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Die meisten Physikbücher sagen euch, dass die
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Gravitation in der Nähe der Erdoberfläche
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9,81 m/s² beträgt.
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Und das ist eine Annäherung.
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In diesem Video möchte ich herausfinden, ob dies
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der Wert ist, den wir bekommen, wenn wir tatsächlich
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das Newton's Gravitationsgesetz anwenden.
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Das sagt uns, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Objekten -
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und lasst uns dabei nur über die Stärke der Gravtationskraft
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zwischen zwei Objekten sprechen -
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gleich der universellen Gravitationskonstante mal
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die Masse eines der Körper, M1, mal die Masse
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des zweitens Körpers geteilt durch die Entfernung zwischen dem
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Massezentrum der Körper zum Quadrat.
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Nutzen wir also dieses universelle Gesetz der Gravitation,
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um herauszufinden, was die Beschleunigung aufgrund Gravitation
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auf dem Erdboden sein sollte.
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Ich habe hier ein g.
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Ich habe die Erdmasse von hier.
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Und wir haben den Erdradius.
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Zur Vereinfachung dieses Beispiels
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nehmen wir an, dass die Entfernung zwischen der
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Erdoberfläche, auf der wir stehen,
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und dem Erdmittelpunkt einfach der Erdradius sei.
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und dem Erdmittelpunkt einfach der Erdradius sei.
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Das gibt uns die Stärke der Kraft.
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Wenn wir die Stärke der Beschleunigung herausfinden wollen,
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was genau das ist - das habe ich nicht als Vektor geschrieben.
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was genau das ist - das habe ich nicht als Vektor geschrieben.
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Das ist nur die Größe der Beschleunigung.
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Wolltet ihr die Beschleunigung, einen Vektor,
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müsstet ihr in diesem Fall nach unten bzw. in Richtung Erdmittelpunkt sagen.
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müsstet ihr in diesem Fall nach unten bzw. in Richtung Erdmittelpunkt sagen.
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Möchte man nun die Beschleunigung,
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muss man sich daran erinnern, dass Kraft
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gleich Masse mal Beschleunigung ist.
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Möchte man nach Beschleunigung lösen,
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teilt man beide Seiten einfach durch die Masse.
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Kraft geteilt durch Masse ist gleich Beschleunigung.
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Oder nimmt man die Größe der Kraft
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und teilt sie durch durch die Masse, dann
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erhält man die Größe der Beschleunigung.
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Das ist skalare Größe hier.
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Das ist skalare Größe hier.
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möchte man also die Beschleunigung aufgrund Gravitation, dividiert man.
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Schreiben wir das in Bezug auf die Kraft der Erdgravitation.
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Die Größe der Gravitationskraft
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auf der Erde, das ist das hier.
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Das wäre im Falle der Erde.
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Ich habe hier ganz klein "Erde" hingeschrieben.
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Eine dieser Massen ist also die Erde.
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Das ist diese Masse hier.
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Wollt ihr die Beschleunigung
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aufgrund Gravitation auf der Erdoberfläche,
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müsst ihr einfach durch die Masse teilen,
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die durch diese Kraft beschleunigt wird.
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Und in diesem Fall ist das die andere Masse.
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Es ist die Masse auf der Oberfläche.
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Teilen wir also beide Seiten durch diese Masse.
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Teilen wir also beide Seiten durch diese Masse.
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Dadurch erhalten wir die Größe der
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Beschleunigung auf diese Masse aufgrund der Gravitation.
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Das ist also gleich der Größe der Beschleunigung
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aufgrund Gravitation.
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Und der ganze Grund, warum hier vereinfacht wird,
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ist, dass diese zwei, diese M2 hier und diese M2 sich aufheben.
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ist, dass diese zwei, diese M2 hier und diese M2 sich aufheben.
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Und damit ist die Größe unserer Beschleunigung
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aufgrund Newton's Gravitationsgesetz
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gleich diesem Ausdruck hier.
