Die meisten Physikbücher sagen euch, dass die
Gravitation in der Nähe der Erdoberfläche
9,81 m/s² beträgt.
Und das ist eine Annäherung.
In diesem Video möchte ich herausfinden, ob dies
der Wert ist, den wir bekommen, wenn wir tatsächlich
das Newton's Gravitationsgesetz anwenden.
Das sagt uns, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Objekten -
und lasst uns dabei nur über die Stärke der Gravtationskraft
zwischen zwei Objekten sprechen -
gleich der universellen Gravitationskonstante mal
die Masse eines der Körper, M1, mal die Masse
des zweitens Körpers geteilt durch die Entfernung zwischen dem
Massezentrum der Körper zum Quadrat.
Nutzen wir also dieses universelle Gesetz der Gravitation,
um herauszufinden, was die Beschleunigung aufgrund Gravitation
auf dem Erdboden sein sollte.
Ich habe hier ein g.
Ich habe die Erdmasse von hier.
Und wir haben den Erdradius.
Zur Vereinfachung dieses Beispiels
nehmen wir an, dass die Entfernung zwischen der
Erdoberfläche, auf der wir stehen,
und dem Erdmittelpunkt einfach der Erdradius sei.
Das gibt uns die Stärke der Kraft.
Wenn wir die Stärke der Beschleunigung herausfinden wollen,
was genau das ist - das habe ich nicht als Vektor geschrieben.
Das ist nur die Größe der Beschleunigung.
Wolltet ihr die Beschleunigung, einen Vektor,
müsstet ihr in diesem Fall nach unten bzw. in Richtung Erdmittelpunkt sagen.
Möchte man nun die Beschleunigung,
muss man sich daran erinnern, dass Kraft
gleich Masse mal Beschleunigung ist.
Möchte man nach Beschleunigung lösen,
teilt man beide Seiten einfach durch die Masse.
Kraft geteilt durch Masse ist gleich Beschleunigung.
Oder nimmt man die Größe der Kraft
und teilt sie durch durch die Masse, dann
erhält man die Größe der Beschleunigung.
Das ist skalare Größe hier.
möchte man also die Beschleunigung aufgrund Gravitation, dividiert man.
Schreiben wir das in Bezug auf die Kraft der Erdgravitation.
Die Größe der Gravitationskraft
auf der Erde, das ist das hier.
Das wäre im Falle der Erde.
Ich habe hier ganz klein "Erde" hingeschrieben.
Eine dieser Massen ist also die Erde.
Das ist diese Masse hier.
Wollt ihr die Beschleunigung
aufgrund Gravitation auf der Erdoberfläche,
müsst ihr einfach durch die Masse teilen,
die durch diese Kraft beschleunigt wird.
Und in diesem Fall ist das die andere Masse.
Es ist die Masse auf der Oberfläche.
Teilen wir also beide Seiten durch diese Masse.
Dadurch erhalten wir die Größe der
Beschleunigung auf diese Masse aufgrund der Gravitation.
Das ist also gleich der Größe der Beschleunigung
aufgrund Gravitation.
Und der ganze Grund, warum hier vereinfacht wird,
ist, dass diese zwei, diese M2 hier und diese M2 sich aufheben.
Und damit ist die Größe unserer Beschleunigung
aufgrund Newton's Gravitationsgesetz
gleich diesem Ausdruck hier.
Die Gravitationskonstante mal
die Masse der Erde, geteilt durch die Strecke
zwischen den Massezentrum des Objekts und
dem Zentrum der Erdmasse.
Und wir nehmen an, dass das Objekt,
dass sich deren Massezentrum direkt auf der Oberfläche befindet.
Das ist dann der Erdradius zum Quadrat,
also geteilt durch r².
Manchmal wird dies auch als Gravitationsfeld
auf der Erdoberfläche gesehen.
Denn wenn man es durch eine Masse teilt,
sagt es aus, wie viel Kraft an der Masse zieht.
Mit dieser Erklärung nehmen wir jetzt
unseren Taschenrechner, um zu berechnen, was für ein Wert das ist.
Dann möchte ich herausfinden bzw.
diesen Wert vergleichen mit dem Wert
aus den Lehrbüchern und sehen,
warum er sich davon unterscheidet oder nicht.
Überlegt euch, wie es sich verändert,
je weiter wir uns von der Erdoberfläche entfernen.
Wenn man nun genau auf eine Höhe kommt,
auf welcher sich das Space Shuttle bzw. die ISS
befindet, das ist normalerweise eine Höhe von 400 km,
auf der sie sich befindet, etwas mehr oder
weniger, abhängig von der Situation.
Lasst uns zunächst diesen Wert ermitteln,
wenn wir das universelle Gravitationsgesetz anwenden.
Ich nehme meinen Taschenrechner.
Wir kennen g.
6,6738 mal 10 hoch -11.
Dieser "EE"-Knopf bedeutet einfach "mal 10" - hoch -11.
Das ist also 6,6728 mal 10 hoch -11.
Dies multipliziere ich dann
mit der Erdmasse - diese steht hier.
