Come il problema dei ponti di Königsberg cambiò la matematica - Dan Van der Vieren

Vedi la lezione intera: http://ed.ted.com/lessons/how-the-konigsberg-bridge-problem-changed-mathematics-dan-van-der-vieren

Avrai difficoltà a cercare la città medievale di Königsberg su qualsiasi cartina moderna, ma una stranezza particolare della sua geografia l'ha resa una delle città più famose nella matematica. Dan Van der Vieren spiega come l'essere alle prese con gli enigmatici sette ponti di Königsberg ha portato il famoso matematico Leonhard Euler a inventare un nuovo campo della matematica.

Lezione di Dan Van der Vieren, animazione di Artrake Studio.

Ti sarà difficile trovare Königsberg
in qualsiasi cartina moderna

ma una particolare stranezza
nella sua geografia

l'ha resa una delle città più famose
nella matematica.

La città medievale tedesca si estende
su entrambe le sponde del fiume Pregel.

Al centro c'erano due grandi isole.

Le due isole erano collegate tra di loro
e agli argini del fiume

da sette ponti.

Carl Gottlieb Ehler, un matematico che
poi divenne sindaco di una città vicina,

si ossessionò con queste isole e
i loro ponti.

Continuava a pensare a una domanda:

Quale percorso avrebbe permesso di
attraversare tutti e sette i ponti

senza attraversarne nessuno
più di una volta?

Pensaci un momento.

7

6

5

4

3

2

1

Ti arrendi?

Dovresti.

Non è possibile.

Ma provando a spiegarne il perché
il famoso matematico Leonhard Euler

inventò un nuovo campo della matematica.

Carl scrisse a Euler chiedendo
aiuto per il problema.

Euler inizialmente respinse il problema
dicendo che non concerneva la matematica.

Ma più si sforzava,

più sembrava che ci potesse
essere qualcosa dopotutto.

La risposta che gli venne in mente
aveva a che fare con un tipo di geometria

che non esisteva ancora,
che chiamò la Geometria Topologica,

ora conosciuta come Teoria dei Grafi.

La prima intuizione di Euler

fu che il percorso da intraprendere
entrando nell'isola o sulla riva e uscirne

non importava davvero.

Così, la mappa poteva essere semplificata
in modo che ognuno delle quattro terre

rappresentasse un punto singolo,

che ora chiamiamo un Nodo,

con linee, o collegamenti, tra di loro
per rappresentare i ponti.

Questo grafico semplificato ci permette di
contare facilmente i gradi di ogni nodo.

Quello è il numero di ponti che
ciascuna terra tocca.

Perché i gradi sono importanti?

Beh, stando alle regole
della sfida,

una volta che i viaggiatori arrivano
su una terra da un ponte,

dovranno lasciarla attraverso
un altro ponte.

In altre parole, i ponti tra ogni nodo
o tragitto

devono presentarsi in
coppie distinte,

cioè il numero di ponti che toccano
ogni terra visitata

deve essere pari.

L'unica possibile eccezione
possono essere i punti di inizio

e fine del tragitto.

Guardando il grafico, è chiaro che tutti
e quattro i nodi hanno un grado dispari.

Perciò, non importa che percorso scegli,

ad un certo punto, un ponte
dovrà essere attraversato due volte.

Euler usò questa dimostrazione per
formulare una teoria generale

da applicare a tutti i grafici
con due o più nodi.

Un cammino Euleriano,
che attraversa ogni margine solo una volta

è possibile solo in due modi.

Il primo è quando ci sono esattamente
due nodi di grado dispari,

e quindi i restanti sono pari.

Quindi, il punto di inizio è uno
dei nodi dispari,

e il punto di fine è l'altro.

Il secondo è quando tutti i nodi
sono di grado pari.

Perciò, il cammino Euleriano
inizierà e terminerà nello stesso punto,

che lo rende tale da essere chiamato
circuito Euleriano.

Quindi, come creare un cammino Euleriano
a Königsberg?

è semplice.

Basta eliminare
un ponte qualsiasi.

Ed è successo che la storia ha creato
un cammino Euleriano da sola.

Durante la II Guerra Mondiale, gli aerei
sovietici distrussero due dei ponti,

realizzando facilmente
un cammino Euleriano.

Anche se, onestamente, non credo
fosse loro intenzione.

Questi bombardamenti quasi
spazzarono via Königsberg dalla mappa,

e in seguito fu ricostruita come città
russa con il nome di Kaliningrad.

Perciò anche se Königsberg e i suoi
sette ponti possono non esistere più,

saranno ricordati nella storia per
l'enigma apparentemente triviale

che portò alla nascita di un
intero nuovo campo della matematica.