Kako je problem mostova Königsberga promijenio matematiku - Dan Van der Vieren

Pogledajte cijelu lekciju: http://ed.ted.com/lessons/how-the-konigsberg-bridge-problem-changed-mathematics-dan-van-der-vieren

Srednjovjekovni grad Königsberg teško ćete pronaći na modernoj karti, ali jedna dosjetka vezana za njegov tlocrt učinila ga je jednim od najslavnijih gradova vezanih uz matematiku. Dan Van der Vieren objašnjava kako je hvatanje u koštac sa sedam Königsbergških mostova vodilo slavnog matematičara Leonharda Eulera ka stvaranju novog polja matematike.

Lekcija Dan Van der Vieren, animacija by Artrake Studio.

Königsberg ćete teško pronaći
na današnjoj zemljopisnoj karti,

ali jedna dosjetka vezana za njegov tlocrt

učinila ga je jednim od najslavnijih
gradova vezanih uz matematiku.

Srednjovjekovni njemački grad ležao je
na obje strane rijeke Pregel.

U središtu su bila dva velika otoka.

Dva otoka bila su povezana
međusobno i s obalama rijeke

pomoću sedam mostova.

Carl Gottlieb Ehler, matematičar koji je
postao gradonačelnik obližnjeg grada,

postao je opsjednut ovim otocima
i mostovima.

Stalno se vraćao na isto pitanje:

na koji način netko
može prijeći svih sedan mostova

tako da svaki most
prijeđe samo jednom?

Razmislite o tome na trenutak.

7

6

5

4

3

2

1

Odustajete?

Trebali biste.

To nije moguće učiniti.

Ali pokušaj objašnjavanja zašto je tako
vodio je matematičara Leonharda Eulera

do stvaranja novog područja matematike.

Carl je pisao Euleru
moleći ga za pomoć.

Euler je najprije odbacio problem
jer je vjerovao da nema veze s matematikom.

Ali što je više razmišljao o njemu,

činilo se više mogućim
da se u njemu nešto krije.

Odgovor do kojeg je došao
imao je veze s vrstom geometrije

koja još nije postojala,
a koju je on nazvao Geometrija položaja,

a danas je poznata kao Teorija grafova.

Eulerova prva spoznaja

bila je da ruta između stupanja na otok
ili obalu rijeke i napuštanja istog

zapravo nije važna.

Prema tome, karta se može pojednostavniti
tako da se svaki od četiri kopnena čvora

prikaže pomoću točke,

koju ćemo zvati vrh,

a linije koje prikazuju mostove,
zvat ćemo bridovi.

Na ovom jednostavnom grafu
lako možemo odrediti stupanj svakog vrha.

To je broj mostova
kojim je svaki kopneni čvor povezan.

Zašto je stupanj važan?

Prema pravilima izazova,

kad putnik stigne na kopneni čvor
pomoću jednog mosta,

mora ga napustiti
prelazeći preko drugog.

Drugim riječima, mostovi koji vode
do vrha i s njega na bilo kojoj ruti

moraju se pojavljivati u parovima,

što znači da broj mostova
koji dodiruju svaki prijeđeni čvor

mora biti paran.

Jedine moguće iznimke bile bi

početak i kraj šetnje.

Gledajući graf, postaje očito
da sva četiri vrha imaju neparan stupanj.

Pa koji god put odaberemo,

u jednom trenutku,
jedan od mostova moramo prijeći dvaput.

Euler je pomoću ovog dokaza
oblikovao opću teoriju

koja se odnosi na sve grafove
s dva i više vrha.

Eulerova staza
kod koje se svaki vrh prelazi jednom

moguća je jedino u dva slučaja.

Prvi je kad postoje točno dva vrha
neparnog stupnja,

pa su svi ostali parni.

Tada je početna točka
jedan od dva neparna vrha,

a kraj šetnje je drugi.

Drugi slučaj je kada su
svi vrhovi parnog stupnja.

Tad će Eulerova staza započeti
i završiti u istom vrhu,

što se u teoriji grafova zove
Eulerova tura.

Dakle, kako kreirati Eulerovu stazu
u Königsbergu?

Jednostavno je.

Samo treba ukloniti jedan most.

Dogodilo se da je povijest
sama stvorila Eulerovu stazu.

U II. svjetskom ratu Sovjetske zračne sile
uništile su jedan od dva gradska mosta,

pa je Eulerova staza postala moguća.

Doduše, to vjerojatno
nije bila njihova namjera.

Bombardiranje je gotovo
izbrisalo Königsberg s karte,

te je poslije ponovo izgrađen
kao ruski grad Kaliningrad.

Iako Königsberg i njegovih sedam mostova
više ne postoje,

bit će zapamćeni u povijesti
zbog naizgled trivijalne zagonetke

koja je vodila do stvaranja
potpuno nove grane matematike.