Найти Кёнигсберг на современных картах вряд ли получится,
но именно одна его картографическая особенность
сделала город одним из самых известных в математике.
Средневековый город располагался на обоих берегах реки Прегель.
В центре города было два больших острова.
Оба острова друг с другом и с берегами соединяли
семь мостов.
Карлу Готтлибу Элеру, математику, ставшему впоследствии главой близлежащего города,
всё не давали покоя эти острова и их мосты.
Он всё больше задавался вопросом:
«Каким путём можно пройти все семь мостов,
но ни по одному из них не пройти дважды?»
Подумайте несколько секунд.
[7]
[6]
[5]
[4]
[3]
[2]
[1]
Сдаётесь?
Наверное, сдаётесь.
Да, это невозможно.
Однако в попытке объяснить почему, знаменитый математик Леонард Эйлер
изобрёл новое направление в математике.
Карл написал Эйлеру письмо и попросил помочь с задачей.
Эйлер вначале посчитал, что вопрос никак не связан с математикой.
Но чем дольше он думал над решением,
тем больше ему начинало казаться, что что-то тут не так.
Он нашёл ответ, который лежит в плоскости геометрии,
в ту пору ещё не существовавшей, которую он назвал позиционной геометрией
и которая сейчас известна под названием теории графов.
Первая мысль, осенившая Эйлера,
была о том, что маршрут от входа на остров или перехода на берег и до выхода оттуда
не имеет никакого значения.
Поэтому карту можно упрощённо изобразить как совокупность четырёх частей города,
каждая из которых представляет собой точку,
которую мы сейчас называем вершиной,
с линиями, или рёбрами, между ними, представленными мостами.
Упрощённый граф позволяет нам легко сосчитать рёбра каждой вершины.
Это число мостов, которые соединяют эту часть города.
Но зачем нам рёбра?
В соответствии с правилами задачи,
если путешественники попадают в эту часть города по одному мосту,
им надо выйти из неё через другой мост.
То есть мосты, ведущие к вершине и от неё по любому маршруту,
должны сочетаться в различных парах,
это означает, что число мостов, соединяющих каждую из частей города,
должно быть чётным.
Единственными исключениями могут быть точки начала
и конца маршрута.
На нашем графе мы видим на четырёх вершинах нечётное число ребёр.
Поэтому неважно, какой выбран путь,
в определённой точке какой-то мост придётся пересекать дважды.
Эйлер использовал это доказательство, чтобы сформулировать общую теорию,
которая относится ко всем графам с двумя и более вершинами.
Путь Эйлера, двигаясь по которому можно пройти по мостам только один раз,
возможен в одном из двух случаев.
Первый: когда есть ровно две вершины, имеющие нечётное число рёбер,
а остальные должны иметь чётное число рёбер.
В данном случае начинать двигаться надо с одной из нечётных вершин,
а заканчивать — на второй вершине.
Второй случай — это когда все вершины имеют чётное число рёбер.
В таком случае путь Эйлера начнётся и закончится в одной точке,
этот случай принято называть Эйлеровым циклом.
Так как же создать Эйлеров путь в Кёнингсберге?
Очень просто.
Надо просто убрать один из мостов.
И, похоже, история сама создала свой собственный Эйлеров путь.
Во время Второй мировой войны советские ВВС уничтожили два моста,
и путь Эйлера стал вполне возможен.
Хотя, по правде говоря, в планы лётчиков решение задачи не входило.
В результате бомбардировок Кёнигсберг был почти стёрт с лица земли,
а затем город отстроили заново и назвали советским Калининградом.
И хотя Кёнигсберга и его семи мостов больше не существует,
он вошёл в историю благодаря задаче, которая только кажется простой,
но именно её решение привело к появлению новой области математики.