Das sind 5,9722 mal 10 hoch 24.
Also 10 zur 24. Potenz.
Das wollen wir durch den Erdradius zum Quadrat teilen.
Geteilt durch den Erdradius,
das ist in km.
Ich möchte nur sichergehen, dass wir überall gleiche Einheiten haben.
6371 km - die km sieht man hier nicht.
Aber das sind km.
Das ist dasselbe wie 6371000 m,
wenn mas das mit 1000 multipliziert.
Man kann es auch als 6,371 mal 10 hoch 6 m schreiben.
Das quadrieren wir.
Das ist der Erdradius.
Die Entfernung zwischen dem Erdmassenzentrum und
dem Massezentrum dieses Objekts, welches
sich auf der Erdoberfläche befindet, ist...
...Trommelwirbel...
Wir erhalten 9,8.
Durch Runden kriegen wir tatsächlich einen etwas
höheren Wert als den in den Lehrbüchern.
Wir erhalten 9,82.
Runden wir.
Wir kriegen also 9,82 - 9,82 m/s².
Ich fragt euch nun sicher: Was passiert hier?
Warum haben wir eine solche Diskrepanz zwischen dem,
was uns das Newton'sche Gravitationsgesetz gibt
und der durchschnittlich gemessenen Beschleunigung
aufgrund der Beschleunigungskraft auf der Erdoberfläche?
Die Diskrepanz zwischen diesen beiden Zahlen
kommt daher, dass die Erde nicht gleichmäßig
kugelförmig mit einheitlicher Dichte ist.
Das müssen wir hier annehmen,
wenn wir das Universelle Gravitationsgesetz nutzen.
Es ist tatsächlich etwas flacher als eine perfekte Kugel
und besitzt sicher keine einheitliche Dichte.
Die unterschiedlichen Erdschichten besitzen unterschiedliche Dichten.
Man hat alle möglichen Arten von Wechselwirkungen.
Wenn man effektive Gravitation misst,
gibt es auch einen kleinen Auftriebseffekt durch die Luft.
Sehr, sehr unerheblich.
Ich weiß nicht, ob es genug wäre, um das hier zu verändern.
Es gibt jedoch weitere, unerhebliche Effekte, Unregelmäßigkeiten.
Die Erde ist keine perfekte Kugel.
Sie hat keine einheitliche Dichte.
Das ist der Grund für den Großteil dieser Dinge.
Nachdem dies klargestellt ist, bin ich neugierig,
was die Beschleunigung aufgrund Gravitation ist
wenn wir uns auf 400 km Höhe befinden.
Der Hauptunterschied hier - g bleibt gleich.
Die Erdmasse ebenso,
aber der Radius ist jetzt anders.
Da wir nun das Massezentrum unseres Objektes,
egal ob es eine Raumstation oder was anderes darin ist,
es befindet sich 400 km höher.
Ich überteibe hier mal ein wenig, wie 400 km aussehen.
Das ist nicht maßstabsgetreu.
Jetzt ist der Radius der Erdradius plus 400 km.
Jetzt, im Falle der Raumstation,
beträgt r nicht 6371 km.
Wir addieren 400 dazu, also 6771 km,
das ist dasselbe wie 6771000 m, und das ist
wiederum dasselbe wie 6,771 mal 10 hoch 6 m.
1, 2, 3, 4, 5, 6 - 10 hoch 6 m.
Zurück zu unserem Taschenrechner.
2. Eintrag, das ist der letzte Eintrag, den wir hatten.
Anstatt 6371 mal 10 hoch 6,
addieren wir 400 km hinzu.
Wir erhalten also 6,7.
400 km addieren...
Das waren 371.
Also 6,771 mal 10 hoch 6.
Was erhalten wir?
8,69 m/s².
Jetzt beträgt die Beschleunigung 8,69 m/s².
Man kann nachprüfen, ob die Einheiten passen.
Denn hier ist die Gravitation in m³/kg * s².
Das multipliziert man mit der Erdmasse, in kg.
Die kg kürzen sich mit diesen kg hier.
Dann dividiert man durch m²
und es bleibt übrig: m/s².
Die Einheiten passen also auch.
Es gibt etwas Wichtiges zu realisieren.
Es gibt ein Missverständnis,
worüber wir ein ganzes Video gemacht haben,
in dem wir über das Gravitationsgesetz gesprochen haben,
dass auch Gravitation hier oben im Orbit herrscht.
Der einzige Grund, warum es sich anfühlt, als gäbe es keine Gravitation,
ist, weil sich die Raumstation so schnell bewegt,
dass sie sich praktisch im freien fall befindet.
Sie bewegt sich jedoch so schnell, dass sie die Erde ständig verfehlt.
Und im nächsten Video finden wir raus,
wie schnell sie sich bewegen muss, um im Orbit zu bleiben
und nicht auf die Erde zu stürzen
aufgrund der Gravitationskraft, der auftretenden
Beschleunigung, dieser Zentripetal-, dieser nach innen gerichteten
Beschleunigung.