Dziś trudno byłoby wam znaleźć Królewiec na mapie,
ale pewna jego geograficzna osobliwość
spowodowała, że Królewiec stał się jednym z najsłynniejszych miast w matematyce.
Przez to średniowieczne niemieckie miasto przepływała rzeka Pregoła.
Pośrodku rzeki leżały dwie duże wyspy.
Połączone były z lądem i między sobą
siedmioma mostami.
Carl Gottlieb Ehler, matematyk, a później burmistrz pobliskiego miasta,
miał obsesję na punkcie tych wysp i mostów.
Wciąż powracał do jednego pytania:
Która trasa umożliwiłaby przejście wszystkich siedmiu mostów
bez pokonania żadnego więcej niż raz?
Pomyślcie o tym przez chwilę.
7
6
5
4
3
2
1
Daliście sobie spokój?
Powinniście.
To niemożliwe.
Próby wyjaśnienia tej zagadki doprowadziły słynnego matematyka Leonharda Eulera
do stworzenia nowego działu w matematyce.
Carl pisał do Eulera z prośbą o pomoc.
Euler początkowo zignorował pytanie jako niezwiązane z matematyką.
Jednak im więcej nad nim myślał,
tym bardziej wydawało mu się, że coś w tym jednak jest.
Odpowiedź, na którą wpadł, związana była z działem geometrii,
który wtedy jeszcze nie istniał.
Nazwał go geometrią położenia, znaną dziś jako teoria grafów.
Euler doszedł do wniosku,
że kolejność przejścia mostów
nie ma tak naprawdę żadnego znaczenia.
Mapę można więc ograniczyć do przedstawienia czterech lądów,
oznaczonych przez pojedyncze punkty,
nazywanych dziś wierzchołkami.
Linie między nimi reprezentują mosty.
Ten uproszczony schemat pozwala nam łatwo policzyć łuki każdego wierzchołka.
Jest to liczba mostów, które dotyka każdy z lądów.
Dlaczego to ma takie znaczenie?
Zgodnie z zasadami,
jeśli człowiek wejdzie na ląd przez jeden most,
będzie musiał wejść na kolejny most, by opuścić ląd.
Innymi słowy, mosty prowadzące na każdy ląd i z niego
muszą łączyć się w pary.
To oznacza, że każdy z nich musi być połączony parzystą liczbą mostów z innymi.
Jedynym wyjątkiem są początek i koniec trasy.
Po spojrzeniu na schemat okazuje się,
że wszystkie lądy mają nieparzystą ilość łuków.
Obrana trasa nie ma więc znaczenia.
W którymś momencie jeden most będzie trzeba przekroczyć dwukrotnie.
Euler wykorzystał ten dowód do sformułowania ogólnej teorii
odnoszącej się do wszystkich grafów z dwoma lub większą liczbą łuków.
Łańcuch Eulera, w którym każdy most przekracza się tylko raz,
jest możliwy tylko w dwóch przypadkach.
Pierwszy przypadek to dokładnie dwa wierzchołki z nieparzystą liczbą łuków,
czyli że wszystkie pozostałe są parzyste.
Tymi dwoma wierzchołkami są punkt początkowy i punkt końcowy trasy.
W drugim przypadku wszystkie wierzchołki mają parzystą liczbę łuków.
Droga rozpoczyna się wtedy i kończy w tym samym miejscu,
co tworzy tak zwany cykl Eulera.
Jak więc stworzyć łańcuch Eulera w Królewcu?
To proste.
Wystarczy usunąć jeden most.
Okazuje się, że historia stworzyła już kiedyś własny łańcuch Eulera.
Podczas II wojny światowej radzieckie lotnictwo zniszczyło dwa mosty,
powodując, że łańcuch Eulera stał się możliwy.
Oczywiście nie o to chodziło radzieckim lotnikom.
Bombardowania w znacznej części zmiotły Królewiec z powierzchni ziemi.
Odbudowano go później jako rosyjskie miasto Kaliningrad.
Choć Królewca i jego siedmiu mostów już nie ma,
to zagadnienie siedmiu mostów zapisało się w historii
jako pozornie trywialna zagadka,
która zapoczątkowała nową dziedzinę matematyki.