Königsberg ćete teško pronaći na današnjoj zemljopisnoj karti,
ali jedna dosjetka vezana za njegov tlocrt
učinila ga je jednim od najslavnijih gradova vezanih uz matematiku.
Srednjovjekovni njemački grad ležao je na obje strane rijeke Pregel.
U središtu su bila dva velika otoka.
Dva otoka bila su povezana međusobno i s obalama rijeke
pomoću sedam mostova.
Carl Gottlieb Ehler, matematičar koji je postao gradonačelnik obližnjeg grada,
postao je opsjednut ovim otocima i mostovima.
Stalno se vraćao na isto pitanje:
na koji način netko može prijeći svih sedan mostova
tako da svaki most prijeđe samo jednom?
Razmislite o tome na trenutak.
7
6
5
4
3
2
1
Odustajete?
Trebali biste.
To nije moguće učiniti.
Ali pokušaj objašnjavanja zašto je tako vodio je matematičara Leonharda Eulera
do stvaranja novog područja matematike.
Carl je pisao Euleru moleći ga za pomoć.
Euler je najprije odbacio problem jer je vjerovao da nema veze s matematikom.
Ali što je više razmišljao o njemu,
činilo se više mogućim da se u njemu nešto krije.
Odgovor do kojeg je došao imao je veze s vrstom geometrije
koja još nije postojala, a koju je on nazvao Geometrija položaja,
a danas je poznata kao Teorija grafova.
Eulerova prva spoznaja
bila je da ruta između stupanja na otok ili obalu rijeke i napuštanja istog
zapravo nije važna.
Prema tome, karta se može pojednostavniti tako da se svaki od četiri kopnena čvora
prikaže pomoću točke,
koju ćemo zvati vrh,
a linije koje prikazuju mostove, zvat ćemo bridovi.
Na ovom jednostavnom grafu lako možemo odrediti stupanj svakog vrha.
To je broj mostova kojim je svaki kopneni čvor povezan.
Zašto je stupanj važan?
Prema pravilima izazova,
kad putnik stigne na kopneni čvor pomoću jednog mosta,
mora ga napustiti prelazeći preko drugog.
Drugim riječima, mostovi koji vode do vrha i s njega na bilo kojoj ruti
moraju se pojavljivati u parovima,
što znači da broj mostova koji dodiruju svaki prijeđeni čvor
mora biti paran.
Jedine moguće iznimke bile bi
početak i kraj šetnje.
Gledajući graf, postaje očito da sva četiri vrha imaju neparan stupanj.
Pa koji god put odaberemo,
u jednom trenutku, jedan od mostova moramo prijeći dvaput.
Euler je pomoću ovog dokaza oblikovao opću teoriju
koja se odnosi na sve grafove s dva i više vrha.
Eulerova staza kod koje se svaki vrh prelazi jednom
moguća je jedino u dva slučaja.
Prvi je kad postoje točno dva vrha neparnog stupnja,
pa su svi ostali parni.
Tada je početna točka jedan od dva neparna vrha,
a kraj šetnje je drugi.
Drugi slučaj je kada su svi vrhovi parnog stupnja.
Tad će Eulerova staza započeti i završiti u istom vrhu,
što se u teoriji grafova zove Eulerova tura.
Dakle, kako kreirati Eulerovu stazu u Königsbergu?
Jednostavno je.
Samo treba ukloniti jedan most.
Dogodilo se da je povijest sama stvorila Eulerovu stazu.
U II. svjetskom ratu Sovjetske zračne sile uništile su jedan od dva gradska mosta,
pa je Eulerova staza postala moguća.
Doduše, to vjerojatno nije bila njihova namjera.
Bombardiranje je gotovo izbrisalo Königsberg s karte,
te je poslije ponovo izgrađen kao ruski grad Kaliningrad.
Iako Königsberg i njegovih sedam mostova više ne postoje,
bit će zapamćeni u povijesti zbog naizgled trivijalne zagonetke
koja je vodila do stvaranja potpuno nove grane matematike.