Найти Кёнигсберг на современных картах
вряд ли получится,
но именно одна его
картографическая особенность
сделала город одним из самых
известных в математике.
Средневековый город располагался
на обоих берегах реки Прегель.
В центре города было два больших острова.
Оба острова друг с другом
и с берегами соединяли
семь мостов.
Карлу Готтлибу Элеру, математику, ставшему
впоследствии главой близлежащего города,
всё не давали покоя
эти острова и их мосты.
Он всё больше задавался вопросом:
«Каким путём можно пройти все семь мостов,
но ни по одному из них не пройти дважды?»
Подумайте несколько секунд.
[7]
[6]
[5]
[4]
[3]
[2]
[1]
Сдаётесь?
Наверное, сдаётесь.
Да, это невозможно.
Однако в попытке объяснить почему,
знаменитый математик Леонард Эйлер
изобрёл новое направление в математике.
Карл написал Эйлеру письмо
и попросил помочь с задачей.
Эйлер вначале посчитал,
что вопрос никак не связан с математикой.
Но чем дольше он думал над решением,
тем больше ему начинало казаться,
что что-то тут не так.
Он нашёл ответ, который лежит
в плоскости геометрии,
в ту пору ещё не существовавшей,
которую он назвал позиционной геометрией
и которая сейчас известна
под названием теории графов.
Первая мысль, осенившая Эйлера,
была о том, что маршрут от входа на остров
или перехода на берег и до выхода оттуда
не имеет никакого значения.
Поэтому карту можно упрощённо изобразить
как совокупность четырёх частей города,
каждая из которых
представляет собой точку,
которую мы сейчас называем вершиной,
с линиями, или рёбрами, между ними,
представленными мостами.
Упрощённый граф позволяет нам легко
сосчитать рёбра каждой вершины.
Это число мостов,
которые соединяют эту часть города.
Но зачем нам рёбра?
В соответствии с правилами задачи,
если путешественники попадают
в эту часть города по одному мосту,
им надо выйти из неё через другой мост.
То есть мосты, ведущие к вершине и от неё
по любому маршруту,
должны сочетаться в различных парах,
это означает, что число мостов,
соединяющих каждую из частей города,
должно быть чётным.
Единственными исключениями
могут быть точки начала
и конца маршрута.
На нашем графе мы видим
на четырёх вершинах нечётное число ребёр.
Поэтому неважно, какой выбран путь,
в определённой точке какой-то мост
придётся пересекать дважды.
Эйлер использовал это доказательство,
чтобы сформулировать общую теорию,
которая относится ко всем графам
с двумя и более вершинами.
Путь Эйлера, двигаясь по которому
можно пройти по мостам только один раз,
возможен в одном из двух случаев.
Первый: когда есть ровно две вершины,
имеющие нечётное число рёбер,
а остальные должны иметь
чётное число рёбер.
В данном случае начинать двигаться надо
с одной из нечётных вершин,
а заканчивать — на второй вершине.
Второй случай — это когда все вершины
имеют чётное число рёбер.
В таком случае путь Эйлера
начнётся и закончится в одной точке,
этот случай принято называть
Эйлеровым циклом.
Так как же создать
Эйлеров путь в Кёнингсберге?
Очень просто.
Надо просто убрать один из мостов.
И, похоже, история сама создала
свой собственный Эйлеров путь.
Во время Второй мировой войны
советские ВВС уничтожили два моста,
и путь Эйлера стал вполне возможен.
Хотя, по правде говоря, в планы лётчиков
решение задачи не входило.
В результате бомбардировок Кёнигсберг
был почти стёрт с лица земли,
а затем город отстроили заново
и назвали советским Калининградом.
И хотя Кёнигсберга и его семи мостов
больше не существует,
он вошёл в историю благодаря задаче,
которая только кажется простой,
но именно её решение привело к появлению
новой области математики.