00:00:09,036 --> 00:00:14,106
Найти Кёнигсберг на современных картах
вряд ли получится,

2
00:00:14,106 --> 00:00:17,415
но именно одна его
картографическая особенность

3
00:00:17,415 --> 00:00:22,205
сделала город одним из самых
известных в математике.

4
00:00:22,205 --> 00:00:26,214
Средневековый город располагался
на обоих берегах реки Прегель.

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,875
В центре города было два больших острова.

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,124
Оба острова друг с другом
и с берегами соединяли

7
00:00:33,124 --> 00:00:35,884
семь мостов.

8
00:00:35,884 --> 00:00:41,296
Карлу Готтлибу Элеру, математику, ставшему
впоследствии главой близлежащего города,

9
00:00:41,296 --> 00:00:44,395
всё не давали покоя
эти острова и их мосты.

10
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
Он всё больше задавался вопросом:

11
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
«Каким путём можно пройти все семь мостов,

12
00:00:51,095 --> 00:00:55,136
но ни по одному из них не пройти дважды?»

13
00:00:55,136 --> 00:00:56,946
Подумайте несколько секунд.

14
00:00:56,946 --> 00:00:57,936
[7]

15
00:00:57,936 --> 00:00:58,947
[6]

16
00:00:58,947 --> 00:00:59,916
[5]

17
00:00:59,916 --> 00:01:00,847
[4]

18
00:01:00,847 --> 00:01:01,956
[3]

19
00:01:01,956 --> 00:01:02,886
[2]

20
00:01:02,886 --> 00:01:03,996
[1]

21
00:01:03,996 --> 00:01:05,076
Сдаётесь?

22
00:01:05,076 --> 00:01:06,198
Наверное, сдаётесь.

23
00:01:06,198 --> 00:01:07,513
Да, это невозможно.

24
00:01:07,513 --> 00:01:12,636
Однако в попытке объяснить почему,
знаменитый математик Леонард Эйлер

25
00:01:12,636 --> 00:01:15,997
изобрёл новое направление в математике.

26
00:01:15,997 --> 00:01:18,648
Карл написал Эйлеру письмо
и попросил помочь с задачей.

27
00:01:18,648 --> 00:01:23,367
Эйлер вначале посчитал,
что вопрос никак не связан с математикой.

28
00:01:23,367 --> 00:01:25,136
Но чем дольше он думал над решением,

29
00:01:25,136 --> 00:01:28,977
тем больше ему начинало казаться,
что что-то тут не так.

30
00:01:28,977 --> 00:01:32,906
Он нашёл ответ, который лежит
в плоскости геометрии,

31
00:01:32,906 --> 00:01:38,258
в ту пору ещё не существовавшей,
которую он назвал позиционной геометрией

32
00:01:38,258 --> 00:01:41,897
и которая сейчас известна
под названием теории графов.

33
00:01:41,897 --> 00:01:43,443
Первая мысль, осенившая Эйлера,

34
00:01:43,443 --> 00:01:48,507
была о том, что маршрут от входа на остров
или перехода на берег и до выхода оттуда

35
00:01:48,507 --> 00:01:50,578
не имеет никакого значения.

36
00:01:50,578 --> 00:01:54,427
Поэтому карту можно упрощённо изобразить
как совокупность четырёх частей города,

37
00:01:54,427 --> 00:01:56,627
каждая из которых
представляет собой точку,

38
00:01:56,627 --> 00:01:59,297
которую мы сейчас называем вершиной,

39
00:01:59,297 --> 00:02:04,198
с линиями, или рёбрами, между ними,
представленными мостами.

40
00:02:04,198 --> 00:02:09,619
Упрощённый граф позволяет нам легко
сосчитать рёбра каждой вершины.

41
00:02:09,619 --> 00:02:13,219
Это число мостов,
которые соединяют эту часть города.

42
00:02:13,219 --> 00:02:14,598
Но зачем нам рёбра?

43
00:02:14,598 --> 00:02:16,828
В соответствии с правилами задачи,

44
00:02:16,828 --> 00:02:20,678
если путешественники попадают 
в эту часть города по одному мосту,

45
00:02:20,678 --> 00:02:23,800
им надо выйти из неё через другой мост.

46
00:02:23,800 --> 00:02:28,168
То есть мосты, ведущие к вершине и от неё
по любому маршруту,

47
00:02:28,168 --> 00:02:30,587
должны сочетаться в различных парах,

48
00:02:30,587 --> 00:02:34,239
это означает, что число мостов, 
соединяющих каждую из частей города,

49
00:02:34,239 --> 00:02:36,368
должно быть чётным.

50
00:02:36,368 --> 00:02:40,029
Единственными исключениями 
могут быть точки начала

51
00:02:40,029 --> 00:02:42,267
и конца маршрута.

52
00:02:42,267 --> 00:02:47,218
На нашем графе мы видим
на четырёх вершинах нечётное число ребёр.

53
00:02:47,218 --> 00:02:49,187
Поэтому неважно, какой выбран путь,

54
00:02:49,187 --> 00:02:53,440
в определённой точке какой-то мост
придётся пересекать дважды.

55
00:02:53,440 --> 00:02:57,709
Эйлер использовал это доказательство, 
чтобы сформулировать общую теорию,

56
00:02:57,709 --> 00:03:01,721
которая относится ко всем графам
с двумя и более вершинами.

57
00:03:01,721 --> 00:03:05,790
Путь Эйлера, двигаясь по которому
можно пройти по мостам только один раз,

58
00:03:05,790 --> 00:03:09,159
возможен в одном из двух случаев.

59
00:03:09,159 --> 00:03:13,769
Первый: когда есть ровно две вершины,
имеющие нечётное число рёбер,

60
00:03:13,769 --> 00:03:16,310
а остальные должны иметь
чётное число рёбер.

61
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
В данном случае начинать двигаться надо
с одной из нечётных вершин,

62
00:03:19,659 --> 00:03:21,770
а заканчивать — на второй вершине.

63
00:03:21,770 --> 00:03:26,091
Второй случай — это когда все вершины
имеют чётное число рёбер.

64
00:03:26,091 --> 00:03:31,231
В таком случае путь Эйлера
начнётся и закончится в одной точке,

65
00:03:31,231 --> 00:03:34,758
этот случай принято называть
Эйлеровым циклом.

66
00:03:34,758 --> 00:03:38,460
Так как же создать 
Эйлеров путь в Кёнингсберге?

67
00:03:38,460 --> 00:03:39,302
Очень просто.

68
00:03:39,302 --> 00:03:41,402
Надо просто убрать один из мостов.

69
00:03:41,402 --> 00:03:46,080
И, похоже, история сама создала
свой собственный Эйлеров путь.

70
00:03:46,080 --> 00:03:50,198
Во время Второй мировой войны
советские ВВС уничтожили два моста,

71
00:03:50,198 --> 00:03:53,531
и путь Эйлера стал вполне возможен.

72
00:03:53,531 --> 00:03:57,291
Хотя, по правде говоря, в планы лётчиков
решение задачи не входило.

73
00:03:57,291 --> 00:04:00,781
В результате бомбардировок Кёнигсберг 
был почти стёрт с лица земли,

74
00:04:00,781 --> 00:04:04,910
а затем город отстроили заново 
и назвали советским Калининградом.

75
00:04:04,910 --> 00:04:09,083
И хотя Кёнигсберга и его семи мостов
больше не существует,

76
00:04:09,083 --> 00:04:13,361
он вошёл в историю благодаря задаче,
которая только кажется простой,

77
00:04:13,361 --> 00:04:17,662
но именно её решение привело к появлению
новой области математики.