Jak zagadka siedmiu mostów zmieniła oblicze matematyki - Dan Van der Vieren

Zobacz pełną lekcję na: http://ed.ted.com/lessons/how-the-konigsberg-bridge-problem-changed-mathematics-dan-van-der-vieren

Dziś trudno byłoby wam znaleźć Królewiec na mapie, ale pewna jego geograficzna osobliwość spowodowała, że Królewiec stał się jednym z najsłynniejszych miast w matematyce. Dan Van der Vieren wyjaśnia, jak próby wyjaśnienia zagadki siedmiu mostów królewieckich doprowadziły słynnego naukowca Leonharda Eulera do stworzenia nowego działu w matematyce.

Lekcja: Dan Van der Vieren, animacje: Artrake Studio.

Dziś trudno byłoby wam
znaleźć Królewiec na mapie,

ale pewna jego geograficzna osobliwość

spowodowała, że Królewiec stał się jednym
z najsłynniejszych miast w matematyce.

Przez to średniowieczne niemieckie
miasto przepływała rzeka Pregoła.

Pośrodku rzeki leżały dwie duże wyspy.

Połączone były z lądem i między sobą

siedmioma mostami.

Carl Gottlieb Ehler, matematyk,
a później burmistrz pobliskiego miasta,

miał obsesję na punkcie
tych wysp i mostów.

Wciąż powracał do jednego pytania:

Która trasa umożliwiłaby przejście
wszystkich siedmiu mostów

bez pokonania żadnego więcej niż raz?

Pomyślcie o tym przez chwilę.

7

6

5

4

3

2

1

Daliście sobie spokój?

Powinniście.

To niemożliwe.

Próby wyjaśnienia tej zagadki doprowadziły
słynnego matematyka Leonharda Eulera

do stworzenia nowego
działu w matematyce.

Carl pisał do Eulera z prośbą o pomoc.

Euler początkowo zignorował
pytanie jako niezwiązane z matematyką.

Jednak im więcej nad nim myślał,

tym bardziej wydawało mu się,
że coś w tym jednak jest.

Odpowiedź, na którą wpadł,
związana była z działem geometrii,

który wtedy jeszcze nie istniał.

Nazwał go geometrią położenia,
znaną dziś jako teoria grafów.

Euler doszedł do wniosku,

że kolejność przejścia mostów

nie ma tak naprawdę żadnego znaczenia.

Mapę można więc ograniczyć
do przedstawienia czterech lądów,

oznaczonych przez pojedyncze punkty,

nazywanych dziś wierzchołkami.

Linie między nimi reprezentują mosty.

Ten uproszczony schemat pozwala nam
łatwo policzyć łuki każdego wierzchołka.

Jest to liczba mostów,
które dotyka każdy z lądów.

Dlaczego to ma takie znaczenie?

Zgodnie z zasadami,

jeśli człowiek wejdzie
na ląd przez jeden most,

będzie musiał wejść na
kolejny most, by opuścić ląd.

Innymi słowy, mosty prowadzące
na każdy ląd i z niego

muszą łączyć się w pary.

To oznacza, że każdy z nich musi być
połączony parzystą liczbą mostów z innymi.

Jedynym wyjątkiem są
początek i koniec trasy.

Po spojrzeniu na schemat okazuje się,

że wszystkie lądy mają
nieparzystą ilość łuków.

Obrana trasa nie ma więc znaczenia.

W którymś momencie jeden most
będzie trzeba przekroczyć dwukrotnie.

Euler wykorzystał ten dowód
do sformułowania ogólnej teorii

odnoszącej się do wszystkich grafów
z dwoma lub większą liczbą łuków.

Łańcuch Eulera, w którym
każdy most przekracza się tylko raz,

jest możliwy tylko w dwóch przypadkach.

Pierwszy przypadek to dokładnie dwa
wierzchołki z nieparzystą liczbą łuków,

czyli że wszystkie pozostałe są parzyste.

Tymi dwoma wierzchołkami są punkt
początkowy i punkt końcowy trasy.

W drugim przypadku wszystkie wierzchołki
mają parzystą liczbę łuków.

Droga rozpoczyna się wtedy
i kończy w tym samym miejscu,

co tworzy tak zwany cykl Eulera.

Jak więc stworzyć
łańcuch Eulera w Królewcu?

To proste.

Wystarczy usunąć jeden most.

Okazuje się, że historia stworzyła
już kiedyś własny łańcuch Eulera.

Podczas II wojny światowej radzieckie
lotnictwo zniszczyło dwa mosty,

powodując, że łańcuch
Eulera stał się możliwy.

Oczywiście nie o to chodziło
radzieckim lotnikom.

Bombardowania w znacznej części
zmiotły Królewiec z powierzchni ziemi.

Odbudowano go później jako
rosyjskie miasto Kaliningrad.

Choć Królewca i jego
siedmiu mostów już nie ma,

to zagadnienie siedmiu mostów
zapisało się w historii

jako pozornie trywialna zagadka,

która zapoczątkowała
nową dziedzinę matematyki.