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Die Gravitationskonstante mal
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die Masse der Erde, geteilt durch die Strecke
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zwischen den Massezentrum des Objekts und
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dem Zentrum der Erdmasse.
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Und wir nehmen an, dass das Objekt,
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dass sich deren Massezentrum direkt auf der Oberfläche befindet.
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dass sich deren Massezentrum direkt auf der Oberfläche befindet.
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Das ist dann der Erdradius zum Quadrat,
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also geteilt durch r².
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Manchmal wird dies auch als Gravitationsfeld
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auf der Erdoberfläche gesehen.
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Denn wenn man es durch eine Masse teilt,
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sagt es aus, wie viel Kraft an der Masse zieht.
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Mit dieser Erklärung nehmen wir jetzt
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unseren Taschenrechner, um zu berechnen, was für ein Wert das ist.
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Dann möchte ich herausfinden bzw.
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diesen Wert vergleichen mit dem Wert
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aus den Lehrbüchern und sehen,
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warum er sich davon unterscheidet oder nicht.
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Überlegt euch, wie es sich verändert,
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je weiter wir uns von der Erdoberfläche entfernen.
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je weiter wir uns von der Erdoberfläche entfernen.
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Wenn man nun genau auf eine Höhe kommt,
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auf welcher sich das Space Shuttle bzw. die ISS
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befindet, das ist normalerweise eine Höhe von 400 km,
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auf der sie sich befindet, etwas mehr oder
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weniger, abhängig von der Situation.
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Lasst uns zunächst diesen Wert ermitteln,
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wenn wir das universelle Gravitationsgesetz anwenden.
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Ich nehme meinen Taschenrechner.
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Wir kennen g.
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6,6738 mal 10 hoch -11.
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Dieser "EE"-Knopf bedeutet einfach "mal 10" - hoch -11.
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Das ist also 6,6728 mal 10 hoch -11.
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Dies multipliziere ich dann
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mit der Erdmasse - diese steht hier.
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Das sind 5,9722 mal 10 hoch 24.
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Also 10 zur 24. Potenz.
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Das wollen wir durch den Erdradius zum Quadrat teilen.
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Geteilt durch den Erdradius,
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das ist in km.
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Ich möchte nur sichergehen, dass wir überall gleiche Einheiten haben.
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Ich möchte nur sichergehen, dass wir überall gleiche Einheiten haben.
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6371 km - die km sieht man hier nicht.
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6371 km - die km sieht man hier nicht.
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Aber das sind km.
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Das ist dasselbe wie 6371000 m,
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wenn mas das mit 1000 multipliziert.
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Man kann es auch als 6,371 mal 10 hoch 6 m schreiben.
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Man kann es auch als 6,371 mal 10 hoch 6 m schreiben.
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Das quadrieren wir.
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Das ist der Erdradius.
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Die Entfernung zwischen dem Erdmassenzentrum und
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dem Massezentrum dieses Objekts, welches
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sich auf der Erdoberfläche befindet, ist...
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...Trommelwirbel...
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Wir erhalten 9,8.
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Durch Runden kriegen wir tatsächlich einen etwas
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höheren Wert als den in den Lehrbüchern.
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Wir erhalten 9,82.
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Runden wir.
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Wir kriegen also 9,82 - 9,82 m/s².
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Ich fragt euch nun sicher: Was passiert hier?
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Warum haben wir eine solche Diskrepanz zwischen dem,
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was uns das Newton'sche Gravitationsgesetz gibt
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und der durchschnittlich gemessenen Beschleunigung
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aufgrund der Beschleunigungskraft auf der Erdoberfläche?
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Die Diskrepanz zwischen diesen beiden Zahlen
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kommt daher, dass die Erde nicht gleichmäßig
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kugelförmig mit einheitlicher Dichte ist.
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Das müssen wir hier annehmen,
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wenn wir das Universelle Gravitationsgesetz nutzen.
