Ti sarà difficile trovare Königsberg in qualsiasi cartina moderna
ma una particolare stranezza nella sua geografia
l'ha resa una delle città più famose nella matematica.
La città medievale tedesca si estende su entrambe le sponde del fiume Pregel.
Al centro c'erano due grandi isole.
Le due isole erano collegate tra di loro e agli argini del fiume
da sette ponti.
Carl Gottlieb Ehler, un matematico che poi divenne sindaco di una città vicina,
si ossessionò con queste isole e i loro ponti.
Continuava a pensare a una domanda:
Quale percorso avrebbe permesso di attraversare tutti e sette i ponti
senza attraversarne nessuno più di una volta?
Pensaci un momento.
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4
3
2
1
Ti arrendi?
Dovresti.
Non è possibile.
Ma provando a spiegarne il perché il famoso matematico Leonhard Euler
inventò un nuovo campo della matematica.
Carl scrisse a Euler chiedendo aiuto per il problema.
Euler inizialmente respinse il problema dicendo che non concerneva la matematica.
Ma più si sforzava,
più sembrava che ci potesse essere qualcosa dopotutto.
La risposta che gli venne in mente aveva a che fare con un tipo di geometria
che non esisteva ancora, che chiamò la Geometria Topologica,
ora conosciuta come Teoria dei Grafi.
La prima intuizione di Euler
fu che il percorso da intraprendere entrando nell'isola o sulla riva e uscirne
non importava davvero.
Così, la mappa poteva essere semplificata in modo che ognuno delle quattro terre
rappresentasse un punto singolo,
che ora chiamiamo un Nodo,
con linee, o collegamenti, tra di loro per rappresentare i ponti.
Questo grafico semplificato ci permette di contare facilmente i gradi di ogni nodo.
Quello è il numero di ponti che ciascuna terra tocca.
Perché i gradi sono importanti?
Beh, stando alle regole della sfida,
una volta che i viaggiatori arrivano su una terra da un ponte,
dovranno lasciarla attraverso un altro ponte.
In altre parole, i ponti tra ogni nodo o tragitto
devono presentarsi in coppie distinte,
cioè il numero di ponti che toccano ogni terra visitata
deve essere pari.
L'unica possibile eccezione possono essere i punti di inizio
e fine del tragitto.
Guardando il grafico, è chiaro che tutti e quattro i nodi hanno un grado dispari.
Perciò, non importa che percorso scegli,
ad un certo punto, un ponte dovrà essere attraversato due volte.
Euler usò questa dimostrazione per formulare una teoria generale
da applicare a tutti i grafici con due o più nodi.
Un cammino Euleriano, che attraversa ogni margine solo una volta
è possibile solo in due modi.
Il primo è quando ci sono esattamente due nodi di grado dispari,
e quindi i restanti sono pari.
Quindi, il punto di inizio è uno dei nodi dispari,
e il punto di fine è l'altro.
Il secondo è quando tutti i nodi sono di grado pari.
Perciò, il cammino Euleriano inizierà e terminerà nello stesso punto,
che lo rende tale da essere chiamato circuito Euleriano.
Quindi, come creare un cammino Euleriano a Königsberg?
è semplice.
Basta eliminare un ponte qualsiasi.
Ed è successo che la storia ha creato un cammino Euleriano da sola.
Durante la II Guerra Mondiale, gli aerei sovietici distrussero due dei ponti,
realizzando facilmente un cammino Euleriano.
Anche se, onestamente, non credo fosse loro intenzione.
Questi bombardamenti quasi spazzarono via Königsberg dalla mappa,
e in seguito fu ricostruita come città russa con il nome di Kaliningrad.
Perciò anche se Königsberg e i suoi sette ponti possono non esistere più,
saranno ricordati nella storia per l'enigma apparentemente triviale
che portò alla nascita di un intero nuovo campo della matematica.