0:00:09.036,0:00:14.106
Königsberg ćete teško pronaći[br]na današnjoj zemljopisnoj karti,

0:00:14.106,0:00:17.415
ali jedna dosjetka vezana za njegov tlocrt

0:00:17.415,0:00:22.205
učinila ga je jednim od najslavnijih [br]gradova vezanih uz matematiku.

0:00:22.205,0:00:26.214
Srednjovjekovni njemački grad ležao je[br]na obje strane rijeke Pregel.

0:00:26.214,0:00:28.875
U središtu su bila dva velika otoka.

0:00:28.875,0:00:33.124
Dva otoka bila su povezana[br]međusobno i s obalama rijeke

0:00:33.124,0:00:35.884
pomoću sedam mostova.

0:00:35.884,0:00:41.296
Carl Gottlieb Ehler, matematičar koji je[br]postao gradonačelnik obližnjeg grada,

0:00:41.296,0:00:44.395
postao je opsjednut ovim otocima[br]i mostovima.

0:00:44.395,0:00:47.205
Stalno se vraćao na isto pitanje:

0:00:47.205,0:00:51.095
na koji način netko[br]može prijeći svih sedan mostova

0:00:51.095,0:00:55.136
tako da svaki most[br]prijeđe samo jednom?

0:00:55.136,0:00:56.946
Razmislite o tome na trenutak.

0:00:56.946,0:00:57.936
7

0:00:57.936,0:00:58.947
6

0:00:58.947,0:00:59.916
5

0:00:59.916,0:01:00.847
4

0:01:00.847,0:01:01.956
3

0:01:01.956,0:01:02.886
2

0:01:02.886,0:01:03.996
1

0:01:03.996,0:01:05.076
Odustajete?

0:01:05.076,0:01:06.198
Trebali biste.

0:01:06.198,0:01:07.513
To nije moguće učiniti.

0:01:07.513,0:01:12.636
Ali pokušaj objašnjavanja zašto je tako[br]vodio je matematičara Leonharda Eulera

0:01:12.636,0:01:15.997
do stvaranja novog područja matematike.

0:01:15.997,0:01:18.648
Carl je pisao Euleru[br]moleći ga za pomoć.

0:01:18.648,0:01:23.367
Euler je najprije odbacio problem[br]jer je vjerovao da nema veze s matematikom.

0:01:23.367,0:01:25.136
Ali što je više razmišljao o njemu,

0:01:25.136,0:01:28.977
činilo se više mogućim[br]da se u njemu nešto krije.

0:01:28.977,0:01:32.906
Odgovor do kojeg je došao[br]imao je veze s vrstom geometrije

0:01:32.906,0:01:38.258
koja još nije postojala,[br]a koju je on nazvao Geometrija položaja,

0:01:38.258,0:01:41.897
a danas je poznata kao Teorija grafova.

0:01:41.897,0:01:43.443
Eulerova prva spoznaja

0:01:43.443,0:01:48.507
bila je da ruta između stupanja na otok[br]ili obalu rijeke i napuštanja istog

0:01:48.507,0:01:50.578
zapravo nije važna.

0:01:50.578,0:01:54.427
Prema tome, karta se može pojednostavniti[br]tako da se svaki od četiri kopnena čvora

0:01:54.427,0:01:56.627
prikaže pomoću točke,

0:01:56.627,0:01:59.297
koju ćemo zvati vrh,

0:01:59.297,0:02:04.198
a linije koje prikazuju mostove, [br]zvat ćemo bridovi.

0:02:04.198,0:02:09.619
Na ovom jednostavnom grafu[br]lako možemo odrediti stupanj svakog vrha.

0:02:09.619,0:02:13.219
To je broj mostova[br]kojim je svaki kopneni čvor povezan.

0:02:13.219,0:02:14.598
Zašto je stupanj važan?

0:02:14.598,0:02:16.828
Prema pravilima izazova,

0:02:16.828,0:02:20.678
kad putnik stigne na kopneni čvor[br]pomoću jednog mosta,

0:02:20.678,0:02:23.800
mora ga napustiti[br]prelazeći preko drugog.

0:02:23.800,0:02:28.168
Drugim riječima, mostovi koji vode[br]do vrha i s njega na bilo kojoj ruti

0:02:28.168,0:02:30.587
moraju se pojavljivati u parovima,

0:02:30.587,0:02:34.239
što znači da broj mostova[br]koji dodiruju svaki prijeđeni čvor

0:02:34.239,0:02:36.368
mora biti paran.

0:02:36.368,0:02:40.029
Jedine moguće iznimke bile bi

0:02:40.029,0:02:42.267
početak i kraj šetnje.

0:02:42.267,0:02:47.218
Gledajući graf, postaje očito[br]da sva četiri vrha imaju neparan stupanj.

0:02:47.218,0:02:49.187
Pa koji god put odaberemo,

0:02:49.187,0:02:53.440
u jednom trenutku,[br]jedan od mostova moramo prijeći dvaput.

0:02:53.440,0:02:57.709
Euler je pomoću ovog dokaza[br]oblikovao opću teoriju

0:02:57.709,0:03:01.721
koja se odnosi na sve grafove[br]s dva i više vrha.

0:03:01.721,0:03:05.790
Eulerova staza[br]kod koje se svaki vrh prelazi jednom

0:03:05.790,0:03:09.159
moguća je jedino u dva slučaja.

0:03:09.159,0:03:13.769
Prvi je kad postoje točno dva vrha[br]neparnog stupnja,

0:03:13.769,0:03:16.310
pa su svi ostali parni.

0:03:16.310,0:03:19.659
Tada je početna točka[br]jedan od dva neparna vrha,

0:03:19.659,0:03:21.770
a kraj šetnje je drugi.

0:03:21.770,0:03:26.091
Drugi slučaj je kada su[br]svi vrhovi parnog stupnja.

0:03:26.091,0:03:31.231
Tad će Eulerova staza započeti[br]i završiti u istom vrhu,

0:03:31.231,0:03:34.758
što se u teoriji grafova zove[br]Eulerova tura.

0:03:34.758,0:03:38.460
Dakle, kako kreirati Eulerovu stazu[br]u Königsbergu?

0:03:38.460,0:03:39.302
Jednostavno je.

0:03:39.302,0:03:41.402
Samo treba ukloniti jedan most.

0:03:41.402,0:03:46.080
Dogodilo se da je povijest[br]sama stvorila Eulerovu stazu.

0:03:46.080,0:03:50.198
U II. svjetskom ratu Sovjetske zračne sile[br]uništile su jedan od dva gradska mosta,

0:03:50.198,0:03:53.531
pa je Eulerova staza postala moguća.

0:03:53.531,0:03:57.291
Doduše, to vjerojatno[br]nije bila njihova namjera.

0:03:57.291,0:04:00.781
Bombardiranje je gotovo[br]izbrisalo Königsberg s karte,

0:04:00.781,0:04:04.910
te je poslije ponovo izgrađen[br]kao ruski grad Kaliningrad.

0:04:04.910,0:04:09.083
Iako Königsberg i njegovih sedam mostova[br]više ne postoje,

0:04:09.083,0:04:13.361
bit će zapamćeni u povijesti[br]zbog naizgled trivijalne zagonetke

0:04:13.361,0:04:17.662
koja je vodila do stvaranja[br]potpuno nove grane matematike.