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Es ist tatsächlich etwas flacher als eine perfekte Kugel
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und besitzt sicher keine einheitliche Dichte.
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Die unterschiedlichen Erdschichten besitzen unterschiedliche Dichten.
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Man hat alle möglichen Arten von Wechselwirkungen.
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Wenn man effektive Gravitation misst,
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gibt es auch einen kleinen Auftriebseffekt durch die Luft.
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Sehr, sehr unerheblich.
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Ich weiß nicht, ob es genug wäre, um das hier zu verändern.
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Es gibt jedoch weitere, unerhebliche Effekte, Unregelmäßigkeiten.
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Die Erde ist keine perfekte Kugel.
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Sie hat keine einheitliche Dichte.
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Das ist der Grund für den Großteil dieser Dinge.
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Nachdem dies klargestellt ist, bin ich neugierig,
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was die Beschleunigung aufgrund Gravitation ist
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wenn wir uns auf 400 km Höhe befinden.
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Der Hauptunterschied hier - g bleibt gleich.
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Die Erdmasse ebenso,
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aber der Radius ist jetzt anders.
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Da wir nun das Massezentrum unseres Objektes,
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egal ob es eine Raumstation oder was anderes darin ist,
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es befindet sich 400 km höher.
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Ich überteibe hier mal ein wenig, wie 400 km aussehen.
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Das ist nicht maßstabsgetreu.
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Jetzt ist der Radius der Erdradius plus 400 km.
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Jetzt ist der Radius der Erdradius plus 400 km.
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Jetzt, im Falle der Raumstation,
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beträgt r nicht 6371 km.
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Wir addieren 400 dazu, also 6771 km,
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Wir addieren 400 dazu, also 6771 km,
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das ist dasselbe wie 6771000 m, und das ist
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wiederum dasselbe wie 6,771 mal 10 hoch 6 m.
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1, 2, 3, 4, 5, 6 - 10 hoch 6 m.
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Zurück zu unserem Taschenrechner.
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2. Eintrag, das ist der letzte Eintrag, den wir hatten.
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Anstatt 6371 mal 10 hoch 6,
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addieren wir 400 km hinzu.
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Wir erhalten also 6,7.
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400 km addieren...
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Das waren 371.
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Also 6,771 mal 10 hoch 6.
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Was erhalten wir?
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8,69 m/s².
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Jetzt beträgt die Beschleunigung 8,69 m/s².
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Man kann nachprüfen, ob die Einheiten passen.
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Denn hier ist die Gravitation in m³/kg * s².
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Denn hier ist die Gravitation in m³/kg * s².
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Das multipliziert man mit der Erdmasse, in kg.
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Das multipliziert man mit der Erdmasse, in kg.
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Die kg kürzen sich mit diesen kg hier.
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Dann dividiert man durch m²
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Dann dividiert man durch m²
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und es bleibt übrig: m/s².
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Die Einheiten passen also auch.
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Es gibt etwas Wichtiges zu realisieren.
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Es gibt ein Missverständnis,
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worüber wir ein ganzes Video gemacht haben,
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in dem wir über das Gravitationsgesetz gesprochen haben,
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dass auch Gravitation hier oben im Orbit herrscht.
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Der einzige Grund, warum es sich anfühlt, als gäbe es keine Gravitation,
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Der einzige Grund, warum es sich anfühlt, als gäbe es keine Gravitation,
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ist, weil sich die Raumstation so schnell bewegt,
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dass sie sich praktisch im freien fall befindet.
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Sie bewegt sich jedoch so schnell, dass sie die Erde ständig verfehlt.
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Und im nächsten Video finden wir raus,
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wie schnell sie sich bewegen muss, um im Orbit zu bleiben
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und nicht auf die Erde zu stürzen
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aufgrund der Gravitationskraft, der auftretenden
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Beschleunigung, dieser Zentripetal-, dieser nach innen gerichteten
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Beschleunigung.
