< Return to Video

A königsbergi hidak problémája – a gráfelmélet születése – Dan Van der Vieren

  • 0:09 - 0:14
    Hiába is keresnénk Königsberget
    egy mai térképen,
  • 0:14 - 0:17
    különös földrajzi helyzete folytán
  • 0:17 - 0:22
    mégis az egyik leghíresebb
    várossá vált a matematikában.
  • 0:22 - 0:26
    A középkori német város
    a Pregel folyó két partján terült el.
  • 0:26 - 0:29
    Közepén volt két nagy sziget.
  • 0:29 - 0:33
    A két szigetet egymással és a partokkal
  • 0:33 - 0:36
    hét híd kötötte össze.
  • 0:36 - 0:41
    Carl Gottlieb Ehler matematikus,
    egy közeli város későbbi polgármestere
  • 0:41 - 0:44
    e szigeteknek és hidaknak
    megszállottjává vált.
  • 0:44 - 0:47
    Folyton ugyanahhoz
    a kérdéshez kanyarodott vissza:
  • 0:47 - 0:51
    Melyik az az út, amely mentén
    átmehetünk minden hídon,
  • 0:51 - 0:55
    de mindegyiken csak egyszer?
  • 0:55 - 0:57
    Gondolkodjunk csak egy pillanatig.
  • 0:57 - 0:58
    7
  • 0:58 - 0:59
    6
  • 0:59 - 1:00
    5
  • 1:00 - 1:01
    4
  • 1:01 - 1:02
    3
  • 1:02 - 1:03
    2
  • 1:03 - 1:04
    1
  • 1:04 - 1:05
    Feladják?
  • 1:05 - 1:06
    Fel kéne.
  • 1:06 - 1:08
    Nincs ilyen.
  • 1:08 - 1:13
    Leonhard Euler, a neves matematikus,
    amikor megpróbálta ezt megmagyarázni,
  • 1:13 - 1:16
    a matematika egy új területét hozta létre.
  • 1:16 - 1:19
    Carl írt Eulernek, hogy segítsen
    megoldani a problémát.
  • 1:19 - 1:23
    Euler először elhessentette a kérdést,
    mint aminek semmi köze a matematikához.
  • 1:23 - 1:25
    de minél többet nyűglődött rajta,
  • 1:25 - 1:29
    annál inkább úgy tűnt,
    hogy talán mégis lenne valami köze.
  • 1:29 - 1:33
    A válasz, amit talált, a geometriának
    olyan ágához köthető,
  • 1:33 - 1:38
    ami ekkor még nem igazán létezett,
    és amit ő a helyek geometriájának hívott,
  • 1:38 - 1:42
    ma pedig gráfelmélet néven ismert.
  • 1:42 - 1:43
    Euler első meglátása az volt,
  • 1:43 - 1:49
    hogy nem számít, hogy a szigeteken
    és a partokon
  • 1:49 - 1:51
    milyen úton megyünk.
  • 1:51 - 1:54
    Így a térkép leegyszerűsíthető oly módon,
    hogy a négy földdarabot
  • 1:54 - 1:57
    egy-egy pont reprezentálja –
  • 1:57 - 1:59
    ezeket csúcsoknak nevezzük –,
  • 1:59 - 2:04
    a hidakat pedig vonalaknak vagy éleknek,
    amelyek összekötik a pontokat.
  • 2:04 - 2:10
    E leegyszerűsített ábra lehetővé teszi,
    hogy megszámoljuk minden csúcs fokszámát.
  • 2:10 - 2:13
    Ez a szám az adott szárazföldet
    érintő hidak száma.
  • 2:13 - 2:15
    Miért érdekes a fokszám?
  • 2:15 - 2:17
    A séta szabályai szerint
  • 2:17 - 2:21
    ha egyszer az utazó megérkezik
    a szárazföldre az egyik hídon,
  • 2:21 - 2:24
    akkor egy másikon keresztül
    kell onnan távoznia.
  • 2:24 - 2:28
    Vagyis az egy csúcsba
    be- és onnan kifutó hidak
  • 2:28 - 2:31
