WEBVTT

00:00:08.896 --> 00:00:14.106
Hiába is keresnénk Königsberget
egy mai térképen,

00:00:14.106 --> 00:00:17.415
különös földrajzi helyzete folytán

00:00:17.415 --> 00:00:22.205
mégis az egyik leghíresebb 
várossá vált a matematikában.

NOTE Paragraph

00:00:22.205 --> 00:00:26.214
A középkori német város 
a Pregel folyó két partján terült el.

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
Közepén volt két nagy sziget.

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
A két szigetet egymással és a partokkal

00:00:33.124 --> 00:00:35.884
hét híd kötötte össze.

00:00:35.884 --> 00:00:41.296
Carl Gottlieb Ehler matematikus, 
egy közeli város későbbi polgármestere

00:00:41.296 --> 00:00:44.395
e szigeteknek és hidaknak
megszállottjává vált.

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
Folyton ugyanahhoz 
a kérdéshez kanyarodott vissza:

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
Melyik az az út, amely mentén 
átmehetünk minden hídon,

00:00:51.095 --> 00:00:55.136
de mindegyiken csak egyszer?

00:00:55.136 --> 00:00:56.946
Gondolkodjunk csak egy pillanatig.

00:00:56.946 --> 00:00:57.936
7

00:00:57.936 --> 00:00:58.947
6

00:00:58.947 --> 00:00:59.916
5

00:00:59.916 --> 00:01:00.847
4

00:01:00.847 --> 00:01:01.956
3

00:01:01.956 --> 00:01:02.886
2

00:01:02.886 --> 00:01:03.996
1

00:01:03.996 --> 00:01:05.076
Feladják?

00:01:05.076 --> 00:01:06.198
Fel kéne.

00:01:06.198 --> 00:01:07.513
Nincs ilyen.

00:01:07.513 --> 00:01:12.636
Leonhard Euler, a neves matematikus, 
amikor megpróbálta ezt megmagyarázni,

00:01:12.636 --> 00:01:15.997
a matematika egy új területét hozta létre.

00:01:15.997 --> 00:01:18.648
Carl írt Eulernek, hogy segítsen 
megoldani a problémát.

00:01:18.648 --> 00:01:23.367
Euler először elhessentette a kérdést, 
mint aminek semmi köze a matematikához.

00:01:23.367 --> 00:01:25.136
de minél többet nyűglődött rajta,

00:01:25.136 --> 00:01:28.977
annál inkább úgy tűnt, 
hogy talán mégis lenne valami köze.

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
A válasz, amit talált, a geometriának 
olyan ágához köthető,

00:01:32.906 --> 00:01:38.258
ami ekkor még nem igazán létezett, 
és amit ő a helyek geometriájának hívott,

00:01:38.258 --> 00:01:41.897
ma pedig gráfelmélet néven ismert.

NOTE Paragraph

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
Euler első meglátása az volt,

00:01:43.443 --> 00:01:48.507
hogy nem számít, hogy a szigeteken 
és a partokon

00:01:48.507 --> 00:01:50.578
milyen úton megyünk.

00:01:50.578 --> 00:01:54.427
Így a térkép leegyszerűsíthető oly módon, 
hogy a négy földdarabot

00:01:54.427 --> 00:01:56.627
egy-egy pont reprezentálja –

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
ezeket csúcsoknak nevezzük –,

00:01:59.297 --> 00:02:04.198
a hidakat pedig vonalaknak vagy éleknek, 
amelyek összekötik a pontokat.

00:02:04.198 --> 00:02:09.719
E leegyszerűsített ábra lehetővé teszi, 
hogy megszámoljuk minden csúcs fokszámát.

00:02:09.719 --> 00:02:13.219
Ez a szám az adott szárazföldet 
érintő hidak száma.

00:02:13.219 --> 00:02:14.598
Miért érdekes a fokszám?

00:02:14.598 --> 00:02:16.828
A séta szabályai szerint

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
ha egyszer az utazó megérkezik 
a szárazföldre az egyik hídon,

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
akkor egy másikon keresztül
kell onnan távoznia.

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
Vagyis az egy csúcsba 
be- és onnan kifutó hidak

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
egyértelműen megfeleltethetők egymásnak,

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
ami azt jelenti, hogy minden földdarabot

00:02:34.239 --> 00:02:36.368
páros számú hídnak kell érintenie.

00:02:36.368 --> 00:02:40.029
Kivétel ez alól csak

00:02:40.029 --> 00:02:42.267
a séta kezdő- és végpontja lehet.

00:02:42.267 --> 00:02:47.218
Ha ránézünk a gráfra, rögtön látszik, 
hogy mind a négy csúcs fokszáma páratlan.

00:02:47.218 --> 00:02:49.187
Bármelyik utat is választjuk tehát,

00:02:49.187 --> 00:02:53.440
valamelyik pontnál az egyik hidat 
kétszer kell használjuk.

00:02:53.440 --> 00:02:57.709
Euler ezt a bizonyítást használta 
egy általános tétel megfogalmazására,

00:02:57.709 --> 00:03:01.721
amely igaz minden olyan gráfra, 
amelynek legalább két csúcsa van.

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
Az Euler-vonal, amely minden élt 
csak egyszer használ,

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
csupán az alábbi két eset 
valamelyikében lehetséges:

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
Az első, amikor pontosan két olyan 
csúcs van, melyeknek a fokszáma páratlan,

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
azaz az összes többié páros.

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
Ilyenkor a kezdőpont 
az egyik páratlan fokszámú csúcs,

00:03:19.659 --> 00:03:21.770
a végpont pedig a másik.

00:03:21.770 --> 00:03:26.091
A másik eset, amikor minden csúcs 
fokszáma páros.

00:03:26.091 --> 00:03:31.231
Ilyenkor az Euler-vonal
kezdő- és végpontja megegyezik,

00:03:31.231 --> 00:03:34.758
ezt Euler-körnek is nevezik.

00:03:34.758 --> 00:03:38.460
Tehát hogyan tudnánk létrehozni 
egy Euler-vonalat Königsbergben?

00:03:38.460 --> 00:03:39.302
Egyszerűen.

00:03:39.302 --> 00:03:41.402
Hagyjunk el egy hidat.

00:03:41.402 --> 00:03:46.080
A történelem megcsinálta 
a maga Euler-vonalát.

00:03:46.080 --> 00:03:50.198
A 2. világháború alatt a szovjet légierő 
a város két hídját megsemmisítette,

00:03:50.198 --> 00:03:53.531
ezzel az Euler-vonalat könnyen 
megrajzolhatóvá tette.

NOTE Paragraph

00:03:53.531 --> 00:03:57.291
Az igazsághoz tartozik,
hogy valószínűleg nem ez volt a céljuk.

00:03:57.291 --> 00:04:00.781
Ezek a bombák jócskán letörölték 
Königsberget a térképről.

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
hogy azután orosz városként 
épüljön újjá, Kalinyingrád néven.

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
Így, bár Königsberget és hét hídját
már nem lehet körbejárni,

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
mindenkorra emlékezetes marad
e látszólag egyszerű rejtvény révén,

00:04:13.361 --> 00:04:17.662
amely a matematika egy új ágának
felbukkanásához vezetett.