    egyértelműen megfeleltethetők egymásnak,
  • 2:31 - 2:34
    ami azt jelenti, hogy minden földdarabot
  • 2:34 - 2:36
    páros számú hídnak kell érintenie.
  • 2:36 - 2:40
    Kivétel ez alól csak
  • 2:40 - 2:42
    a séta kezdő- és végpontja lehet.
  • 2:42 - 2:47
    Ha ránézünk a gráfra, rögtön látszik,
    hogy mind a négy csúcs fokszáma páratlan.
  • 2:47 - 2:49
    Bármelyik utat is választjuk tehát,
  • 2:49 - 2:53
    valamelyik pontnál az egyik hidat
    kétszer kell használjuk.
  • 2:53 - 2:58
    Euler ezt a bizonyítást használta
    egy általános tétel megfogalmazására,
  • 2:58 - 3:02
    amely igaz minden olyan gráfra,
    amelynek legalább két csúcsa van.
  • 3:02 - 3:06
    Az Euler-vonal, amely minden élt
    csak egyszer használ,
  • 3:06 - 3:09
    csupán az alábbi két eset
    valamelyikében lehetséges:
  • 3:09 - 3:14
    Az első, amikor pontosan két olyan
    csúcs van, melyeknek a fokszáma páratlan,
  • 3:14 - 3:16
    azaz az összes többié páros.
  • 3:16 - 3:20
    Ilyenkor a kezdőpont
    az egyik páratlan fokszámú csúcs,
  • 3:20 - 3:22
    a végpont pedig a másik.
  • 3:22 - 3:26
    A másik eset, amikor minden csúcs
    fokszáma páros.
  • 3:26 - 3:31
    Ilyenkor az Euler-vonal
    kezdő- és végpontja megegyezik,
  • 3:31 - 3:35
    ezt Euler-körnek is nevezik.
  • 3:35 - 3:38
    Tehát hogyan tudnánk létrehozni
    egy Euler-vonalat Königsbergben?
  • 3:38 - 3:39
    Egyszerűen.
  • 3:39 - 3:41
    Hagyjunk el egy hidat.
  • 3:41 - 3:46
    A történelem megcsinálta
    a maga Euler-vonalát.
  • 3:46 - 3:50
    A 2. világháború alatt a szovjet légierő
    a város két hídját megsemmisítette,
  • 3:50 - 3:54
    ezzel az Euler-vonalat könnyen
    megrajzolhatóvá tette.
  • 3:54 - 3:57
    Az igazsághoz tartozik,
    hogy valószínűleg nem ez volt a céljuk.
  • 3:57 - 4:01
    Ezek a bombák jócskán letörölték
    Königsberget a térképről.
  • 4:01 - 4:05
    hogy azután orosz városként
    épüljön újjá, Kalinyingrád néven.
  • 4:05 - 4:09
    Így, bár Königsberget és hét hídját
    már nem lehet körbejárni,
  • 4:09 - 4:13
    mindenkorra emlékezetes marad
    e látszólag egyszerű rejtvény révén,
  • 4:13 - 4:18
    amely a matematika egy új ágának
    felbukkanásához vezetett.
Title:
A königsbergi hidak problémája – a gráfelmélet születése – Dan Van der Vieren
Description:

A teljes előadást itt tekinthetik meg: http://ed.ted.com/lessons/how-the-konigsberg-bridge-problem-changed-mathematics-dan-van-der-vieren

Nehéz lenne megtalálni a középkori Königsberget egy mai térképen, különleges földrajzi helyzete mégis a legismertebb városok egyikévé tette a matematika számára. Dan Van der Vieren elmeséli, hogy Königsberg hét hídjának rejtvényével viaskodva miként alkotta meg Euler a matematika egy új ágát.

Lecke: Dan Van der Vieren, animáció: Artrake Studio.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:39

Hungarian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.